1、1(2015课标，14，易)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则 a_【解析】f(x)3ax21，f(1)3a1，f(1)a2，故 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)，代入点(2，7)得，a1.【答案】12(2015课标，16，中)已知曲线 yxln x 在点(1，1)处的切线与曲线 yax2(a2)x1 相切，则 a_【解析】f(x)11x，f(1)2，切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.由y2x1，yax2（a2）x1，得 ax2ax20.a28a0，解得 a8(a0 舍去)【答案】81(2011重庆，3
2、，易)曲线 yx33x2 在点(1，2)处的切线方程为()Ay3x1By3x5Cy3x5Dy2xA y3x26x，当 x1 时，切线的斜率 k312613.故切线方程为 y23(x1)，即 y3x1，故选 A.2(2011山东，4，中)曲线 yx311 在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是()A9 B3C9 D15【答案】C y3x2，过点 P(1，12)的切线的斜率 k3，切线方程为y123(x1)，即 3xy90，故切线与 y 轴交点为(0，9)，故选 C.3(2014广东，11，易)曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_【解析】切线的斜率为 y|x05ex|x0
3、5，曲线在点(0，2)处的切线方程为 y25x，即 5xy20.【答案】5xy204(2013广东，12，中)若曲线 yax2ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a_.【解析】令 f(x)ax2ln x，得 f(x)2ax1x，所以曲线在点(1，a)处的切线的斜率 kf(1)2a10，得 a12.【答案】12方法点拨：曲线在某点处的切线平行于一条直线(斜率存在)，则曲线在该点处的导数等于直线的斜率 5(2014江西，11，中)若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_【解析】由题意知，yln x1，直线斜率为 2.由导数的几何意义，令l
4、n x12，得 xe，所以 yeln ee，所以 P(e，e)【答案】(e，e)方法点拨：先求函数的导数，再利用导数的几何意义确定切点的坐标 6(2012北京，18，13 分，中)已知函数 f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值；(2)当 a3，b9 时，若函数 f(x)g(x)在区间k，2上的最大值为 28，求k 的取值范围解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以 f(1)g(1)，且 f(1)g(1)即 a
5、11b，且 2a3b.解得 a3，b3.(2)令 h(x)f(x)g(x)当 a3，b9 时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令 h(x)0，得 x13，x21.h(x)与 h(x)在(，2上的情况如下：x(，3)3(3，1)1(1，2)2h(x)00h(x)28 4 3 由此可知：当 k3 时，函数 h(x)在区间k，2上的最大值为 h(3)28；当3k2 时，函数 h(x)在区间k，2上的最大值小于 28.因此，k 的取值范围是(，3 7(2014山东，20，13 分，难)设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1
6、)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax（x1）（x1）（x1）2 ax2（x1）2，a0，f(x)2（x1）2，根据导数的几何意义，所求切线的斜率 kf(1)12.又f(1)0，所求切线方程为 y12(x1)，即 x2y10.(2)f(x)a（x1）22xx（x1）2 ax22（a1）xax（x1）2，当 a0 时，由 x0 知 f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增 当 a0 时，令 g(x)ax22(a1)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当 a12时，0，f(x)12（x1）2x（x1）2 0，函数 f(x)在(0，)
7、上单调递减 当 a12时，0，g(x)0，f(x)0.故函数 f(x)在(0，)上单调递减 当 0，即12a0 时，令 x1，x2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1（a1）2a1a，x2（a1）2a1a，由 x1a1 2a1a a22a1 2a1a0，令 f(x)0，则 x(x1，x2)，令 f(x)0，则 x(0，x1)(x2，)，f(x)在(x1，x2)上单调递增，在(0，x1)和(x2，)上单调递减 综上所述：当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增；当12a0 时，f(x)在(x1，x2)上单调递增，在(0，x1)和(x2，)上单调递减(其中 x1（a1）2a1a，x2
8、（a1）2a1a；当 a12时，f(x)在(0，)上单调递减 方法点拨：(1)求出函数的定义域和导数，根据导数的几何意义求切线方程；(2)将导数通分，只看分子的符号决定导数的符号，对含参数的二次式进行分类讨论 考向 1 导数的运算1基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)C(C 为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1(Q*)f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0)f(x)axln a(a0)f(x)exf(x)ex f(x)logax(a0，且 a1)f(x)1xln a(a0，且 a1)f(x)ln xf(x)1x2.导数的运算
9、法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x）2fx g xf x gxg x(g(x)0)(1)(2015 山东济南一模，5)设 f(x)是 f(x)x1x的导数，则f（2）f（2）()A.12B12C2 D2(2)(2013江西，13)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.【解析】(1)由 f(x)x1x1 1x1，得 f(x)1（x1）2，所以 f(2)2，f(2)1，所以f（2）f（2）12.(2)令 tex，故 xln t，所以 f(t)ln tt，即 f(x)ln xx，所
10、以 f(x)1x1，所以 f(1)112.【答案】(1)B(2)2【点拨】解题(1)时，首先将函数解析式进行化简，便于求导运算；解题(2)时，先用换元法，求出函数的解析式，然后再求导.导数运算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，再求导(2)方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记混公式法则(2015吉林长春模拟，6)函数 y 2x2x2
11、1的导数是()Ay4x（x21）4x2（x21）2By4x（x21）4x3（x21）2Cy4x（x21）4x3（x21）2Dy4x（x21）4x（x21）2【答案】B 因为 y 2x2x21，所以 y4x（x21）2x22x（x21）24x（x21）4x3（x21）2，故选 B.考向 2 导数的几何意义及其应用1导数的几何意义函数 f(x)在 xx0 处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)2导数几何意义的应用(1)已知切点 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值 kf(x0)(2)已
12、知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k.(3)已知过某点 M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x0，f(x0)，利用 kf（x1）f（x0）x1x0求解(1)(2014江苏，11)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2bx(a，b 为常数)过点 P(2，5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x2y30平行，则 ab 的值是_(2)(2013北京，18，13 分)设 L 为曲线 C：yln xx 在点(1，0)处的切线求 L 的方程；证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方【思路导引】(1)依据点在曲线上，
13、导数在切点处的取值等于切线的斜率，切线与直线平行，建立关于 a，b 的方程组并求解 a，b；(2)先求切线方程，后证明直线 L 上任意一点对应的函数值均大于曲线 C 上任一点对应的函数值【解析】(1)因为曲线 yax2bx过点 P(2，5)，所以 4ab25.又 y2axbx2，且曲线在点 P(2，5)处的切线与直线 7x2y30 平行，所以 4ab472.由解得a1，b2.所以 ab3.(2)设 f(x)ln xx，则 f(x)1ln xx2.所以切线的斜率 kf(1)1，所以 L 的方程为 yx1.证明：令 g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)0
14、(x0，x1)g(x)满足 g(1)0，且 g(x)1f(x)x21ln xx2.当 0 x1 时，x210，ln x0，所以 g(x)0，故 g(x)单调递减；当 x1 时，x210，ln x0，所以 g(x)0，故 g(x)单调递增 所以 g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组(3)在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件(4)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点例如
15、，yx3 在(1，1)处的切线 l 与 yx3 的图象还有一个交点(2，8)(1)(2014安徽，15)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：(i)直线 l 在点 P(x0，y0)处与曲线 C 相切；(ii)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线 l：y0 在点 P(0，0)处“切过”曲线 C：yx3直线 l：x1 在点 P(1，0)处“切过”曲线 C：y(x1)2直线 l：yx 在点 P(0，0)处“切过”曲线 C：ysin x直线 l：yx 在点 P(0，0)处“切过”曲线 C：ytan
16、x直线 l：yx1 在点 P(1，0)处“切过”曲线 C：yln x(2)(2012 课标全国，13)曲线 yx(3ln x1)在点(1，1)处的切线方程为_(1)【解析】y3x2.在点 P(0，0)处，x0 时，k0，切线方程为 y0，满足(i)由图 1 可知，满足(ii)y2(x1)，在点 P(1，0)处，x1 时，k0，切线方程为 y0，曲线在 P(1，0)处的切线方程不是 x1，不满足(i)ycos x，在点 P(0，0)处，x0 时，k1，切线方程为 yx，满足(i)；由图 2 知，满足(ii)ycos2xsin2xcos2 x1cos2x.在点 P(0，0)处，k1，切线方程为 y
17、x，满足(i)；由图 3 知，满足(ii)y1x，在点 P(1，0)处，k1，切线方程为 yx1，满足(i)；由图 4可知，不满足(ii)综上，为真命题【答案】(2)【解析】y3ln x1x3x3ln x4，曲线在点(1，1)处的斜率为 kf(1)4，切线方程为 y14(x1)，即 y4x3.【答案】y4x31(2015湖北襄阳一模，5)函数 f(x)excos x 的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A.4B0 C.34D1【答案】A 由 f(x)ex(cos xsin x)，则在点(0，f(0)处的切线的斜率 kf(0)1，故倾斜角为4，选 A.2(2015湖南长沙二模，6)若曲
18、线 f(x)x4x 在点 P 处的切线平行于直线3xy0，则点 P 的坐标为()A(1，2)B(1，3)C(1，0)D(1，5)【答案】C 设点 P 的坐标为(x0，y0)，因为 f(x)4x31，所以 f(x0)4x3013，即 x01.把 x01 代入函数 f(x)x4x 得 y00，所以点 P 的坐标为(1，0)3(2015四川成都质检，8)已知函数 f(x)13x32x22x，若存在满足 0 x03 的实数 x0，使得曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与直线 xmy100 垂直，则实数 m 的取值范围是()A6，)B(，2C2，6 D5，6【答案】C f(x)x24x2(x
19、2)26，因为 x00，3，所以f(x0)2，6，又因为切线与直线 xmy100 垂直，所以切线的斜率为 m，所以 m 的取值范围是2，64(2014河南开封二模，12)过点 A(2，1)作曲线 f(x)x33x 的切线最多有()A3 条B2 条C1 条D0 条【答案】A 由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x303x0)，那么切线的斜率为 k3x203，利用点斜式方程可知切线方程为 y(x303x0)(3x203)(xx0)，将点 A(2，1)代入可得关于 x0 的一元三次方程 2x306x2070.令 y2x306x207，则 y6x2012x0.由 y0 得 x00 或 x02.
20、当 x00 时，y70；x02时，y10)当 a0 时，f(x)0，f(x)没有零点；当 a0 时，因为 ye2x 单调递增，yax单调递增，所以 f(x)在(0，)单调递增又 f(a)0，当 b 满足 0ba4且 b14时，f(b)0 时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设 f(x)在(0，)的唯一零点为 x0，当 x(0，x0)时，f(x)0.故 f(x)在(0，x0)单调递减，在(x0，)单调递增，所以当 xx0 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0)由于ax00，所以 f(x0)aln x0 a2x0 a2x0alna22ax0 a2x02ax0aln2a2aaln2
21、a.故当 a0 时，f(x)2aaln2a.2(2015安徽，21，13 分，难)已知函数 f(x)ax（xr）2(a0，r0)(1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性；(2)若ar400，求 f(x)在(0，)内的极值解：(1)由题意知 xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)ax（xr）2axx22rxr2，f(x)a（x22rxr2）ax（2x2r）（x22rxr2）2 a（rx）（xr）（xr）4，所以当 xr 或 xr 时，f(x)0；当rxr 时，f(x)0，因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知
22、 f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr 是 f(x)的极大值点，所以 f(x)在(0，)内的极大值为 f(r)ar（2r）2 a4r4004 100.3(2015课标，21，12 分，难)已知函数 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa.若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增 若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0 时，f(x)在 x1a取得最大值，最大值为 f
23、1a ln1aa11a ln aa1.因此 f 1a 2a2 等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0，1)4(2015山东，20，13 分，难)设函数 f(x)(xa)ln x，g(x)x2ex.已知曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 2xy0 平行(1)求 a 的值；(2)是否存在自然数 k，使得方程 f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数 m(x)minf(x)，g(x)(minp
24、，q表示 p，q 中的较小值)，求 m(x)的最大值解：(1)由题意知，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 2，所以 f(1)2.又 f(x)ln xax1，所以 a1.(2)k1 时，方程 f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根 设 h(x)f(x)g(x)(x1)ln xx2ex，当 x(0，1时，h(x)110，所以存在 x0(1，2)，使得 h(x0)0.因为 h(x)ln x1x1x（x2）ex，所以当 x(1，2)时，h(x)11e0；当 x(2，)时，h(x)0.所以当 x(1，)时，h(x)单调递增 所以 k1 时，方程 f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯
25、一的根(3)由(2)知方程 f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根 x0，且 x(0，x0)时，f(x)g(x)，所以 m(x)（x1）ln x，x（0，x0，x2ex，x（x0，）.当 x(0，x0)时，若 x(0，1，m(x)0；若 x(1，x0)，由 m(x)ln x1x10，可知 0m(x)m(x0)；故 m(x)m(x0)当 x(x0，)时，由 m(x)x（2x）ex，可得 x(x0，2)时，m(x)0，m(x)单调递增，x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减，可知 m(x)m(2)4e2，且 m(x0)m(2)综上可得函数 m(x)的最大值为4e2.5(2015湖南，21，
26、13 分，难)已知 a0，函数 f(x)aexcos x(x0，)记xn 为 f(x)的从小到大的第 n(nN*)个极值点(1)证明：数列f(xn)是等比数列；(2)若对一切 nN*，xn|f(xn)|恒成立，求 a 的取值范围解：(1)证明：f(x)aexcos xaexsin x 2aexcosx4.令 f(x)0，由 x0，得 x4 m2，即 xm34，mN*.而对于 cosx4，当 kZ 时，若 2k2 x4 2k2，即 2k34 x0；若 2k2 x4 2k32，即 2k4 x2k54，则 cosx4 0，所以 2a 恒成立 设 g(t)ett(t0)，则 g(t)et（t1）t2.
27、令 g(t)0 得 t1.当 0t1 时，g(t)1 时，g(t)0，所以 g(t)在区间(1，)上单调递增 因为 x1(0，1)，且当 n2 时，xn(1，)，xn0 且 g(1)0，即3t1 时，因为 g(1)t70，所以 g(x)分别在区间1，0)，0，1)和1，2)上恰有 1 个零点由于 g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以 g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有 1 个零点 综上可知，当过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切时，t 的取值范围是(3，1)(3)过点 A(1，2)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切；过点 B(2，10)存在 2 条直线与曲
28、线 yf(x)相切；过点 C(0，2)存在 1 条直线与曲线 yf(x)相切 6(2013广东，21，14 分，难)设函数 f(x)x3kx2x(kR)(1)当 k1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)当 k0 时，求函数 f(x)在k，k上的最小值 m 和最大值 M.解：f(x)3x22kx1.(1)当 k1 时，f(x)3x22x1，41280，f(x)0，f(x)在 R 上单调递增(2)方法一：当 k0 时，f(x)3x22kx1，其图象开口向上，对称轴为直线 xk3，且过(0，1)当 4k2124(k 3)(k 3)0，即 3k0 时，f(x)0，f(x)在k，k上单调递增，从而当
29、 xk 时，f(x)取得最小值 mf(k)k.当 xk 时，f(x)取得最大值，Mf(k)k3k3k2k3k.当 4k2124(k 3)(k 3)0，即 k 3时，令 f(x)3x22kx10，解得 x1k k233，x2k k233，注意到 kx2x10，mminf(k)，f(x1)，Mmaxf(k)，f(x2)f(x1)f(k)x31kx21x1k(x1k)(x211)0，f(x)的最小值 mf(k)k.f(x2)f(k)x32kx22x2(k3k3k)(x2k)(x2k)2k210，f(x)的最大值 Mf(k)2k3k.综上所述，当 k0 时，f(x)的最小值 mf(k)k，最大值 Mf
30、(k)2k3k.方法二：当 k0 时，对xk，k，都有 f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(x21)(xk)0，故 f(x)f(k)f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(xk)(x22kx2k21)(xk)(xk)2k210，故 f(x)f(k)，而 f(k)k0.所以 f(x)maxf(k)2k3k，f(x)minf(k)k.7(2014江苏，19，16 分，难)已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数(1)证明：f(x)是 R 上的偶函数；(2)若关于 x 的不等式 mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围；(3)已知正数 a 满足：存在 x01，
31、)，使得 f(x0)a(x303x0)成立试比较 ea1 与 ae1 的大小，并证明你的结论解：(1)证明：因为对任意 xR，都有 f(x)exe(x)exexf(x)，所以 f(x)是 R 上的偶函数(2)由条件知 m(exex1)ex1 在(0，)上恒成立 令 tex(x0)，则 t1，所以 m t1t2t11t1 1t11对任意 t1 成立因为 t1 1t112（t1）1t113，所以1t1 1t1113，当且仅当 t1 1t1，即 t2，即 xln 2 时等号成立 因此，实数 m 的取值范围是，13.(3)令函数 g(x)ex1exa(x33x)，则 g(x)ex1ex3a(x21)当
32、 x1 时，ex1ex0，x210，又 a0，故 g(x)0.所以 g(x)是1，)上的单调增函数，因此 g(x)在1，)上的最小值是g(1)ee12a.由于存在 x01，)，使 ex0ex0a(x303x0)0 成立，当且仅当最小值 g(1)0.故 ee12a0，即 aee12.令函数 h(x)x(e1)ln x1，则 h(x)1e1x.令 h(x)0，得 xe1，当 x(0，e1)时，h(x)0，故 h(x)是(0，e1)上的单调减函数；当 x(e1，)时，h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的单调增函数 所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1)注意到 h(1)h(e)0，所以当
33、 x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0.当 x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 对任意的 x(1，e)成立 当 aee12，e(1，e)时，h(a)0，即 a1(e1)ln a，从而 ea10，则函数 yf(x)在这个区间内单调递增；若 f(x)0(或 f(x)0，即 0 xe 时，函数 f(x)单调递增；当 f(x)e 时，函数 f(x)单调递减 故函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)(2)因为 e3，所以 eln 3eln，ln eln 3，即 ln 3eln e，ln eln 3.于是根据函数 yln x，y
34、ex，yx 在定义域上单调递增，可得 3ee3，e3e3.故这 6 个数的最大数在3 与 3之中，最小数在 3e 与 e3 之中 由 e3 及(1)的结论，得 f()f(3)f(e)，即ln ln 33 ln ee.由ln ln 33，得 ln 33；由ln 33 ln ee，得 ln 3eln e3，所以 3e0 时为增函数；f(x)0(或 f(x)0(或0，则 xln 2；令 f(x)0，则 0 xln 2.f(x)的增区间是(，0，ln 2，)，减区间是(0，ln 2)(2)f(x)ex21exa，令 ext，由于 x1，1，t1e，e.令 h(t)t21tt1e，e，h(t)121t2
35、t222t2，当 t1e，2 时，h(t)0，函数 h(t)为单调增函数 故 h(t)在1e，e 上的极小值点为 t 2.又 h(e)e21e0(或 f(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；(3)若已知 f(x)在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f(x)的单调区间，令 I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围(2011安徽，18，13 分)设 f(x)ex1ax2，其中 a 为正实数(1)当 a43时，求 f(x)的极值点；(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围解：对 f(x)求导得 f(x)ex1ax22
36、ax（1ax2）2.(1)当 a43时，若 f(x)0，则 4x28x30，解得 x132，x212.结合式可知 x，121212，323232，f(x)00f(x)极大值 极小值 所以 x132是极小值点，x212是极大值点(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f(x)在 R 上不变号，结合与条件 a0，知 ax22ax10 在 R 上恒成立，因此 4a24a4a(a1)0，由此并结合 a0，知 0a1.考向 3 利用导数研究函数的极值和最值1判断函数极值的方法一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，(1)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是
37、极大值；(2)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值“极值点”不是点，若函数 f(x)在 x1 处取得极大值，则 x1 即为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2 处取得极小值，则 x2 为极小值点，极小值为 f(x2)2求可导函数 f(x)的极值的步骤(1)求导函数 f(x)；(2)求方程 f(x)0 的根；(3)检验 f(x)在方程 f(x)0 的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数 yf(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数 yf(x)在这个根处取得极小值，可列表完成f(x0)0 是 x0 为 f(x)的极值点的必要不充分条件例如，f(
38、x)x3，f(0)0，但 x0 不是极值点3函数的最值在闭区间a，b上的连续函数 yf(x)，在a，b上必有最大值与最小值在区间a，b上的连续函数 yf(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值(2013浙江，21，15 分)已知 aR，函数 f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若 a1，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求 f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值【解析】(1)当 a1 时，f(x)2x36x
39、26x，f(x)6x212x6.所以 f(2)6.又因为 f(2)4，所以切线方程为 y46(x2)，即 y6x8.(2)记 g(a)为 f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值 f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令 f(x)0，得到 x11，x2a.当 a1 时，x0(0，1)1(1，a)a(a，2a)2af(x)00f(x)0 极大值3a1极小值a2(3a)4a3比较 f(0)0 和 f(a)a2(3a)的大小可得 g(a)0，1a3，a2（3a），a3.当 a1 时，x0(0，1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0 极小值3a128a324a2得 g(a)3a1.综上所述
40、，f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值为 g(a)3a1，a1，0，1a3，a2（3a），a3.【点拨】解答本题的思路是：先求导，然后根据需要对参数 a 进行分类讨论，判断 f(x)的符号，得出函数的单调性，进而得出函数在每个区间上的最小值1.求函数 f(x)极值的方法求函数的极值应先确定函数的定义域，解方程 f(x)0，再判断 f(x)0 的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论2求函数 f(x)在区间a，b上的最值的方法(1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与 f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间a，b内有极
41、值，要先求出a，b上的极值，与 f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到(2014安徽，20，13 分)设函数 f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x0，1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2，令 f(x)0 得 x11 43a3，x21 43a3，且 x1x2.f(x)3(xx1)(xx2)，当 xx1 或 xx2 时，
42、f(x)0；当 x1xx2 时，f(x)0，f(x)在，1 43a3和1 43a3，上单调递减，在1 43a3，1 43a3上单调递增(2)a0，x10，x20，当 a4 时，x21，由(1)知 f(x)在0，1上单调递增，f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值 当 0a4 时，x21，由(1)知 f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，f(x)在 xx21 43a3处取得最大值 又 f(0)1，f(1)a，当 0a1 时，f(x)在 x1 处取得最小值；当 a1 时，f(x)在 x0 和 x1 处同时取得最小值；当 1a4 时，f(x)在 x0 处取得最小值考向 4
43、 利用导数解决实际问题利用导数解决实际应用问题一般有如下几类：(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可；(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质；(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质(2013重庆，20，12 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数
44、V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大【思路导引】根据数量关系列出函数关系式，并利用导数研究函数的单调性与最值【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh(元)，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元 又据题意知 200rh160r212 000，所以 h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)因为 r0，又由 h0 可得 r5 3，故函数 V(r)的定义域为(0，5 3)(2)因为 V(r)5(300r4r3)，所以 V(r)5(3001
45、2r2)令 V(r)0，解得 r15，r25(因 r25 不在定义域内，舍去)当 r(0，5)时，V(r)0，故 V(r)在(0，5)上为增函数；当 r(5，5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数 由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大【点拨】本题在列出 V 关于 r 的表达式后，要根据 r 和人的实际意义得出正确的定义域，往往在这点上易出现错误1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤步骤1 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x)，根据实际意义确定定义域；
46、步骤2 求函数 yf(x)的导数 f(x)，解方程 f(x)0 得出定义域内的实根，确定极值点；步骤3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；步骤4 还原到原实际问题中作答2在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，这个值即为最优解(2011山东，21，12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803 立方米，且 l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元，设该容器的建造费用为
47、y 千元(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的 r.解：(1)设容器的容积为 V，由题意知 Vr2l43r3，又 V803，故 lV43r3r2803r243r4320r2r.由于 l2r，因此4320r2r 2r，整理得40r25r，故 0r2.所以建造费用 y2rl34r2c2r4320r2r 34r2c.因此 y4(c2)r2160r，0r2.(2)由(1)得 y8(c2)r160r2 8（c2）r2r3 20c2，0r2.由于 c3，所以 c20，当 r3 20c20 时，r320c2.令320c2m，则 m0，所以 y8（c2）r
48、2(rm)(r2rmm2)当 0m2，即 c92时，当 rm 时，y0；当 r(0，m)时，y0；当 r(m，2)时，y0.所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 当 m2，即 3c92时，当 r(0，2)时，y0，函数单调递减，所以 r2 是函数 y 的最小值点 综合所述，若 3c92，建造费用最小时 r2；若 c92，建造费用最小时 r320c2.考向 5 利用导数解决不等式问题1不等式的证明问题可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函
49、数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论2不等式恒成立问题若 f(x)a 或 g(x)a 恒成立，只需满足 f(x)mina 或 g(x)maxa 即可，利用导数方法求出 f(x)的最小值或 g(x)的最大值，从而问题得解(2014浙江，21，15 分)已知函数 f(x)x33|xa|(a0)，若 f(x)在1，1上的最小值记为 g(a)(1)求 g(a)；(2)证明：当 x1，1时，恒有 f(x)g(a)4.【思路导引】(1)结合参数 a 的取值情况加以分类讨论，进而确定函数在给定区间内的最值；(2)将不等式恒成立问题进行转化，结合导数及其应用、函数的单调性等来证明【解析】(1)因为 a0
50、，1x1，所以 当 0a1 时，若 x1，a，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(1，a)上是减函数；若 xa，1，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(a，1)上是增函数 所以 g(a)f(a)a3.当 a1 时，有 xa，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(1，1)上是减函数，所以 g(a)f(1)23a.综上，g(a)a3，0a1，23a，a1.(2)证明：令 h(x)f(x)g(a)，当 0a1 时，g(a)a3.若 xa，1，h(x)x33x3aa3，得 h(x)3x23，则 h(x)在(a，1)上是增函数，
51、所以，h(x)在a，1上的最大值是 h(1)43aa3，且 0a1，所以 h(1)4.故 f(x)g(a)4；若 x1，a，h(x)x33x3aa3，得 h(x)3x23，则 h(x)在(1，a)上是减函数，所以，h(x)在1，a上的最大值是 h(1)23aa3.令 t(a)23aa3，则 t(a)33a20，知 t(a)在(0，1)上是增函数所以，t(a)t(1)4，即 h(1)4.故 f(x)g(a)4.当 a1 时，g(a)23a，故 h(x)x33x2，得 h(x)3x23，此时 h(x)在(1，1)上是减函数，因此 h(x)在1，1上的最大值是 h(1)4.故 f(x)g(a)4.综
52、上，当 x1，1时，恒有 f(x)g(a)4.利用导数证明不等式的方法(1)证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x)(2)证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是增函数，同时若 F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x)(2011课标全国，21，12 分)已知函数 f(x)al
53、n xx1bx，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 x2y30.(1)求 a，b 的值；(2)证明：当 x0，且 x1 时，f(x)ln xx1.解：(1)f(x)ax1x ln x（x1）2 bx2.由于直线 x2y30 的斜率为12，且过点(1，1)，故f（1）1，f（1）12，即b1，a2b12.解得 a1，b1.(2)证明：由(1)知 f(x)ln xx11x，所以 f(x)ln xx111x22ln xx21x.考虑函数 h(x)2ln xx21x(x0)，则 h(x)2x2x2（x21）x2（x1）2x2.所以当 x1 时，h(x)0.而 h(1)0，故当 x(0，1
54、)时，h(x)0，可得11x2h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0，可得11x2h(x)0.从而当 x0，且 x1 时，f(x)ln xx10，即 f(x)ln xx1.考向 6 利用导数研究与函数零点有关的问题导数在研究函数零点中的应用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决(2014四川，21，14 分)已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(
55、1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点证明：e2a1.【思路导引】(1)根据导数研究函数的单调性和最值；(2)利用零点存在性定理等知识证明不等式【解析】(1)由 f(x)exax2bx1，有 g(x)f(x)ex2axb.所以 g(x)ex2a.当 x0，1时，g(x)12a，e2a 当 a12时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递增 因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当 ae2时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递减，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(
56、1)e2ab；当12ae2时，令 g(x)0，得 xln(2a)(0，1)所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增 于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当 a12时，g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当12ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当 ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab.(2)证明：设 x0 为 f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由 f(0)f(x0)0 可知 f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不
57、可能单调递减 则 g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负，故 g(x)在区间(0，x0)内存在零点 x1.同理，g(x)在区间(x0，1)内存在零点 x2.所以 g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点 由(1)知，当 a12时，g(x)在0，1上单调递增，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点 当 ae2时，g(x)在0，1上单调递减，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点 所以12ae2.此时 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增 因此 x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有 g(0)1b0，g(1)e2ab0.由 f(1)0 有
58、abe12，有 g(0)ae20，g(1)1a0.解得 e2a1.所以，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现(2014湖南，21，13 分)已知函数 f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求 f(x)的单调区间；(2)记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(iN*)个零点，证明：对一切 nN*，有1x211x221x2n23.解：(1
59、)f(x)cos xxsin xcos xxsin x.令 f(x)0，得 xk(kN*)当 x(2k，(2k1)(kN)时，sin x0，此时 f(x)0；当 x(2k1)，(2k2)(kN)时，sin x0，此时 f(x)0.故 f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN)(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减，又 f 2 0，故 x12.当 nN*时，因为 f(n)f(n1)(1)nn1(1)n1(n1)10，且函数 f(x)的图象是连续不断的，所以 f(x)在区间(n，(n1)内至少存在一个零点又 f(x)在区间(n
60、，(n1)上是单调的，故 nxn1(n1).因此，当 n1 时，1x21 4223；当 n2 时，1x211x22 12(41)23；当 n3 时，1x211x221x2n 1241 1221（n1）2 125 1121（n2）（n1）125112 1213 1n2 1n1 126 1n1 6223.综上所述，对一切 nN*，1x211x221x2n23.思路点拨：第(1)问，求导并结合三角函数的性质求解函数的单调区间；第(2)问，利用第(1)问的结论，得出函数的零点满足 nxn1(n1)，再利用分类讨论思想和放缩法证明不等式1(2015河南郑州一模，6)设函数 f(x)x23x4，则 yf(
61、x1)的单调递减区间为()A(4，1)B(5，0)C.32，D.52，【答案】B 由 f(x)x23x4，令 f(x)0，即 x23x40，解得4x1，所以函数 f(x)的单调递减区间为(4，1)，所以 yf(x1)的单调递减区间为(5，0)2(2015山西长治调研，6)已知函数 f(x)13x312x2cxd 有极值，则 c 的取值范围为()Ac14Bc14Cc14Dc14【答案】A 由题意得 f(x)x2xc，若函数 f(x)有极值，则 14c0，解得 c14.方法点拨：f(x)在区间 D 内有极值，则 f(x)在区间 D 内有变号零点；本题中 f(x)x2xc 有两个不相等的实根 3(2
62、015四川成都一模，8)函数 f(x)是定义域为 R 的函数，对任意实数 x 都有 f(x)f(2x)成立若当 x1 时，不等式(x1)f(x)0 成立，设 af(0.5)，bf 43，cf(3)，则 a，b，c 的大小关系是()AbacBabcCcbaDacb【答案】A 因为对任意实数 x 都有 f(x)f(2x)成立，所以函数的图象关于 x1 对称，又由于若当 x1 时，不等式(x1)f(x)0 成立，所以函数在(1，)上单调递减，所以 bf 43 af(0.5)f 32 f(3)c.思路点拨：本题解题关键是由(x1)f(x)0，得出 x1 时 f(x)0，函数在(1，)上单调递减4(20
63、15湖北八校联考，9)已知函数 f(x)x3tx23x，若对于任意的 a1，2，b(2，3，函数 f(x)在区间a，b上单调递减，则实数 t 的取值范围是()A(，3 B(，5C3，)D5，)【答案】D f(x)x3tx23x，f(x)3x22tx3，由于函数 f(x)在a，b上单调递减，则有 f(x)0 在a，b上恒成立，即不等式 3x22tx30在a，b上恒成立，即有 t32x1x 在a，b上恒成立，而函数 y32x1x 在1，3上单调递增，由于 a1，2，b(2，3，当 b3 时，函数 y32x1x 取得最大值，即 ymax32313 5，所以 t5，故选 D.5(2014山东青岛二模，
64、14)已知函数 f(x)ex2xa 有零点，则 a 的取值范围是_【解析】由原函数有零点，可转化为方程 ex2xa0 有解，即方程 a2xex 有解 令函数 g(x)2xex，则 g(x)2ex.令 g(x)0，得 xln 2，g(x)ln 2.所以 g(x)在(，ln 2)上是增函数，在(ln 2，)上是减函数，所以 g(x)的最大值为 g(ln 2)2ln 22.因此，a 的取值范围就是函数 g(x)的值域，所以 a 的取值范围为(，2ln 22【答案】(，2ln 226(2015河南新乡一模，13)设 x1，x2 是函数 f(x)x32ax2a2x 的两个极值点，若 x12x2，则实数
65、a 的取值范围是_【解析】由题意得 f(x)3x24axa2 的两个零点 x1，x2 满足 x12x2，所以 f(2)128aa20，解得 2a6.【答案】(2，6)7(2015湖北黄冈一模，20，13 分)已知函数 f(x)x3ax2bxc 在点 x0处取得极小值5，其导函数 yf(x)的图象经过点(0，0)，(2，0)(1)求 a，b 的值；(2)求 x0 及函数 f(x)的表达式解：(1)由题设可得 f(x)3x22axb.f(x)的图象过点(0，0)，(2，0)，b0，124ab0，解得 a3，b0.(2)由 f(x)3x26x0，得 x2 或 x0，在(，0)上 f(x)0，在(0，
66、2)上 f(x)0，在(2，)上 f(x)0，f(x)在(，0)，(2，)上递增，在(0，2)上递减，因此 f(x)在 x2 处取得极小值，x02，由 f(2)5，得 c1，f(x)x33x21.8(2014山东济南质检，20，12 分)2014 年 1 月，山东“两会”在省城济南召开，会上人大代表和政协委员就当前的“雾霾”发表自己的看法某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k0)现已知相距 36 km 的 A，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为 a，b(a0，b0)，它们连
67、线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和设 ACx km.(1)试将 y 表示为 x 的函数；(2)若 a1 时，y 在 x6 处取得最小值，试求 b 的值解：(1)由题意知，点 C 受 A 污染源污染指数为kax，点 C 受 B 污染源污染指数为 kb36x，其中 k 为比例常数，且 k0.从而点 C 处污染指数 ykax kb36x(0 x36)(2)因为 a1，所以 ykx kb36x，yk1x2b（36x）2，令 y0，得 x361 b，当 x0，361 b 时，函数单调递减；当 x361 b，36 时，函数单调递增 所以 x361 b时，函数取得最小值又此
68、时 x6，解得 b25，经检验符合题意9(2015山东省实验中学模拟，21，14 分)函数 f(x)1x2x21x3.(1)求 yf(x)在4，12 上的最值；(2)若 a0，求 g(x)1x2x2ax3的极值点解：(1)f(x)（x1）（x3）x4，令 f(x)0，得 x1 或 x3.列表如下：x4(4，3)3(3，1)f(x)0f(x)964 极小值 427x1(1，12)12 f(x)0f(x)极大值 02yf(x)在4，12 上的最大值为 0，最小值为2.(2)g(x)x24x3ax4，设 ux24x3a，1612a，当 a43时，0，g(x)0，yg(x)没有极值点 当 0a43时，
69、x12 43a，x22 43a0，减区间为(，x1)，(x2，0)，增区间为(x1，x2)，有两个极值点 x1，x2.当 a0 时，g(x)1x2x2，g(x)x4x3，减区间为(，4)，增区间为(4，0)，有一个极值点 x4.综上所述，a0 时，有一个极值点 x4；0a43时，有两个极值点 x12 43a，x22 43a：a43时，没有极值点10(2014安徽阜阳一模，20，13 分)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x)ln xax1(aR)(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若函数 yf(x)在 R 上恰有 5 个零点，求实数 a 的取值范围解：(1)设 x0，则
70、x0.因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)ln(x)ax1.当 x0 时，f(x)0.所以函数 f(x)ln xax1（x0），0（x0），ln（x）ax1（x0）.(2)因为函数 f(x)是奇函数，所以函数 yf(x)的零点关于原点对称，由 f(x)0恰有 5 个不同的实数根，知 5 个实数根中有 2 个正根、2 个负根、1 个零根，且2 个正根和 2 个负根互为相反数 所以要使方程 f(x)0 恰有 5 个不同的实数根，只要使方程 f(x)0 在(0，)上恰有两个不同的实数根即可 下面研究 x(0，)时的情况：因为 f(x)1xa，所以当 a0 时，f(x)0，f(x)在(0，)
71、上单调递增，方程 f(x)0 在(0，)上不可能有两个不同的实数根 当 a0 时，f(x)1xa ax1ax.令 f(x)0，得 x1a.当 0 x1a时，f(x)0，函数 f(x)在0，1a 上单调递增；当 x1a时，f(x)0，函数 f(x)在1a，单调递减 所以函数 f(x)在 x1a处取得极大值ln a.所以要使方程 f(x)0 在(0，)上恰有两个不同的实数根，只要ln a0，解得 0a1，故 a 的取值范围是(0，1)11(2015江西南昌调研，20，13 分)设 a 为实数，函数 f(x)ex2x2a，xR.(1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)证明：当 aln 21 且 x
72、0 时，exx22ax1.解：(1)由 f(x)ex2x2a，xR，知 f(x)ex2，xR.令 f(x)0，得 xln 2.于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增 故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2 处取得极小值 极小值为 f(ln 2)2(1ln 2a)(2)证明：设 g(x)exx22ax1，xR，于是 g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当 aln 21 时，g(x)的最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)0，于是
73、对任意 xR 都有 g(x)0，所以 g(x)在 R 上单调递增 所以当 aln 21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，g(x)0.即 exx22ax10，故 exx22ax1.(时间：120 分钟_分数：150 分)一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1(2015山东潍坊质检，5)若曲线 yx4 的一条切线 l 与直线 x4y30垂直，则 l 的方程为()A4xy30Bx4y50C4xy30Dx4y30【答案】A 由已知得切线 l 的斜率为 4，设切点为(x0，y0)，y4x3，4x304，x01.切点为(1，1)，
74、切线 l 的方程为 4xy30.2(2014江西抚州期末，6)曲线 yx2ln x 在点(1，1)处的切线方程为()A3xy20 Bx3y20C3xy40 Dx3y40【答案】A y2x1x，故 y|x13，故在点(1，1)处的切线方程为 y13(x1)，化简整理得 3xy20.3(2014黑龙江哈师大附中二模，4)设函数 f(x)axln x(aR，a0)，若 f(e)2，则 f(e)的值为()A1 B.e2Ce D2e【答案】C f(x)aln xa，故 f(e)2a2，得 a1，故 f(x)xln x，f(e)e.4(2013浙江，8)已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导
75、函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()【答案】B 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x0 时最大，所以函数 f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在 x0 时变化率最大A 项，在 x0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误，B 项正确5(2012陕西，9)设函数 f(x)2xln x，则()Ax12为 f(x)的极大值点Bx12为 f(x)的极小值点Cx2 为 f(x)的极大值点Dx2 为 f(x)的极小值点【答案】D f(x)2x21x1x12x 0，可得 x2.当
76、0 x2 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x2 时，f(x)0，f(x)单调递增x2 为 f(x)的极小值点6(2011辽宁，11)函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为()A(1，1)B(1，)C(，1)D(，)【答案】B 方法一：设 g(x)f(x)(2x4)，则 g(x)f(x)20，g(x)在 R 上单调递增，且 g(1)f(1)(24)0.当 x1 时，g(x)g(1)0，即 f(x)2x4，故此不等式的解集为(1，)方法二：由 xR，f(1)2，f(x)2，可设 f(x)4x6，则由 4x62x4，得 x1.故选 B.
77、7(2012重庆，8)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 yxf(x)的图象可能是()【答案】C 函数 f(x)在 x2 处取得极小值，f(2)0，且函数f(x)在 x2 左侧附近为减函数，在 x2 右侧附近为增函数，即当 x2 时，f(x)0，当 x2 时，f(x)0，从而当 x2 时，yxf(x)0，当2x0 时，yxf(x)0，对照选项可知只有 C 符合题意8(2014河北石家庄一模，8)若不等式 2xln xx2ax3 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，0)B(，4C(0，)D4，)【答案】B 2x
78、ln xx2ax3，则 a2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)（x3）（x1）x2.当 x(0，1)时，h(x)0，函数 h(x)单调递减；当 x(1，)时，h(x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4.所以 ah(x)min4.故 a 的取值范围是(，49(2015河南周口调研，8)已知函数 f(x)x33mx2（mn）x12的两个极值点分别为 x1，x2，且 x1(0，1)，x2(1，)，点 P(m，n)表示的平面区域为 D，若函数 yloga(x4)(a1)的图象上存在区域 D 内的点，则实数 a 的取值范围是()A(1，3 B(1，
79、3)C(3，)D3，)【答案】B 由题意，知 yx2mxmn20 的两根 x1，x2 满足 x1(0，1)，x2(1，)，所以mn20，1mmn20，即mn0，3mn20.画出其表示的可行域 D，因为 yloga(x4)(a1)的图象上存在区域 D 内的点，所以 loga(14)1，即 a3，所以实数 a 的取值范围为(1，3)10(2014湖北宜昌一模，8)已知 yf(x)是奇函数，当 x(0，2)时，f(x)ln xaxa12，当 x (2，0)时，f(x)的最小值为 1，则 a 的值等于()A.14B.13C.12D1【答案】D 由 f(x)是奇函数，x(2，0)时，f(x)的最小值为
80、1 知，当 x(0，2)时，f(x)的最大值为1.令 f(x)1xa0，得 x1a.当 0 x1a时，f(x)0；当 x1a时，f(x)0.f(x)maxf1a ln a11，解得 a1.11(2015湖南常德质检，9)定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若 x1x2，则 ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系为()Aex1f(x2)ex2f(x1)Bex1f(x2)ex2f(x1)Cex1f(x2)ex2f(x1)Dex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系不确定【答 案】A 设 g(x)f（x）ex，则 g(x)f（x）exf（x）ex（ex）2f（x）
81、f（x）ex，由题意 g(x)0，所以 g(x)单调递增，当 x1x2 时，g(x1)g(x2)，即f（x1）ex1f（x2）ex2，所以 ex1f(x2)ex2f(x1)12(2015辽宁丹东二模，12)已知函数 f(x)的定义域为3，)，且 f(6)2.f(x)为 f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示若正数 a，b 满足 f(2a3b)2，则b3a2的取值范围是()A.，32(3，)B.92，3C.，92(3，)D.32，3二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)13(2013江西，11)若曲线 yx1(R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则 _.【解析】求导得 y
82、x1，曲线在点(1，2)处的切线的斜率 k，由点斜式得切线方程为 y2(x1)切线经过原点(0，0)，2(1)，2.【答案】214(2015山东省实验中学月考，13)已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0)_.【解析】函数的导数为 f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，解得 f(1)2，所以 f(x)2x4，故 f(0)4.【答案】415(2015山西大同月考，13)若直线 l 与幂函数 yxn 的图象相切于点 A(3，3 3)，则直线 l 的方程为_【解析】由已知，得点 A(3，3 3)在幂函数 yxn 的图象上，即 3 3 3n，n3，yx3.由导数的几何意义，幂函数在点 A
83、处的切线的斜率为 k3(3)29，所以，由直线方程的点斜式得直线 l 的方程为 9xy6 30.【答案】9xy6 3016(2014湖北武汉模拟，14)某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，销量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元【解析】设商场销售该商品所获利润为 y 元，则 y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则 y3p2300p11 700.令 y0 得 p2100p3 9000，解得 p30 或 p130(
84、舍去)则 p，y，y变化关系如下表：p(20，30)30(30，)y0y 极大值 故当 p30 时，y 取极大值为 23 000 元 又 yp3150p211 700p166 000 在20，)上只有一个极值，故也是最值 所以该商品零售价定为每件 30 元，所获利润最大为 23 000 元【答案】30 23 000三、解答题(共 6 小题，共 74 分)17(12 分)(2014大纲全国，21)函数 f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在区间(1，2)是增函数，求 a 的取值范围解：(1)f(x)3ax26x3，f(x)0 的判别式 36(1a)若
85、a1，则 f(x)0，当且仅当 a1，x1 时，f(x)0.故此时 f(x)在 R 上是增函数 由于 a0，故当 a1 时，f(x)0 有两个根：x11 1aa，x21 1aa.若 0a1，则当 x(，x2)或 x(x1，)时，f(x)0，故 f(x)分别在(，x2)，(x1，)上是增函数；当 x(x2，x1)时，f(x)0，故 f(x)在(x2，x1)是减函数 若 a0，则当 x(，x1)或 x(x2，)时，f(x)0，故 f(x)分别在(，x1)，(x2，)是减函数；当 x(x1，x2)时 f(x)0，故 f(x)在(x1，x2)是增函数(2)当 a0，x0 时，f(x)3ax26x30，
86、故当 a0 时，f(x)在区间(1，2)是增函数 当 a0 时，f(x)在区间(1，2)是增函数，当且仅当 f(1)0 且 f(2)0，解得54a0.综上，a 的取值范围是54，0(0，)思路点拨：(1)先求出导函数，然后对参数 a 的取值进行分类讨论，利用导函数符号的变化判断函数的单调性；(2)根据 a 的符号进行分类讨论，再由(1)的结果及已知条件确定参数 a 所满足的条件，进而求其取值范围18(12 分)(2013北京，18)已知函数 f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线 yf(x)在点(a，f(a)处与直线 yb 相切，求 a 与 b 的值；(2)若曲线 yf(x)与直线
87、yb 有两个不同交点，求 b 的取值范围解：由 f(x)x2xsin xcos x，得 f(x)x(2cos x)(1)因为曲线 yf(x)在点(a，f(a)处与直线 yb 相切，所以 f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得 a0，bf(0)1.(2)令 f(x)0，得 x0.f(x)与 f(x)的情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1 所以函数 f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1 是 f(x)的最小值 当 b1 时，曲线 yf(x)与直线 yb 最多只有一个交点；当 b1 时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)1b，所
88、以存在 x1(2b，0)，x2(0，2b)，使得 f(x1)f(x2)b.由于函数 f(x)在区间(，0)和(0，)上均单调，所以当 b1 时曲线 yf(x)与直线 yb 有且仅有两个不同交点 综上可知，如果曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点，那么 b 的取值范围是(1，)19(12 分)(2014广东，21)已知函数 f(x)13x3x2ax1(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，试讨论是否存在 x00，12 12，1，使得 f(x0)f12.解：(1)f(x)x22xa，方程 x22xa0 的判别式 44a4(1a)，若 a1，则 0，f(x)x22xa0
89、，f(x)在 R 上单调递增 若 a1，则 0，方程 x22xa0 有两个不同的实数根，x11 1a，x21 1a.当 xx1 或 xx2 时，f(x)0；当 x1xx2 时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(，1 1a)和(1 1a，)，单调递减区间为(1 1a，1 1a)(2)当 a0 时，x11 1a0.当1 1a1 时，即 a3 时，f(x)在(0，1)上单调递减，不满足题意；当1 1a1 时，即3a0 时，f(x)在(0，1 1a)上单调递减，在(1 1a，1)上单调递增，所以 f(x)minf(1 1a)，由题意知1 1a12，所以 a54.f(x)maxmaxf(0)，f(1
90、)；f(0)1，f(1)a73，f 12 3124a2.a当 a731 时，即43a0 时，f(x)maxf(1)令 f 12 f(0)，解得 a 712，又因为43a0，所以43a 712，且 a54.b当 a731 时，即 a43时，f(x)maxf(0)令 f 12 f(1)，解得2512a43.综上所述，当 a a2512a54或54a 712 时，存在 x00，12 12，1，使得 f(x0)f 12.方法点拨：(1)对函数求导是解题的首要步骤；(2)对函数单调区间的求解常结合二次函数的图象来理解和判断；(3)要特别注意分类讨论方法的应用，做到不重不漏(4)本题解题的关键是对参数 a
91、 进行分类讨论；结合(1)的结论，由 f(x)在(0，1)上的单调性及 f(0)，f 12，f(1)的大小关系进行分类讨论，进而可得结果20(12 分)(2014江西，18)已知函数 f(x)(4x24axa2)x，其中 a0.(1)当 a4 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在区间1，4上的最小值为 8，求 a 的值解：(1)当 a4 时，由 f(x)2（5x2）（x2）x0，得 x25或 x2.由f(x)0，得 0 x2，故函数 f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，)(2)f(x)（10 xa）（2xa）2 x，a0，由 f(x)0 得 x a10或 xa2.当 x0
92、，a10 时，f(x)单调递增；当 x a10，a2 时，f(x)单调递减；当 xa2，时，f(x)单调递增 易知 f(x)(2xa)2 x0，且 f a2 0.当a21，即2a0 时，f(x)在1，4上的最小值为 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合题意 当 1a24，即8a2 时，f(x)在1，4上的最小值为 f a2 0，不符合题意 当a24，即 a8 时，f(x)在1，4上的最小值可能在 x1 或 x4 处取得，而 f(1)8，由 f(4)2(6416aa2)8，得 a10 或 a6(舍去)，当a10 时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在1，4上的最小
93、值为 f(4)8，符合题意 综上，a10.21(12 分)(2014福建，22)已知函数 f(x)exax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A，曲线 yf(x)在点 A 处的切线斜率为1.(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值；(2)证明：当 x0 时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x(x0，)时，恒有 xcex.解：方法一：(1)由 f(x)exax，得 f(x)exa.又 f(0)1a1，所以 a2.所以 f(x)ex2x，f(x)ex2.令 f(x)0，得 xln 2.当 xln 2 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 xln 2 时，f(x)
94、0，f(x)单调递增 所以当 xln 2 时，f(x)有极小值 且极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22ln 4.f(x)无极大值(2)证明：令 g(x)exx2，则 g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即 g(x)0.所以 g(x)在 R 上单调递增 又 g(0)10，所以当 x0 时，g(x)g(0)0，即 x2ex.(3)证明：对任意给定的正数 c，取 x01c，由(2)知，当 x0 时，x2ex.所以当 xx0 时，exx21cx，即 xcex.因此，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 xcex.方法二：(1)同方
95、法一(2)同方法一(3)证明：令 k1c(k0)，要使不等式 xcex 成立，只需要 exkx 成立 而要使 exkx 成立，则只需要 xln(kx)，即 xln xln k 成立 若 0k1，则 ln k0，易知当 x0 时，xln xln xln k 成立 即对任意 c1，)，取 x00，当 x(x0，)时，恒有 xcex.若 k1，令 h(x)xln xln k，则 h(x)11xx1x，所以当 x1 时，h(x)0，h(x)在(1，)内单调递增 取 x04k，h(x0)4kln(4k)ln k2(kln k)2(kln 2)，易知 kln k，kln 2，所以 h(x0)0.因此，对任
96、意 c(0，1)，取 x04c，当 x(x0，)时，恒有 xcex.综上，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 xcex.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)证明：若 c1，取 x00，由(2)的证明过程知，ex2x，所以当 x(x0，)时，有 cexex2xx，即 xcex.若 0c1，令 h(x)cexx，则 h(x)cex1.令 h(x)0，得 xln 1c.当 xln 1c时，h(x)0，h(x)单调递增 取 x02ln 2c，h(x0)ce2ln 2c2ln 2c22cln 2c，易知2cln 2c0，又 h(x)在(x0，)内单调递增，所以当 x(x0
97、，)时，恒有 h(x)h(x0)0，即 xcex.综上，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 xcex.注：对 c 的分类可有不同的方式，只要解法正确即可思路点拨：(1)求 f(x)，依题设条件可得 f(0)1，从而可求出 a 的值；求方程 f(x)0 的根，判断在导函数等于 0 的点的左右两侧的导数的符号，得出结论；(2)构造函数，利用函数的单调性来证明不等式；(3)方法二、三对 c 进行分类讨论，通过构造函数，利用导数来求其单调性，就可得所求证的结果22(14 分)(2014陕西，21)设函数 f(x)ln xmx，mR.(1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求
98、 f(x)的极小值；(2)讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数；(3)若对任意 ba0，f（b）f（a）ba1 恒成立，求 m 的取值范围解：(1)由题设，当 me 时，f(x)ln xex，则 f(x)xex2，当 x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当 x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当 xe 时，f(x)取得极小值 f(e)ln eee2，f(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x)f(x)x31xmx2x3(x0)，令 g(x)0，得 m13x3x(x0)设(x)13x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当 x(0，1)时，(
99、x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当 x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减 x1 是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此 x1 也是(x)的最大值点(x)的最大值为(1)23.又(0)0，结合 y(x)的图象(如图)，可知 当 m23时，函数 g(x)无零点；当 m23时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0m23时，函数 g(x)有两个零点；当 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点 综上所述，当 m23时，函数 g(x)无零点；当 m23或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0m23时，函数 g(x)有两个零点(3)对任意的 ba0，f（b）f（a）ba1 恒成立，等价于 f(b)bf(a)a 恒成立(*)设 h(x)f(x)xln xmxx(x0)(*)等价于 h(x)在(0，)上单调递减 由 h(x)1xmx210 在(0，)上恒成立，得 mx2xx12214(x0)恒成立，m14(对 m14，h(x)0 仅在 x12时成立，m 的取值范围是14，.方法点拨：(1)利用导数研究函数的单调性，从而得到 f(x)的极小值；(2)依据函数零点的意义将问题转化为三次函数图象问题进行解决；(3)将不等式恒成立进行合理变形转化，构建新函数，借助导数分离参数化归为二次函数在(0，)上的值域问题，从而求得参数范围
