1、信阳市2020-2021学年度高二下学期期末教学质量检测数学（理科）试题（测试时间：120分钟卷面总分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数之满足，则复数的共扼复数所对应的点位于复平面的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2.已知函数，则（ ）ABCD3.用反证法证明命题“自然数，中至少有一个偶数”，则证明的第一步，其正确的反设为（ ）A，都是奇
2、数B，都是偶数C，至少有一个奇数D，至多有一个偶数4.有一散点图如图所示，在个数据中去掉后，给出下列说法：相关系数变大；相关指数变大；残差平方和变小；解释变量与预报变量的相关性变强其中正确说法的个数为（ ）A个B个C个D个5.若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为（ ）ABCD6.函数的单调递减区间为（ ）ABCD7.与的关系为（ ）ABCD无法确定8.在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间变化的函数为若圆柱的体积以均匀速度增长，
3、则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径（ ）A成正比，比例系数为B成正比，比例系数为C成反比，比例系数为D成反比，比例系数为9.2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件“个医疗小组去的国家各不相同”，事件“小组甲独自去一个国家”，则（ ）ABCD10.已知，恰有一个极值点，则的取值范围是（ ）ABCD11.我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯
4、努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，我们称服从“几何分布”，经计算得由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的实验次数记为，则，那么（ ）ABCD12.已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.经研究发现:任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数若函数图象的对称中心点为，则，的值依次为 14.2021年1月某校高三年级名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩（试卷满分为分）统计结果显示数学考试成绩在分
5、到分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为 15.我们知道，当时，可以得到不等式，当时，可以得到不等式，由此可以推广:当时，其中，得到的不等式是 16.已知，则曲线在处的切线方程为 _三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，若，求实数的值18.设（，），若的展开式中，存在某连续项，其二项式系数依次成等差数列，则称具有性质（1）求证：具有性质（2）若存在，使具有性质，求的最大值19.某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如
6、下表：月份广告投入量收益他们分别用两种模型，分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图所示的残差图及一些统计量的值（1）根据残差图，比较模型的拟合效果，应该选择哪个模型？请说明理由（2）残差绝对值大于的数据认为是异常数据，需要剔除（1）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；（2）若广告投入量，求该模型收益的预报值是多少？附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；20.已知是函数的导函数，且，当时，（1）证明:当时，函数是增函数；（2）解不等式21.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级
7、，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格得分频数（1）若测试的同学中，分数段、女生的人数分别为人、人、人、人，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？是否合格性别不合格合格总计男生女生总计（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；（3）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案在（2）的
8、条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：，22.已知，是的导数（1）求的极值；（2）令，若的函数图像与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围信阳市2020-2021学年度高二下学期期末教学质量检测数学（理科）试题参考答案一、选择题题号答案1.由题意得，则，所以所对应的点位于复平面的第四象限故选2.由常见导数公式及导数的四则运算法则，可得故选3.命题“自然数，中至少有一个偶数”的否定为“自然数，中没有偶数”，即“自然数，都是奇数”故选4.由散点图可知，去掉后，与的相关性加强，并且是正相关，所以相关系数变大，相关指数变大，残差平方和变小，所以四个命题都正确故选5.令得展开式中的各项系数和
9、为，解得，所以展开式的通项为，令得展开式的常数项为故选6.函数的定义域为，由解得，所以函数的单调递减区间为故选7.，而，所以，所以故选8.设圆柱高度为，由，知，即，所以又圆柱的侧面积，则其侧面积的增长速度，所以圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径成反比，比例系数为故选9.由题意知，所以故选10.由题意得，恰有一个极值点，在上无解，即在上无解令，则，函数在上单调递增，当时，故选11.由得故选12.函数的定义域为，所以当时，单调递增，当时，单调递减，注意，所以时，时；，；时，同时注意到，所以若存在，使得成立，则且，令，则，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，故选二、填空题13.， 14.
10、15. 16.13.因为，所以，所以，又的对称中心为，所以，解得，由，解得14.因为，所以其正态曲线关于直线对称又成绩在分到分之间的人数约为总人数的，所以成绩不低于分的学生人数占总人数的所以成绩不低于分的学生人数约为15.由类比推理可得得到的不等式是16.，令得，解得，所以，则，所以曲线在处的切线方程为，即三、解答题17.把代入关于的方程得解得的值为18.（1）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为，因为，即，成等差数列，所以具有性质（2）设具有性质，则存在，使，成等差数列，所以，整理得：，即，所以为完全平方数，又，由于，所以的最大值为，此时或19.（1）应该选择模型，因为模型的残差点比较
11、均匀地落在水平的带状区域中，且模型的带状区域比模型的带状区域窄，所以模型的拟合精度高，回归方程的预报精度高（2）剔除异常数据，即月份的数据后，得，所以关于的回归方程为把代入中所求回归方程得，故预报值为万元20.（1）证明:，当时，当时，在上是增函数（2），是偶函数又，即，即，解得故不等式的解集为21.（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，性别与合格情况的列联表为：是否合格性别不合格合格总计男生女生总计即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关（2）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为、
12、，的分布列为：所以（3）由（2）知:故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不雭要调整安全教育方案22.（1）因为，令，得，当变化时，的变化如下表所示:极大值极小值由上表可知，（2）由（1）知，由题知需有三个不同的解，即有三个不同的解设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，又当时，当时，且，且，作出函数的简图如图：数形结合可知：注：考虑学生只是高二年级，故参考答案给出的是极限以及借助图象求解，但是实际上这是不严谨的，下面给出严谨的证明过程（即取点证明）:当时，所以存在唯一使得；又，所以存在唯一使得；当时，则，又当时，则，所以，所以，且，所以存在唯一使得；所以当时有三个不同的解，即的函数图象与轴有三个不同的交点
