1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第3课时 空间点、线、面间位置关系 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在
2、此平面内公理 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线第7页高考调研 高三总复习 数学（理）用集合语言描述点、线、面间的关系(1)点与平面的位置关系：点 A 在平面 内记作 A，点 A 不在平面 内记作 A(2)点与线的位置关系：点 A 在直线 l 上记作 Al，点 A 不在直线 l 上，记作 Al第8页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)线面的位置关系：直线 l 在平面 内记作 l，直线 l 不在平面 内记作 l(4)平面 与平面 相交于直线 a，记作 a(5)直线 l 与平面 相交于点 A，记作 lA
3、(6)直线 a 与直线 b 相交于点 A，记作 abA第9页高考调研 高三总复习 数学（理）直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线平行.相交.异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线.第10页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角或直角叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角)范围：(0，2 第11页高考调研 高三总复习 数学（理）1判断下面结论是否正确(打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线 a，那么就说平面，相交，并记作 a.(2)两个平面，有一个公共
4、点 A，就说，相交于过 A点的任意一条直线第12页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)两个平面，有一个公共点 A，就说，相交于 A 点，并记作 A.(4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面答案(1)(2)(3)(4)(5)第13页高考调研 高三总复习 数学（理）2空间四点中，三点共线是这四点共面的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A第14页高考调研 高三总复习 数学（理）3已知直线 a，b，c，有下面四个命题：若 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面；若 a，b 相交，b，c 相交，则 a
5、，c 相交；若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等；若 ab，bc，则 ac.其中真命题的序号是_第15页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 解析 a，c 可能相交、平行或异面；a，c 可能相交、平行或异面；正确；a，c 可能相交、平行或异面第16页高考调研 高三总复习 数学（理）4.如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_第17页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 解析 还原成正四面体知
6、GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN为异面直线，GH 与 MN 成 60角，DEMN.第18页高考调研 高三总复习 数学（理）5.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点问：(1)AM 和 CN 是否是异面直线？(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？思路(1)易证 MNAC，所以 AM 与 CN 不是异面直线；(2)由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直线，证明时常用反证法 第19页高考调研 高三总复习 数学（理）解析(1)不是异面直线理由：连接 MN，A1C1，AC.M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点，MNA1C1.又A
7、1A 綊 C1C，A1ACC1 为平行四边形 A1C1AC，得到 MNAC.A，M，N，C 在同一平面内 故 AM 和 CN 不是异面直线 第20页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)是异面直线理由：ABCDA1B1C1D1 是正方体，B，C，C1，D1 不共面 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线，则存在平面，使 D1B平面，CC1平面.D1，B，C，C1.与 ABCDA1B1C1D1 是正方体矛盾 假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线第21页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第22页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 平面的基本性质例 1 下列命题：空间不同三点确
8、定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；垂直于同一直线的两直线平行；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；两组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的命题是_第23页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】由公理 3 知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题错，中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，错空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面中平行四边形及梯形由公理 2 可得必为平面图形，而四边
9、形有可能是空间四边形，如图(1)所示 第24页高考调研 高三总复习 数学（理）在正方体ABCDABCD中，直线BBAB，BBCB，但AB与CB不平行，错ABCD，BBABB，但BB与CD不相交，错如图(2)所示，ABCD，BCAD，四边形ABCD不是平行四边形，故也错【答案】第25页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1 对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理 3 中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件另外，对于平面几何中的一些正确命题，包括一些定理推论，在空间几何中应当重新认定，有些命题因为空间
10、中位置关系的变化，可能变为错误命题，学习中要养成分类讨论的习惯，再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析，也可利用手中的笔、书本等进行演示，验证第26页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1(2013安徽理)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线第27页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】B，C，D 都是公理【答案】A第28页高考调研 高三总复习 数学（理）题
11、型二 平面基本性质的应用例 2 已知在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E 四点共面；(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线；(3)DE，BF，CC1 三线交于一点第29页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】(1)如图所示 因为 EF 是D1B1C1 的中位线，所以 EFB1D1.在正方体 AC1中，B1D1BD，所以 EFBD.所以 EF，BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面 第30页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)在正方体 AC1 中，设
12、 A1CC1 确定的平面为，又设平面 BDEF 为.因为 QA1C1，所以 Q.又 QEF，所以 Q.所以 Q 是 与 的公共点同理，P是 与 的公共点所以 PQ.又 A1CR，所以 RA1C，R，且 R.则 RPQ，故 P，Q，R 三点共线 第31页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)EFBD 且 EFBD，DE 与 BF 相交设交点为 M，则由 MDE，DE平面 D1DCC1，得 M平面 D1DCC1，同理，点 M平面 B1BCC1.又平面D1DCC1平面 B1BCC1CC1，MCC1.DE，BF，CC1 三线交于点 M.【答案】(1)略(2)略(3)略第32页高考调研 高三总复习 数学
13、（理）探究 2(1)点共线问题的证明方法：证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上(2)线共点问题的证明方法：证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，将问题转化为证明点在直线上 第33页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)点线共面问题的证明方法：纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明平面，重合第34页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2(1)下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，这四个点
14、不共面的图形是()第35页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】在 A 中易证 PSQR，P，Q，R，S 四点共面 在 C 中易证 PQSR，P，Q，R，S 四点共面 在 D 中，QR平面 ABC，PS面 ABC P 且 PQR，直线 PS 与 QR 为异面直线 P，Q，R，S 四点不共面 第36页高考调研 高三总复习 数学（理）在 B 中 P，Q，R，S 四点共面，证明如下：取 BC 中点 N，可证 PS，NR 交于直线 B1C1上一点，P，N，R，S 四点共面，设为.可证 PSQN，P，Q，N，S 四点共面，设为.，都经过 P，N，S 三点，与重合，P，Q，R，S 四点共面【答案】D第3
15、7页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点求证：E，C，D1，F 四点共面；CE，D1F，DA 三线共点【证明】如图所示，连接 EF，CD1，A1B.第38页高考调研 高三总复习 数学（理）E，F 分别是 AB，AA1 的中点，EFBA1.又 A1BD1C，EFCD1.E，C，D1，F 四点共面 EFCD1，EFCD1，CE 与 D1F 必相交，设交点为 P.则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，P直线 DA，CE，D1F
16、，DA 三线共点【答案】略 略第39页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 空间两直线的位置关系例 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，CC1 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线有_条第40页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】方法一：在 EF 上任意取一点M，直线 A1D1 与 M 确定一个平面，这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N，当 M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的交点 N，而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点如图所示 第41页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：在 A1D1 上
17、任取一点 P，过点 P 与直线 EF 作一个平面，因 CD 与平面 不平行，所以它们相交，设它们交于点 Q，连接 PQ，则 PQ 与 EF 必须相交，即 PQ 为所求直线由点 P 的任意性，知有无数条直线与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交【答案】无数第42页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3 解决立体几何问题常用的方法是空间问题的平面化，转化为平面问题后就可以用我们熟悉的方法来解决，这体现了空间立体几何的转化与化归的思想第43页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 3(2014广东)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论
18、一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1 与 l4 既不垂直也不平行Dl1 与 l4 的位置关系不确定第44页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，取 l1 为 BC，l2 为 CC1，l3 为 C1D1.满足 l1l2，l2l3.若取 l4 为 A1D1，则有 l1l4；若取 l4 为 DD1，则有 l1l4.因此 l1 与 l4 的位置关系不确定，故选 D.【答案】D第45页高考调研 高三总复习 数学（理）题型四 异面直线所成的角例 4 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为AB 的中点(1)求证：AC平面 BDD1；(2)求 BD
19、1 与 CE 所成角的余弦值第46页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)DD1平面 ABCD ACDD1ACBDBDDD1DAC平面 BDD1.(2)连接 AD1，与 A1D 交点为 M，连接 ME，MC，则MEC(或其补角)即为异面直线 BD1 与CE 所成的角，设 AB1，CE 52，ME12BD1 32，CM2CD2DM232.第47页高考调研 高三总复习 数学（理）在MEC 中，cosMECCE2ME2CM22CEME 1515，因此异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值为 1515.【答案】(1)略(2)1515第48页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 4 高考中对
20、异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，其步骤为：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之(4)取舍：因为异面直线所成角 的取值范围是 090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 第49页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 4(1)如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为()A.15 B.25C.35D.45第50页高考
21、调研 高三总复习 数学（理）【解析】连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角连接 A1C1，设 AB1，则 AA12，A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC1 5522 5 545.【答案】D第51页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)如图所示，点 A 是平面 BCD 外一点，ADBC2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF 2，则异面直线 AD 和 BC 所成的角为_【解析】如图，设 G 是 AC 的中点，连接 EG，FG.因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点，故 EGBC 且 EG12BC1，第52页高考调研 高三
22、总复习 数学（理）FGAD，且 FG12AD1.即EGF 为所求 又 EF 2，由勾股定理逆定理 可得EGF90.【答案】90第53页高考调研 高三总复习 数学（理）1公理 2 是立体几何最基本、最重要的定理，它的主要作用是确定平面 2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件 3两条异面直线所成角的范围是(0，90第54页高考调研 高三总复习 数学（理）自 助 餐 第55页高考调研 高三总复习 数学（理）1(2016沧州七校联考)若直线 l 不平行于平面，且 l，则()A 内的所有直线与 l 异面B 内不存在与 l 平行的直线C 内存在唯一的直线与 l 平行D 内的直线与 l 都相
23、交第56页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 若在平面 内存在与直线 l 平行的直线，因 l，故l，这与题意矛盾，故选 B.第57页高考调研 高三总复习 数学（理）2设 A，B，C，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面B若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线C若 ABAC，DBDC，则 ADBCD若 ABAC，DBDC，则 ADBC第58页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 ABCD 可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立第59页高考调研 高三总复习 数学（理）3(2015广
24、东文)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 内，l2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是()Al 与 l1，l2 都不相交Bl 与 l1，l2 都相交Cl 至多与 l1，l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l2 中的一条相交第60页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 可用反证法假设 l 与 l1，l2 都不相交，因为 l 与 l1都在平面 内，于是 ll1，同理 ll2，于是 l1l2，与已知矛盾，故 l 至少与 l1，l2 中的一条相交第61页高考调研 高三总复习 数学（理）4.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，既与AB 共面也与 C
25、C1 共面的棱的条数为()A3 B4C5 D6答案 C解析 如题图，用列举法知符合要求的棱为 BC，CD，C1D1，BB1，AA1.第62页高考调研 高三总复习 数学（理）5.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60，对角线 AC 与BD 交于点 O，PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD所成的角为 60.(1)求四棱锥的体积；(2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值第63页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)2(2)24解析(1)在四棱锥 PABCD 中，PO平面 ABCD，PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的
26、角，PBO60.在 RtAOB 中，BOABsin301，POOB，POBOtan60 3.底面菱形的面积 S122 322 3，四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD132 3 32.第64页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)取 AB 的中点 F，连接 EF，DF，如图所示E 为 PB 中点，EFPA，DEF 为异面直线 DE 与PA 所成的角(或其补角)在 RtAOB 中，AO 3OP，在 RtPOA 中，PA 6，第65页高考调研 高三总复习 数学（理）EF 62.在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中，DFDE3，由 余 弦 定 理，得 cos DEF DE2EF2DF22DEEF（3）2（62）2（3）22 3 62643 2 24.异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 24.请做：题组层级快练（四十）
