1、1(2015浙江，2，易)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A8 cm3 B12 cm3 C. cm3 D. cm3【答案】C由题意得，该几何体由一个正方体与一个正四棱锥组合而成，所以体积V23222.2(2015安徽，7，中)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 B2 C12 D2【答案】B将三视图还原为几何体，如图所示OABC，且OB，OAC与ABC为直角三角形，OAB与OBC为等边三角形S表2SOAC2SOAB22()22.3(2015山东，7，中)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一
2、周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D2【答案】C如图，以AD所在的直线为轴旋转一周，形成的几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以其体积为V122121.故选C.4(2015课标，6，中)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B. C. D.【答案】D如图所示为正方体被一个平面截去后剩余部分的几何体设正方体棱长为a，.5(2015课标，9，中)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B6
3、4 C144 D256【答案】C设球的半径为r，则VOABCr2hr336，故r6.故S球4r2144.6(2015课标，6，中)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛 C36斛 D66斛【答案】B设圆锥底面半径为r，2r8，r，V5.设米堆共有x斛，则1.62x，解得x22(斛)7(2015课标
4、，11，中)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2 C4 D8【答案】B由题意知，该几何体是由半个圆柱与半个球组合得到的则表面积S2r22r24r22r25r24r22016，r2.8(2015江苏，9，中)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_【解析】设新的底面半径为r，根据题意得524228r248r2，即28r2196，r.【答案】1(2014福建
5、，2，易)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱【答案】A因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，故选A.2(2013广东，5，易)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A4 B. C. D6【答案】B由四棱台的三视图可知，该四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为2，所以V(142)2.故选B.思路点拨：解题的关键是由三视图判断几何体的结构特征并确定相应的数量关系3(2014湖南，7，中)一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的
6、最大球的半径等于()A1B2C3D4【答案】B根据三视图得如图所示的三棱柱，即底面ABC是直角三角形的直棱柱要想得到最大的球，只需球与三个侧面都相切因为直角三角形中，6282102，所以直角三角形ABC的内切圆半径为r2，故得到的最大球的半径为2.4(2014安徽，7，中)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21 B18C21 D18【答案】A由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角后剩下的部分，如图所示，则SS正方体2S三棱锥侧2S三棱锥底2423112()221.5(2013课标，6，中)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向
7、容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3【答案】A设球半径为R，如图所示，B为弦的中点，OAOCR，由垂径定理，知OBA为直角三角形BC2，BA4，OBR2，OAR，由R2(R2)242，得R5，所以球的体积为53(cm3)，故选A.6(2013辽宁，10，中)已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3【答案】C方法一(补形法)：过点C作AB的平行线，过点B作AC的平行线，交点为D，同理过点C1作A1B1的
8、平行线，过点B1作A1C1的平行线，交点为D1，连接DD1，则ABCDA1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r.方法二：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA.7(2014湖北，8，中)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.
9、B. C. D.【答案】BVr2hhL2h，由VL2h得：L2hL2h，即.8(2014天津，10，易)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，底面圆半径为2，高为2，下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积V2221244.【答案】考向1空间几何体的三视图与直观图1空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正(主)侧(左)一样高，正(主
10、)俯一样长，侧(左)俯一样宽；看不到的线画虚线2用斜二测画法画几何体直观图的注意点(1)用斜二测画法画几何体直观图时，要注意原图与直观图中的“三变”、“三不变”：“三变”“三不变”(2)对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S之间的关系：SS，并能进行相关的计算(1)(2014湖北，5)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和 B和C和 D和(2)(2013四川，3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可
11、以是()【思路导引】解题(1)的关键是先根据点的坐标画出几何体的直观图，再由直观图推测正视图和俯视图；解题(2)的方法是根据正视图和侧视图判断上面是台体、下面是柱体，再由俯视图可得答案【解析】(1)如图，A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)，B，C，D点在面yOz上的射影分别为B1，C1，D1，它们在一条线上，且C1为B1D1的中点从前往后看时，看不到棱AC，所以正视图中AC1应为虚线；故正视图应为图.点A，D，C在面xOy内的射影分别为O，B，C2，俯视图为OC2B，故俯视图应为图.综上选D.(2)由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，圆
12、台的下底面和圆柱的底面恰好重合【答案】(1)D(2)D 1.由三视图还原直观图的方法(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体(2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体2已知三视图中的某两个，求余下一个的三视图的方法先根据已知的三视图中的某两个，还原、推测直观图的可能形式，找余下一个三视图的可能形式作为选择题，也可将选项依次代入，再看看给出的三视图是否符合(1)(2014江西，5)一个几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()(2)(20
13、14北京，7)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D，若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3 BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2 DS3S2且S3S1(1)【答案】B俯视图为在水平投射面上的正投影，结合几何体可知选B.(2)【答案】D如图，在空间直角坐标系中，S1ABBC2，S2ABDE，S3BCDE，S1S2S3，故选D.考向2空间几何体的表面积1多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和2
14、旋转体的侧面积和表面积(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧2rl，S表2r(rl)(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧rl，S表r(rl)(3)若圆台的上、下底面半径分别为r，r，则S侧(rr)l，S表(r2r2rlrl)(4)若球的半径为R，则它的表面积S4R2.(1)(2014重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A54 B60 C66 D72(2)(2014大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.【思路导引】解题(1)的关键是将三视图准确地还原成直观图，并弄清直观图中相
15、对的位置关系；解题(2)的关键是根据题意，借助辅助面，画出相应的图形，求出半径【解析】(1)根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的几何体ABCDEF，故其表面积为SSDEFSABCS梯形ABEDS梯形CBEFS矩形ACFD3534(52)4(52)53560.(2)如图所示，R2(4R)22，R2168RR22，R，S表4R24，选A.【答案】(1)B(2)A 求解空间几何体表面积的注意点(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的
16、处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和(4)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用(1)(2014浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A90 cm2 B129 cm2C132 cm2 D138 cm2(2)(2013福建，12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_(1)【答案】D由题干中的三视图可得原
17、几何体如图所示故该几何体的表面积S24623436333435234138(cm2)(2)【解析】由三视图知，棱长为2的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为2，即为球的直径长所以球的表面积为S412.【答案】12考向3空间几何体的体积空间几何体的体积公式几何体名称体积棱(圆)柱VSh(S为底面面积，h为高)棱(圆)锥VSh(S为底面面积，h为高)棱(圆)台V(SS)h(S，S为上、下底面面积，h为高)球VR3(R为球半径)(1)(2014课标，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得
18、到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.(2)(2014陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4 C2 D.【思路导引】解题(1)时先根据三视图判断出几何体的结构特征，再由体积公式计算；解题(2)的关键是弄清楚球的直径等于正四棱柱的体对角线【解析】(1)由三视图可知，该零件是由两个圆柱组合而成，两个圆柱的体积之和VV1V222432234.底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯的体积V32654，所以切削掉部分的体积为543420，故切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为，故选C.(2)依题意可知，
19、正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R2，解得R1，所以VR3.【答案】(1)C(2)D 求几何体体积的类型及思路(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积转换法或割补法进行求解其中，等积转换法多用来求锥体的体积(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解(1)(2014辽宁，7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A82 B8C8 D8(2)(2014江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积
20、相等，且，则的值是_(1)【答案】B由三视图知，原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的四分之一圆柱，故几何体的体积为8228.(2)【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1、h1，r2、h2，由侧面积相等，即2r1h12r2h2，得.又，所以，则.【答案】1(2014河南南阳联考，5)已知一个三棱锥的俯视图与侧(左)视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图可能为()【答案】C由已知条件得直观图如图所示，正(主)视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故选C.2(2015山东淄博模拟
21、，4)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥ABCD的正(主)视图与俯视图如图所示，则其侧(左)视图的面积为()A. B. C. D.【答案】D由正(主)视图与俯视图可得三棱锥ABCD的一个侧面与底面垂直，其侧(左)视图是直角三角形，且直角边长均为，所以侧(左)视图的面积为S.3(2015吉林长春质检，6)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A2 B2C2(1) D2【答案】A由几何体的三视图可知，该几何体是经过旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即222，故选A.4
22、(2015河北石家庄调研，8)已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若O点到该截面的距离是球半径的一半，且ABBC2，B120，则球O的表面积为()A. B.C4 D.【答案】A由余弦定理，得AC2.设ABC所在截面圆的半径为r，则2r4，即r2.O点到截面的距离是球半径的一半，即d，且d2r2R2，4R2，即R2.S球4R24.5(2015安徽蚌埠一模，7)如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B.C. D.【答案】D蛋巢的底面是边长为1的正方
23、形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.因为鸡蛋的表面积为4，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d，而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为.6(2014湖北宜昌二模，8)某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为()A2 B4 C8 D16【答案】D该几何体的直观图如图所示，由直观图可知PA2102y2x2(2)2，x2y2128.又128x2y22xy，当且仅当xy时xy取得最大值，此时hPA6，VSABC|PA|28616.思路点拨：先根据三视图画出几何体的直观图，找出关于x，y的等量关系，求出当xy取最大时的x，y值，再求体积7(2015陕西西
24、安模拟，9)已知三棱锥DABC中，ABBC1，AD2，BD，AC，BCAD，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B6C5 D8【答案】B由勾股定理，知DABC，ABBC，BC平面DAB，BCBD，CD.AC2AD2246CD2，DAAC.取CD的中点O，由直角三角形的性质知，O到点A，B，C，D的距离均为，其即为三棱锥的外接球球心故三棱锥的外接球的表面积为46.8(2015山东临沂模拟，14)四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为2，3，4.若四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为_【解析】依题意，原几何体是一个三棱锥，可以看作一条棱与底面垂直且其长
25、度为3，底面是一个直角三角形，两直角边长分别为2，4，这个几何体可以看作是长、宽、高分别为4，2，3的长方体的一部分，则其外接球的半径为R，故这个球的表面积为S4R2429.【答案】299(2015山东德州模拟，12)一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是_【解析】观察三视图可知，该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体，圆锥底面半径为2，四棱锥底面边长分别为3，4，它们的高均为2，所以该几何体的体积为2224328.【答案】810(2014江苏南京二模，8)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，侧棱PA底面ABCD，PA2，E为A
26、B的中点，则四面体PBCE的体积为_【解析】由于四边形ABCD是菱形，所以以EB为底边的CBE的高hADsin 602，从而四面体PBCE的体积VPBCEVCPBE12.【答案】思路点拨：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式VSh进行计算即可常用方法有割补法、等体积变换法，本题使用了等积变换法1(2015浙江，13，中)如图，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_【解析】如图，连接BM，取BM的中点G，连接NG，AG，则ANG为异面直线AN，CM所成的角显然NGCM，AN2.ABBD，BMAD.在
27、RtAMG中，AG.在ANG中，cosANG.【答案】2(2015四川，14，中)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_【解析】设AD2，QMm，则0m2，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则E(1，0，0)，A(0，0，0)，F(2，1，0)，M(0，m，2)(1，m，2)，(2，1，0)，cos .令f(m)(m0，2)，易知f(m)在0，2上为单调递减函数，故f(m)maxf(0)，即cos 的最大值为.【答案】1(2011四川，3，易)l1，l2
28、，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3 l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【答案】BA项，l1与l3还可能相交或成异面直线，故A错误；B项，l2l3，l1l2，l1l3，故B正确；由三棱柱和三棱锥可知C，D错误，故选B.2(2012四川，6，易)下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面
29、平行【答案】C对于选项A，这两条直线可以相交或为异面直线，A错误；对于选项B，这两个平面可以相交，B错误；对于选项D，这两个平面还可能相交，D错误；而由线面平行的性质定理可证C正确故选C.3(2012重庆，9，中)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，) C(1，) D(1，)【答案】A如图，构造四面体ABCD，使ABa，CD，ADACBCBD1，取CD的中点E，则AEBE，a，0a，故选A.4(2013江西，8，中)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF
30、相交的平面个数分别记为m，n，那么mn()A8 B9 C10 D11【答案】A如图，CE平面ABPQ，CE平面A1B1P1Q1，CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，m4；EF平面BPP1B1，且EF平面AQQ1A1，EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，n4，故mn8，故选A.5(2012上海，19，12分，易)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点已知AB2，AD2，PA2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小解：(1)因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD.因为PD2，
31、CD2，所以三角形PCD的面积为222.(2)方法一：如图，取PB的中点F，连接EF，AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角在AEF中，由EF，AF，AE2知AEF是等腰直角三角形且AFE90，所以AEF.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.方法二：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1)，(1，1)，(0，2，0)，设与的夹角为，则cos ，由此可知，异面直线BC与AE所成的角为.考向1空间中点、线、面位置关系的判断1平面的基本性质名
32、称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内Al，Bl，A，Bl公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不共线A，B，C平面，则是唯一的公理2的推论推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A直线a，则A和a确定一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面abP有且只有一个平面，使a，b推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ab有且只有一个平面，使a，b公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若P，P，则a，Pa，且a是唯一的公理4平行于同一直线的两条直线平行l1l，l2ll1l2
33、要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线2空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系(1)(2014广东，7)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定(2)(2014辽宁，4)已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n【解析】(1)不妨令l1，l2
34、，l3分别为如图所示正方体的边所在直线若l4为直线B1C1，则有l1l4；若l4为直线C1D1，则l1l4；若l4为直线A1C1，则l1与l4异面，故l1与l4的位置关系不确定.(2)对A，m，n还可能异面、相交，故A不正确；对B，由线面垂直的定义可知正确；对C，n还可能在平面内，故C不正确；对D，n还可能在内，故D不正确。【答案】(1)D(2)B 解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题(1)(2
35、013安徽，3)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(2)(2013课标，4)已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l(1)【答案】A选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的；而选项B，C，D分别是公理2、公理1和公理3，故选A.(2)【答案】D若，则mn，这与m，n为异面直线矛盾，
36、所以A不正确将已知条件转化到正方体中，易知与不一定垂直，但与的交线一定平行于l，从而排除B，C，故选D.考向2异面直线所成的角1两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角若记这个角为，则.2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面(1)(2012大纲全国，16)三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所
37、成角的余弦值为_(2)(2014山东潍坊一模，14)已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD所成的角为60，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为_【解析】(1)由BAA1CAA160可得四边形BCC1B1为正方形如图，把底面ABC补成菱形ABCD，把底面A1B1C1补成菱形A1B1C1D1，即把三棱柱补成平行六面体ABCDA1B1C1D1，则B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角不妨设棱长为2，则AD1BC12，AB1B1D12，在AB1D1中，由余弦定理可得cosB1AD1.(2)如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PMAB，且PMAB.PNCD，且PN
38、CD，所以MPN为AB与CD所成的角(或其补角)则MPN60或MPN120.若MPN60，因为PMAB，所以PMN是AB与MN所成的角(或其补角)又因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上，直线AB和MN所成的角为60或30.【答案】(1)(2)60或30【点拨】解题(1)的关键是合理“补形”作出异面直线所成的角；解题(2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，存在两种情况 求异面直线所成角的方法(1)几何法作：利用定义转化为平面角，对于异面
39、直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上证：证明作出的角为所求角求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角 (2)向量法建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量的夹角若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直角所成的角为该角的补角(1)(2014大纲全国，11)已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A. B. C. D
40、.(2)(2012四川，14)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_(1)【答案】B如图，在平面内过C作CEAB，则ECD为异面直线AB与CD所成的角或其补角不妨取CE1，过E作EO于O.在平面内过O作OHCD于H，连接EH，则EHCD.因为ABCE，ABl，所以CEl.又因为EO，所以COl.故ECO为二面角l的平面角，所以ECO60.而ACD135，COl，所以OCH45.在RtECO中，COCEcosECO1cos 60.在RtCOH中，CHCOcosOCHsin 45.在RtECH中，cosECH.所以异面直
41、线AB与CD所成角的余弦值为.(2)【解析】连接D1M，图略则D1M为A1M在平面DCC1D1上的射影，在正方形DCC1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，D1MDN.又A1D1平面DCC1D1，DN平面A1MD1，A1MDN，即异面直线A1M与DN所成的角为90.【答案】901(2015江西赣州四所中学联考，2)若平面平面，点A，C，B，D，则直线AC直线BD的充要条件是()AABCD BADCBCAB与CD相交 DA，B，C，D四点共面【答案】D因为平面平面，要使直线AC直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面2(2014山西太原期末检测，3)已知平面和直线l
42、，则内至少有一条直线与l()A平行 B相交 C垂直 D异面【答案】C直线l与平面斜交时，在平面内不存在与l平行的直线，A错；l时，在平面内不存在与l异面的直线，D错；l时，在平面内不存在与l相交的直线，B错无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直3(2015山东莱芜二模，4)设m，n是空间两条直线，是空间两个平面，则下列命题中不正确的是()A当n时，“n”是“”的充要条件B当m时，“m”是“”的充分不必要条件C当m时，“n”是“mn”的必要不充分条件D当m时，“n”是“mn”的充分不必要条件【答案】CC中，当m时，若n，则直线m，n可能平行，可能异面；若mn，则n或n，所以“n”是“mn”的
43、既不充分也不必要条件，故C项不正确4(2015浙江六校联考，6)已知两个不同的平面，和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题正确的是()A若ab，b，则aB若a，b，a，b，则C若，b，ab，则aD若，a，a，a，则a【答案】D若ab，b，则a或a，故A错；当，相交时，a，b，且a，b都和交线平行，也满足a，b，故B错；空间内垂直于b的直线a有无数条，与平面的位置关系不确定，故C错；由空间面面平行和线面平行的性质定理，可知D正确5(2014安徽淮南三模，5)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面M，b平面N，MNc.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一
44、定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有MN.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3【答案】C命题正确，命题错误其中命题中a和b有可能垂直；命题中当bc时，平面M，N有可能不垂直，故选C.6(2015山东枣庄模拟，6)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是()A BC D【答案】C如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DE与MN垂直，故正确7 (2015上
45、海模拟，13)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_【解析】连接BC1，图略由于ACA1C1，所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角在BA1C1中，A1B，A1C11，BC1，cosBA1C1.【答案】8(2014山东济南一模，13)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为_【解析】如图，设ACBDO，连接VO，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC，所以BDVA，
46、即异面直线VA与BD所成角的大小为.【答案】9(2015山东临沂二模，13)在三棱锥SACB中，SABSACACB90，AC2，BC，SB，则SC与AB所成角的余弦值为_【解析】方法一：如图，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DEAB，在平面SBC内作EFSC，则异面直线SC与AB所成的角为FED，过F作FGAB，连接DG，则DFG为直角三角形由题知AC2，BC，SB，可得DE，EF2，DF.在DEF中，由余弦定理可得cosDEF.方法二：如图，以A为原点，以AB，AS所在直线分别为y，z轴，以垂直于y轴、z轴的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则由AC2，BC，SB，得B(0，0)，S(0，
47、0，2)，C，(0，0)，设SC与AB所成的角为，4，|4，cos .【答案】方法点拨：求异面直线所成的角常采用“平移法”与“向量法”其中，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行相比较来说，“平移法”是最基本的求解方法，适用于异面直线所成的角易作的情况；“向量法”是一种能力解法，使用更广，适用于异面直线所成的角不易作、垂直关系多的情况(2015江苏，16，14分，中)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA
48、1C1C；(2)BC1AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1A
49、B1.1(2011江西，8，中)已知1，2，3是三个相互平行的平面，平面1，2之间的距离为d1，平面2，3之间的距离为d2.直线l与1，2，3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2P2P3”是“d1d2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C如图所示，由于23，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2MP3N.再根据平行线截线段成比例易知“P1P2P2P3”是“d1d2”的充分必要条件思路点拨：解答本题的关键是画出图形，利用面面平行的性质转化为平行线截线段成比例求解2(2013安徽，15，中)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为
50、BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R；当CQ1时，S为六边形；当CQ1时，S的面积为.【解析】过A作AMPQ交DD1或A1D1于M，图略当0CQ时，M在DD1上，连接MQ，则截面为AMQP，故正确；当CQ时，M与D1重合，截面为AD1QP，显然为等腰梯形，正确；当CQ时，M在A1D1上，且D1M.过M作MRAP交C1D1于R，则MD1RPBA，从而D1R，即C1R，故正确；当CQ0)，则C(m，0)，(m，0)，设
51、n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1，0，0)为平面DAE的一个法向量，由题设|cosn1，n2|，即，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为，三棱锥EACD的体积V. 1.证明线面平行问题的思路(一)(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行2证明线面平行问题的思路(二)(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行(2014安徽，19，13分)如图，
52、四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积解：(1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GE
53、FH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，所以GK平面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK，得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.考向2面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行面面平行)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab平面与平面平行
54、的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行(2013江苏，16，14分)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.【思路导引】(1)由条件知F为SB中点，EGAC，EFAB，根据面面平行的判定定理可证平面EFG平面ABC；(2)由平面SAB平面SBC，可知AF平面SBC，因此AFBC，再根据已知条件得出BC平面SAB，命题获证【证明】(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的
55、中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA. 1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点(2)利用面面平行的判定定理(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行2平行问题的转化关系(
56、2013陕西，18，12分)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积解：(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又
57、SABD1，VABDA1B1D1SABDA1O1.思路点拨：解题(1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题(2)的关键是选易求高的底面，利用线面垂直的判定找高1(2015山东潍坊模拟，4)有下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，b，则a；若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4【答案】A命题直线l可以在平面内，不正确；命题直线a与平面可以是相交关系，不正确；命题直线a可以在平面内，不正确；命题正确2(2014浙江温州模拟，6)已知m，n是两条不同的直
58、线，是三个不同的平面，下列命题中错误的是()A若m，m，则B若，则C若m，n，mn，则D若m，n是异面直线，m，m，n，n，则 【答案】C由线面垂直的性质可知A正确；由两个平面平行的性质可知B正确；由异面直线的性质及面面平行的判定易知D也是正确的；对于选项C，可以相交，可以平行，故C错误，选C.3(2015河南洛阳质检，13)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_【解析】因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定
59、理可得EFAC.又因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2，所以EF.【答案】4(2015湖南长沙模拟，18，12分)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，AA1AB2.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)若BC3，求三棱锥DBC1C的体积解：(1)证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.四边形BCC1B1是平行四边形，点O为B1C的中点又D为AC的中点，OD为AB1C的中位线，ODAB1.又OD平面BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D.(2)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱CC1AA1.
60、又AA1平面ABC，侧棱CC1平面ABC.CC1为三棱锥C1BCD的高D为AC的中点，SBCDSABC.又A1ACC12，VDBCC1VC1BCDCC1SBCD21.5(2015四川成都调研，18，12分)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点，G是DF上的一动点(1)求该多面体的体积与表面积；(2)当FGGD时，在棱AD上确定一点P，使得GP平面FMC，并给出证明解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在ADF中，ADDF，DFADDCa，所以该多面体的体积为a3，表面积为a22a2a2a2(3)a2.(2)点P与点A重合时，GP平面FMC.如图，取FC的中点H，连接GH，
61、GA，MH.G是DF的中点，GH綊CD.又M是AB的中点，AM綊CD.GHAM且GHAM，四边形GHMA是平行四边形，GAMH.又MH平面FMC，GA平面FMC，GA平面FMC，即当点P与点A重合时，GP平面FMC.6(2015河北石家庄模拟，18，12分)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C平面ABCD.(1)证明：平面AB1C平面DA1C1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由解：(1)证明：由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质，知AB1DC1，A1DB1C，AB1B1CB1，A1DDC1D，
62、平面AB1C平面DA1C1.(2)存在这样的点P满足题意如图，在C1C的延长线上取点P，使C1CCP，连接BP，B1B綊CC1，BB1綊CP，四边形BB1CP为平行四边形，BPB1C，A1DB1C，BPA1D.又A1D平面DA1C1，BP平面DA1C1，BP平面DA1C1.7(2013广东惠州调研，19，14分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求证：CFB1E；(3)求三棱锥B1EFC的体积解：(1)证明：如图，连接BD1，在DD1B中，E，F分别为D1D，DB的中点，EF为DD1B的中位线，EFD1
63、B，而D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，EF平面ABC1D1.(2)证明：如图，连接B1D1，在等腰直角三角形BCD中，F为BD的中点，CFBD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，CF平面ABCD，DD1CF，又DD1BDD，DD1，BD平面BDD1B1，CF平面BDD1B1，而B1E平面BDD1B1，CFB1E.(3)由(2)可知CF平面BDD1B1，CF平面EFB1，即CF为高，CFBF.EFBD1，B1F，B1E3，EF2B1F2B1E2，即EFB190，SB1EFEFB1F，VB1EFCVCB1EFSB1EFCF1.1(2015浙江，8，中)如图，已知
64、ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则()AADB BADBCACB DACB【答案】B根据二面角的定义，以及折叠过程可知B正确2(2015重庆，19，13分，中)如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值解：(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，得PCDE.由CE2，CDDE得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.又PCCDC，所以DE平面PCD.(2)由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE.如图，过D
65、作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1.又EB1，故FB2.由ACB得DFAC，故ACDF.以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A，E(0，2，0)，D(1，1，0)，(1，1，0)，(1，1，3)，.设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，得故可取n1(2，1，1)由(1)可知，DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2(1，1，0)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故二面角APDC的余弦值为.3(2015湖北，19，12分，中)九章算术中，将底面为长方形且
66、有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB平面DEF，试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值解：方法一：(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.PCB
67、CC，所以DE平面PBC，而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体DBEF的四个面都是直角三角形，即四面体DBEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)如图，在面PBC内，延长BC与FE的延长线交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线由(1)知，PB平面DEF，所以PBDG.又因为PD底面ABCD，所以PDDG，而PDPBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PDDC1，BC，有BD，在RtPDB中，由DFPB，得DPFFDB，则tant
68、anDPF，解得.所以.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，.方法二：(1)证明：如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设PDDC1，BC，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(，1，0)，C(0，1，0)，(，1，1)，点E是PC的中点，所以E，于是0，即PBDE.又已知EFPB，而DEEFE，所以PB平面DEF.因为(0，1，1)，0，则DEPC，所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体DBEF的四个面都是直角三角形，即四面体DBEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2
69、)由PD平面ABCD，所以(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量由(1)知，PB平面DEF，所以(，1，1)是平面DEF的一个法向量若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则cos.解得，所以.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，.1(2011浙江，4，中)下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D对于命题A，在平面内存在直线l平行于平面与平面的交线，则l平行于平面，故命题A正确对于命题B，若平面内存
70、在直线垂直于平面，则平面与平面垂直，故命题B正确对于命题C，设m，n，在平面内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使am，bn.，am，则a，al，同理有bl.又abP，a，b，l.故命题C正确对于命题D，设l，则l且l.故在内存在直线不垂直于平面，即命题D错误，故选D.2(2012浙江，10，难)已知矩形ABCD，AB1，BC，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直【答案】
71、B若存在某个位置，使得ACBD，作AEBD于E，如图，则BD平面AEC，所以BDEC.在ABD中，AB2BEBD，BE，而在BCD中，BC2BEBD，BE，两者矛盾故A错误若存在某个位置，使得ABCD，又因为ABAD，则AB平面ACD，所以ABAC，即AC1，故B正确，D错误若存在某个位置，使得ADBC，又因为ADAB，则AD平面ABC，所以ADAC，而斜边CD小于直角边AD，矛盾，故C错误3(2014福建，17，13分，中)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面
72、MBC所成角的正弦值解：(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M，则(1，1，0)，(0，1，1)设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1，1)设直线AD与平面MBC所成角为，则s
73、in |cosn，|，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.4(2013广东，18，12分，中)如图，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的中点将ADE沿DE折起，得到如图所示的四棱锥ABCDE，其中AO.(1)证明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值解：(1)证明：在题干图中，易得OC3，AC3，AD2，连接OD，OE.在OCD中，由余弦定理可得OD，由翻折不变性可知AD2，所以AO2OD2AD2，所以AOOD，同理可证AOOE，又ODOEO，所以AO平面BCDE.(2)如图，过O作OHCD交CD的延长线于H，连接
74、AH，因为AO平面BCDE，所以AOCD，又OHCD，OHAOO，所以CD平面AOH，所以AHCD，所以AHO为二面角ACDB的平面角结合题图可知，ABC为等腰直角三角形，又OHCD，所以H为AC的中点，又BC6，故OH，从而AH，所以cosAHO，所以二面角ACDB的平面角的余弦值为.5(2014湖南，19，12分，中)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值解：(1)证明：因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1AC.
75、同理DD1BD.因为CC1DD1，所以CC1BD.而ACBDO，因此CC1底面ABCD.由题设知，O1OC1C，故O1O底面ABCD.(2)方法一：如图，过O1作O1HOB1于H，连接HC1.由(1)知，O1O底面ABCD，所以O1O底面A1B1C1D1，于是O1OA1C1.又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1C1B1D1，从而A1C1平面BDD1B1，所以A1C1OB1，于是OB1平面O1HC1，进而OB1C1H.故C1HO1是二面角C1OB1D的平面角不妨设AB2.因为CBA60，所以OB，OC1，OB1.在RtOO1B1中，易知
76、O1H2.而O1C11，于是C1H.故cosC1HO1.即二面角C1OB1D的余弦值为.方法二：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD.又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设AB2.因为CBA60，所以OB，OC1，于是相关各点的坐标为O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)(，0，2)，(0，1，2)易知，n1(0，1，0)是平面BDD1B1的一个法向量设n2(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则即取
77、z，则x2，y2 ，所以n2(2，2 ，)设二面角C1OB1D的大小为，易知是锐角，于是cos |cosn1，n2|.故二面角C1OB1D的余弦值为.6(2013辽宁，18，12分，中)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值解：(1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC.(2)方法一：过C作CMAB于M，因为PA平面ABC，CM平面A
78、BC，所以PACM，故CM平面PAB.过M作MNPB于N，连接NC，由三垂线定理得CNPB.所以CNM为二面角CPBA的平面角在RtABC中，由AB2，AC1，得BC，CM，BM.在RtPAB中，由AB2，PA1，得PB.因为RtBMNRtBPA，所以，故MN.又在RtCNM中，CN，故cosCNM.所以二面角CPBA的余弦值为.方法二：过C作CMAP，则CM平面ABC.如图，以点C为坐标原点，以CB，CA，CM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系因为AB2，AC1，所以BC.因为PA1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1)，故(，0，0)，(0，1，1)设平面B
79、CP的法向量为n1(x，y，z)，则所以不妨令y1，则n1(0，1，1)因为(0，0，1)，(，1，0)，设平面ABP的法向量为n2(x，y，z)，则所以不妨令x1，则n2(1，0)于是cosn1，n2，所以二面角CPBA的余弦值为.考向1线面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab(2014重庆，20，12分)如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)
80、若MPAP，求四棱锥PABMO的体积【思路导引】(1)先得出OMBM，再由线面垂直的性质得POBC，从而利用线面垂直的判定定理得出结论；(2)设POa，利用图形中的直角三角形和余弦定理得到关于a的等式，求解出棱锥的高，从而求解出几何体的体积【解析】(1)证明：如图，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，则AOOB.因为BAD，故OBABsinOAB2sin1.又因为BM，且OBM，在OBM中，OM2OB2BM22OBBMcosOBM1221cos .所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，且BD平面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO
81、都垂直，所以BC平面POM.(2)由(1)可得，OAABcosOAB2cos.设POa，由PO底面ABCD知，POA，POM均为直角三角形，故PA2PO2OA2a23，PM2PO2OM2a2.连接AM，在ABM中，AM2AB2BM22ABBMcosABM2222cos .由已知MPAP，故APM为直角三角形，则PA2PM2AM2，即a23a2，得a，a(舍去)，即PO.此时，S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以四棱锥PABMO的体积VPABMOS四边形ABMOPO. 1.证明直线与平面垂直的具体步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直；(2)证：证明所
82、找到的或所作的直线与已知直线垂直；(3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论2判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理(2011辽宁，18，12分)如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值解：(1)证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形，因为QA平面ABCD，QA平面PDAQ，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为
83、AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，又PQ平面PDAQ，所以PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQDQ.又DCQDD，所以PQ平面DCQ.(2)设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.考向2面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂
84、直于交线的直线垂直于另一个平面l(2013北京，17，14分)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.【思路导引】解题(1)的关键是利用面面垂直的性质进行转化；解题(2)的关键是寻找线线平行；解题(3)的关键是准确寻找垂线，可利用题目中的垂直关系来寻找【证明】(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形AB
85、ED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD. 1.面面垂直的证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题2垂直问题的转化关系(2012课标全国，
86、19，12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解：(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.
87、故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.考向3线面角、二面角的求法1线面角(1)当l时，线面角为90.(2)当l或l时，线面角为0.(3)线面角的范围：090.2二面角(1)如图所示的二面角l，若Ol，OA，OB，OAl， OBl，则AOB就叫作二面角l的平面角(2)二面角的范围：0180.(1)(2013山东，4)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B. C. D.(2)(2014浙江，20，15分)如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，AB
88、CD2，DEBE1，AC.证明：DE平面ACD；求二面角BADE的大小【思路导引】(1)先取上底面的中心P，连接PP，则PP平面ABC，PAP为所求，然后在PAP中求解；(2)证明DEAC，DEDC，然后根据线面垂直的判定定理证明；方法一：利用几何法，先根据线面垂直，作出二面角的平面角，然后在直角三角形中求解方法二：利用代数法(向量法)，先建立空间直角坐标系，然后求出所涉及平面的法向量的夹角，最后结合图形求出二面角的平面角【解析】(1)如图所示，过P作PP平面ABC于P，则P为平面ABC的中心连接AP，延长交BC于点M.则PAP即为PA与平面ABC所成的角由VSh，得h，即PP.又APAM1，
89、tanPAP，PAP，故选B.(2)证明：由题意知四边形BCDE为直角梯形在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC.由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE.所以ACDE.又DEDC，从而DE平面ACD.方法一：如图，作BFAD，与AD交于点F，过点F作FGDE，与AE交于点G，连接BG，由(1)知DEAD，则FGAD.所以BFG是二面角BADE的平面角在直角梯形BCDE中，由CD2BC2BD2，得BDBC.又平面ABC平面BCDE，得BD平面ABC，从而BDAB.由于AC平面BCDE，得ACCD.在RtACD中，由DC2，
90、AC，得AD.在RtAED中，由ED1，AD，得AE.在RtABD中，由BD，AB2，AD，得BF，AFAD，从而GF.在ABE，ABG中，利用余弦定理分别可得cosBAE，BG.在BFG中，cosBFG.所以BFG，即二面角BADE的大小是.方法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，由题意知各点坐标如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2，)，B(1，1，0)设平面ADE的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n(x2，y2，z2)可算得(0，2，)，(1，2，)，(1，1，0)，由得可取m(
91、0，1，)由得可取n(1，1，)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角BADE的大小是. 1.求空间角的方法(1)几何法；(2)代数法(向量法)2用几何法求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3)计算：即通过解三角形的方法求出所求角3空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：定义法；垂面法其中定义法是最常用的方法(2014广东，18，13分)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于
92、点E.(1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值解：(1)PD平面ABCD，AD平面ABCD，PDAD，又ADCD，PDCDD，AD平面PCD.又PC平面PCD，ADPC.又AFPC，ADAFA，PC平面ADF，即CF平面ADF.(2)方法一：如图所示，分别过点E作EGAF于G，EHDF于H，连接GH，不妨设正方形ABCD边长为1，则DF，DE，EF，EH.AE，AF.又CDPD，CDAD，PDADD，CD平面AED.FECD，FE平面AED.FEAE，EG.又AD平面PCD，ADEH.又EHDF，ADDFD，EH平面ADF，EHAF，AF平面EGH.EGH即为平面ADF和平面
93、AEF所成的二面角，又sinEGH，cosEGH.方法二：不妨设正方形ABCD的边长为1.建立如图所示的空间直角坐标系则D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，由(1)知CFDF，从而CDFDPC30，所以CF，DF，又FECD，DE，同理，EFCD，由此得F，E，P(，0，0)设平面AFE的法向量为n(x，y，z)，可得令x4，则y0，z，n(4，0，)而平面ADF的一个法向量为，cos，n，由图知二面角DAFE的余弦值为.1(2015皖西七校联考，4)已知，是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是()存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a，b，a，b，a
94、，b；存在两条异面直线a，b，a，b，a，b.A B C D【答案】C对于，垂直于同一直线的两个平面平行，故当a，a时，正确；对于，若，与可能平行，也可能相交，此时，的交线与垂直，不正确；若a，b，a，b，则与可能平行，也可能相交，此时a，b均与，的交线平行，不正确；对于，存在两条异面直线a，b，a，b，a，b.则可在内作a的平行线c，且c与b相交，则有相交直线b，c都与平面平行，根据面面平行的判定定理，可得正确2(2014河南安阳调研，5)设a，b是不同的直线，是不同的平面，则下列命题：若ab，a，则b；若a，则a；若a，则a；若ab，b，则a.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3
95、【答案】A对，直线b有可能在平面内；对，a可能平行于，也可能在内；对，a可能在内；对，a可能平行于，也可能在内，不可能与垂直，综上可知没有正确的，故选A.3(2015山西太原二模，13)设，为互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：若，则；若，且l，则l；若直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面垂直；若内存在不共线的三点到的距离相等，则平面平行于平面.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)【解析】借助于正方体易知正确；对于，若平面内与直线l垂直的无数条直线都平行，则直线l可能与平面不垂直，所以错；中的不共线的三点有可能是在平面的两侧，所以两个平面可能相交或平行，所以错，故填.
96、【答案】4(2015河北保定模拟，14)在直二面角MN中，等腰直角三角形ABC的斜边BC，一直角边AC，BC与所成角的正弦值为，则AB与所成的角是_【解析】如图所示，作BHMN于点H，连接AH，则BH，BCH为BC与所成的角sinBCH，设BC1，则BH.ABC为等腰直角三角形，ACAB，AB与所成的角为BAH.sinBAH，BAH.【答案】5(2015江苏徐州模拟，17，14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不与点C重合)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明：(
97、1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)连接DF，图略由(1)知AD平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，ADBC.又ABAC，D为BC的中点，DF綊A1A，四边形ADFA1为平行四边形，A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE.6(2015福建福州一模，19，13分)如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥A
98、MBC的体积解：(1)证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.又CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，CD平面ABD.(2)方法一：由AB平面BCD，得ABBD.ABBD1，SABD.M是AD的中点，SABMSABD.由(1)知，CD平面ABD，三棱锥CABM的高hCD1，因此三棱锥AMBC的体积VAMBCVCABMSABMh.方法二：由AB平面BCD，知平面ABD平面BCD.又平面ABD平面BCDBD，如图，过点M作MNBD，交BD于点N，则MN平面BCD，且MNAB.又CDBD，BDCD1，SBCD.三棱锥AMBC的体积VAMBCVABCDVMBCDABSBCDMN
99、SBCD.方法点拨：求解此类问题应过好两关：第一关，线面垂直证明关，常利用线面垂直的判定定理证明；第二关，常利用“等体积法”求棱锥的体积7(2015山东青岛质检，17，12分)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点M是棱BB1上一点(1)求证：B1D1平面A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.解：(1)证明：由直四棱柱ABCDA1B1C1D1，得BB1DD1，BB1DD1，BB1D1D是平行四边形，B1D1BD.BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，B1D1平面A1BD.(2)证明：BB1平面ABCD，AC平面A
100、BCD，BB1AC.又BDAC，且BDBB1B，AC平面BB1D1D.MD平面BB1D1D，MDAC.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1平面CC1D1D.证明如下：取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示N是DC的中点，BDBC，BNDC.又DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，平面ABCD平面DCC1D1，BN平面DCC1D1.由题意可得O是NN1的中点，BMON且BMON，即四边形BMON是平行四边形BNOM.OM平面CC1D1D.OM平面DMC1，平面DMC1平面CC1D1D.8(2015四川成都调研，18，12分)如图，四棱锥PAB
101、CD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2，AD1，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值解：(1)证明：因为DAB60，AB2AD2，由余弦定理得BD.从而BD2AD2AB2，BDAD.PD平面ABCD，BD平面ABCD，PDBD.又ADPDD，所以BD平面PAD，所以PABD.(2)如图，以D为坐标原点，DA，DB，DP分别为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0，0，1)，(1，0)，(0，1)，(1，0，0)，设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此，令y1，则n(，1，)设平面PBC的法向量为m(x0，y0，z0)，则即可取m(0，1，)，则cosm，n，由图知二面角APBC为钝角，故二面角APBC的余弦值为.
