1、甘肃省岷县第一中学2021届高三数学第二次模拟考试试题本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟第卷选择题(共45分)参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A，B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)柱体的体积公式VSh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高锥体的体积公式VSh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高 一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合A1，0，1，B1，2，3，CxR|1xbc Bbca Ccba Dcab8若函数f(x)cos
2、(2x)(00，b0)的右焦点为F(5，0)，且一条渐近线方程是yx，则该双曲线的方程是_11若的展开式中的常数项为160，则实数a_12已知点P(x，y)在直线x2y30上，则2x4y的最小值为_13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinCccos0，则cosA_14如图，点O是长方体ABCDA1B1C1D1的中心，E，F，G，H分别为其所在棱的中点，且BCBB1.记棱AB的长度为l，点O到平面BCC1B1的距离为l0，则l_l0；若该长方体的体积为120，则四棱锥OEFGH的体积为_15在梯形ABCD中，ABCD，DAB90，AB2，CDAD1，若点M在线段BD上，
3、则的最小值为_三、解答题(本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养该校教务处要求各班针对薄弱学科成立特色学科“兴趣学习小组”(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶已知该校某班的语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步现采用分层抽样的方法从该班的语文、数学、英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查(1)应从语文、数学、英语三个兴趣小组
4、中分别抽取多少人？(2)若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查记X表示随机抽取的4人中，语文、数学、英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X的分布列和数学期望；设M为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M发生的概率17(本小题满分15分)已知各项均为正数的数列an，满足2Sn3(an1)(nN*)(1)求证：an为等比数列，并写出其通项公式；(2)设bn(2n1)an(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.18(本小题满分15分)如图，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，PC底面ABCD，ABCD，BAD90
5、，ADCD1，ABC45，E为PB的中点(1)求证：BC平面PAC；(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角PACE的余弦值19(本小题满分15分)已知F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，其焦距为6，过F1的直线与C交于A，B两点，且ABF2的周长是12.(1)求C的方程；(2)若M(x0，y0)是C上的动点，从点O(O是坐标系原点)向圆(xx0)2(yy0)26作两条切线，分别交C于P，Q两点已知直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为k1，k2.求证：k1k2为定值；试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由20(本小题满分16分)已知函
6、数f(x)ex(sinxcosx4)，函数g(x)2xcosx，其中e2.718 28是自然对数的底数(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设函数h(x)f(x)ag(x)(aR)，讨论h(x)的单调性；(3)若对任意x，恒有关于x的不等式cosx0成立，求实数m的取值范围数学答案1B命题立意本题考查集合的交集、补集运算解析AB1，0，1，2，3，(AB)C1，0，故选B.2C命题立意本题考查特称量词命题的否定解析特称量词命题的否定为全称量词命题，命题p的否定是：xR，x22x30，故选C.3D命题立意本题考查复数的除法运算、复数的模解析z，z的实部为1，1，a7，z13
7、i，|z|，故选D.4D命题立意本题考查函数的奇偶性解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)200a0，a1，f(a)f(1)f(1)(2111)2，故选D.5A命题立意本题考查已知三角函数值求角、求值解析(0，)，又sin，coscos0，故选A.6B命题立意本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.则解得a7a1(71)d13，故选B.7C命题立意本题考查指数、对数函数的单调性解析alog30.3log0.31，且b1，cba.故选C.8D命题立意本题考查余弦型函数的性质解析当x时，2x，又(0，)，f(x)cos(2x)在上单调递减，0，.令f(
8、x)0，得2xk，kZ，x，kZ，f(x)在上存在零点，解得0)相切时，设切点B(x0，y0)，则k，y0x01，x0e，k，此时有三个交点；由图象可得当k时两图象有三个交点，故选B.10.1命题立意本题考查双曲线的方程、几何性质解析右焦点F(5，0)，c5，渐近线方程是yx，又a2b2c2，解得a3，b4，双曲线方程为1.112命题立意本题考查二项展开式中的特定项解析展开式的通项为Tr1Cr6x6rarCr6x62r，令62r0，得r3，常数项为a3C36160，a2.124命题立意本题考查基本不等式解析点P(x，y)在直线x2y30上，x2y3，2x4y224，当且仅当2x4y，即时等号成
9、立，2x4y的最小值为4.13.命题立意本题考查正弦定理、两角差的余弦公式解析asinCccos0，sinAsinCsinC(cosAsinA)0，sinC0，sinAcosA，A(0，)，A，cosA.14210命题立意本题考查长方体的性质、棱锥的体积解析O为长方体的中心，O到平面BCC1B1的距离为AB的一半，l2l0.设ABa，BCBB1b，则V长方体ab2120.VOEFGHSEFGHABb2aab210.15命题立意本题考查向量的数量积、向量共线解析如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(1，1)设，M(x，y)，则(x
10、2，y)(2，1)，x22，y，即M(22，)，(22，)(12，1)(22)(12)(1)52725.当时，的最小值为.16命题立意本题考查分层抽样、超几何分布的分布列和期望、互斥事件的和事件的概率解题思路(1)由分层抽样的抽样比确定各层所抽取人数；(2)由题意知X服从超几何分布，P(Xk)(k2，3，4)，写出分布列，代期望公式得期望值；将事件M分解为两个互斥的简单事件，由中分布列得P(M)解(1)依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为223，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取2人、2人、3人(2)依题意，得随机变量X的所有可能取值为
11、2，3，4.所以，P(Xk)(k2，3，4)因此，所求随机变量X的分布列为X234P故随机变量X的数学期望为E(X)234.依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”则有MBC，且B与C互斥由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X3)，所以P(M)P(BC)P(X2)P(X3).故事件M发生的概率为.17命题立意本题考查等比数列的证明、通项公式、错位相减法求和解题思路(1)利用anSnSn1(n2)及已知整理得3(n2)得an为等比数列，由n1求出a1，写出an的通项公式；(2
12、)由(1)写出bn的通项公式，利用错位相减法求和即可解(1)证明：因为2Sn3(an1)(nN*)，所以，当n2时，有2Sn13(an11)，得2(SnSn1)3(anan1)，即2an3an3an1，所以3(nN*，n2)所以数列an是公比为3的等比数列又由得2S12a13(a11)，所以a13.所以ana1qn133n13n，(2)由题意及(1)得bn(2n1)an(2n1)3n.所以Tn131332(2n1)3n，所以3Tn132333(2n3)3n(2n1)3n1，得2Tn13123223323n(2n1)3n1312(3132333n)(2n1)3n132(2n1)3n162(n1)
13、3n1，故Tn3(n1)3n1.18命题立意本题考查线面垂直的证明、线面角、二面角解题思路(1)只须证出BCAC，BCPC，即可由线面垂直的判定定理得BC平面PAC；(2)由(1)知sinBPC，得PB值，在RtPBC中求得PC值，建立空间直角坐标系，分别求出平面PAC与平面ACE的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值解(1)证明：因为ABCD，BAD90，所以ADC90.又因为ADCD1，所以ACD是等腰直角三角形，所以AC，CAD45.又因为BAD90，ABC45，所以ACB90，即ACBC.因为PC底面ABCD，BC平面ABCD，所以PCBC.又PCACC，所以BC平面PAC.(2)
14、在RtABC中，ABC45，AC，所以BC.由(1)知，BC平面PAC，所以BPC是直线PB与平面PAC所成的角，则sinBPC.在RtPBC中，PB，所以PC2.方法一：以点C为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.则C(0，0，0)，P(0，0，2)，A(，0，0)，B(0，0)因为E为PB的中点，所以E，所以(，0，0)，.设平面ACE法向量为m(x，y，z)，则即令y2，得x0，z，所以m(0，2，)由BC平面PAC，则n(0，1，0)为平面PAC的一个法向量所以cosm，n.故所求二面角PACE的余弦值为.方法二：以点C为原点，分别以，的
15、方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.则C(0，0，0)，P(0，0，2)，A(0，0)，B(，0，0)因为E为PB的中点，所以E，所以(0，0)，.设平面ACE法向量为m(x，y，z)，则即令x2，得y0，z.所以m(2，0，)由BC平面PAC，则n(1，0，0)为平面PAC的一个法向量所以cosm，n.故所求二面角PACE的余弦值为.19命题立意本题考查椭圆方程、直线与圆、直线与椭圆的位置关系解题思路(1)由已知列方程组求出a，b得椭圆方程；(2)设直线OP方程、OQ方程由OP、OQ分别与圆相切得k1、k2是一元二次方程的两实根，由韦达定理得k1k2为定值将直
16、线OP、OQ方程分别与椭圆方程联立求得P、Q坐标，从而得|OP|2|OQ|2表达式，利用中结论整理得定值解(1)设椭圆C：1(ab0)的焦距为2c(c0)，则2c6，所以c3.因为直线AB过C的焦点F1，且ABF2的周长是12，所以|AB|(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)4a12，所以a3，所以b2a2c21899，所以，椭圆C的方程是1.(2)证明：由题意得，直线OP：yk1x，直线OQ：yk2x.因为直线OP，OQ与圆M相切，所以，化简，得(x206)k212x0y0k1y2060；同理，得(x206)k222x0y0k2y2060.所以k1，k2是一元二
17、次方程(x206)k22x0y0ky2060的两实数根，则有k1k2.又因为点M(x0，y0)在C上，所以1，即y209x20，所以k1k2(定值)|OP|2|OQ|2是定值，且定值为27.理由如下：方法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立方程组解得所以x21y21.同理，得x22y22.由知k1k2，所以|OP|2|OQ|2x21y21x22y2227，所以|OP|2|OQ|227(定值)方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)由知k1k2，所以y21y22x21x22.因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，所以即所以(9x21)(9x22)x21x22，整理得x21x2
18、218，所以y21y229.故有|OP|2|OQ|227(定值)20命题立意本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、恒成立问题解题思路(1)对f(x)求导，得切线斜率，点斜式写出切线方程；(2)对h(x)求导，分a0和a0两种情况讨论h(x)的单调性；(3)问题转化为excosxxm0对x恒成立，求m范围，构造函数(x)excosxxm，对(x)求导，判(x)的单调性，由(x)max0求得m的取值范围解(1)由题意，得f(x)ex(sinxcosx4)ex(cosxsinx)ex(2sinx4)，所以f(0)4.因为f(0)3，所以y34(x0)，即所求曲线yf(x)在点(0，f(0
19、)处的切线方程为：4xy30.(2)易知，函数h(x)的定义域为R，g(x)2sinx，且有h(x)f(x)ag(x)ex(2sinx4)a(sinx2)(2exa)(sinx2)由于sinx20在xR上恒成立，所以当a0时，2exa0在xR上恒成立，此时h(x)0，所以，h(x)在区间(，)上单调递增当a0时，由h(x)0，即2exa0，解得xln；由h(x)0，即2exa0，解得xln.所以，h(x)在区间上单调递减；在区间上单调递增(3)易知，cosx0等价于excosxxm0.设(x)excosxxm，.由题意，对x时，不等式cosx0恒成立，只需(x)max0.易得(x)ex(cosxsinx)1，x.令t(x)ex(cosxsinx)1，x，所以t(x)ex(2sinx)显然，当x时，t(x)0恒成立所以函数t(x)在x上单调递减，所以t(x)t(0)0，即(x)0在x恒成立所以，函数(x)在x上单调递减所以有(x)max(0)1m0，所以m1.故所求实数m的取值范围是1，)
