1、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题建议用时：45分钟一、选择题1不等式x2y20表示的平面区域(用阴影部分表示)应是()ABCDDx2y20(xy)(xy)0或结合图形可知选D.2设x，y满足约束条件则zxy的取值范围是()A3,0B3,2C0,2D0,3B画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yxz过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax202；当直线yxz过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin033.所以zxy的取值范围是3,2故选B.3若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4B9C10D12C作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示x2
2、y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，1)，由图易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故选C.4若x，y满足且z3xy的最大值为2，则实数m的值为()A.B. C1D2D由选项得m0，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示因为z3xy，所以y3xz，当直线y3xz经过点A时，直线在y轴上的截距z最小，即目标函数取得最大值2.由得A(2，4)，代入直线mxy0得2m40，所以m2.5某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润
3、为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A12万元B16万元C17万元D18万元D设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有目标函数z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值由得A(2,3)则zmax324318(万元)二、填空题6(2018全国卷)若变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_3作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x2与直线x2y40的交点(2,3)时，zxy取得最大值，即zmax233.7若变量x，y满足约束条件则(x2)2y2的最小值为
4、_5作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，设z(x2)2y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小由得即C(0,1)，此时zmin(x2)2y2415.8已知实数x，y满足约束条件则目标函数z的最大值为_作出约束条件所表示的平面区域，其中A(0,1)，B(1,0)，C(3,4)目标函数z表示过点Q(5，2)与点(x，y)的直线的斜率，且点(x，y)在ABC平面区域内显然过B，Q两点的直线的斜率z最大，最大值为.三、解答题9如图所示，已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)(1)写出表
5、示区域D的不等式组；(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围解(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18,14)10若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，过A(3,4)时z取最小值2，过
6、C(1,0)时z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知12，解得4a2.故a的取值范围是(4,2)1已知实数x，y满足约束条件若目标函数zyax(a0)取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为()A2B1C1或2D1B不等式组表示的平面区域如图所示：由zyax得yaxz，当a0时，不合题意当a0时，直线yaxz与AC重合时，z取得最大值的最优解有无数个，则a1，故选B.2若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A3B1 C.D3B作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B
7、(1m,1m)，C，D(2m,0)SABCSADBSADC|AD|yByC|(22m)(1m)，解得m1或m3(舍去)3(2019南阳模拟)已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_0,2作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为点A(1,1)，点M(x，y)，所以yx，令yxm，平移直线yxm，由图可知，当直线经过点D(1,1)时，m取得最小值，且最小值为0，当直线经过点C(0,2)时，m取得最大值，且最大值为2，所以yx的取值范围是0,2，故的取值范围是0,24某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥
8、料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分图1(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将
9、它变形为yx，它的图像是斜率为，随z变化的一组平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大根据x，y满足的约束条件，由图2可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大图2解方程组得点M的坐标为(20,24)，所以zmax220324112.即生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元1已知不等式组表示的平面区域为D，若对任意的(x，y)D，不等式t4x2y6t4恒成立，则实数t的取值范围是_(3,5)作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)，设zx2y6，平移直线yx，可知zx2y6在
10、A(3,4)处取得最小值1，在C(1,0)处取得最大值7，所以解得3t5，故实数t的取值范围是(3,5)2已知函数f(x)x2bxc的图像与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且0x11x22，求b2c的取值范围解由函数f(x)x2bxc的图像与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且0x11x22，则设zb2c，作出约束条件所表示的平面区域(如图阴影部分，不含边界)，如图所示，由图像可知，当zb2c经过点A时，目标函数zb2c取得最大值，当zb2c经过点B时，目标函数zb2c取得最小值，又由解得A(3,2)，此时zmax3221，由解得B(2,0)，此时zmin2202，所以b2c的取值范围是(2,1)
