1、专题限时训练(十)平面向量(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2015贵州七校联考)在ABC中，AB4，ABC30，D是边上的一点，且，则的值等于()A4 B0 C4 D8答案：C解析：，()0，即，故AD为ABC的边BC上的高，在RtABD中，AB4，ABD30，AD2，BAD60，|cos BAD244.故选C.2(2015浙江六校模拟)已知向量a，b是单位向量，若ab0，且|ca|c2b|，则|c2a|的取值范围是()A1,3 B2，3C. D.答案：D解析：由题意设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则ca(x1，y)，c2b(x，y2)，则，即(
2、x，y)到A(1,0)和B(0,2)的距离的和为，即表示点(1,0)和(0,2)之间的线段，|c2a|表示点(2,0)到线段AB的距离，最小值是点(2,0)到直线2xy20的距离，所以|c2a|min，最大值为(2,0)到(1,0)的距离，是3，所以|c2a|的取值范围是.故选D.3(2014河北衡水中学一调)已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A. B.C. D.答案：C解析：设a与b的夹角为.f(x)x3|a|x2abx，f(x)x2|a|xab.函数f(x)在R上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|
3、a|24ab0，ab，又|a|2|b|0，cos ，即cos ，又0，.故选C.4在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且1，则等于()A1 B1 C. D.答案：B解析：依题意，|，|cosAOC1，cosAOC，AOC，则|，BAC，|cosBAC1.5(2014浙江卷)设为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|bta|的最小值为1()A若确定，则|a|唯一确定B若确定，则|b|唯一确定C若|a|确定，则唯一确定D若|b|确定，则唯一确定答案：B解析：|bta|2b22abtt2a2|a|2t22|a|b|cos t|b|2.因为|bta|min1
4、，所以|b|2(1cos2)1.所以|b|2 sin21，所以|b|sin 1，即|b|.即确定，|b|唯一确定二、填空题(每小题5分，共15分)6如图，在ABC中，C90，且ACBC3，点M满足2，则_.答案：3解析：解法一：如图建立平面直角坐标系，由题意知，A (3,0)，B(0,3)，设M(x，y)，由2，得解得即M点的坐标为(2,1)，所以(2,1)(0,3)3.解法二：()22 ()23.7(2015杭州质量检测)在AOB中，G为AOB的重心，且AOB60，若6，则|的最小值是_答案：2解析：如图，在AOB中，()()，又|cos 606，|12，|2()2(|2|22)(|2|21
5、2)(2|12)364(当且仅当|时，等号成立)|2，故|的最小值是2.8(2015山西检测)在ABC中，AC2AB2，BC，P是ABC内部的一点，若，则PAPBPC_.答案：解析：tanAPB，同理，tanBPC，tanAPC，由题意知，tanAPBtanBPCtanAPC，又APBBPCAPC360，APBBPCAPC120.由余弦定理，得1PA2PB2PAPB，3PB2PC2PBPC,4PA2PC2PAPC，三式相加，得82PA22PB22PC2PAPBPAPCPBPC.由题意，知SABCSPABSPCASPBC，又易得SABC，PAPBsinAPBPAPCsinAPCPBPCsinBP
6、C，PAPBPAPCPBPC2，把代入整理，得PA2PB2PC23，PA2PB2PC22PAPB2PAPC2PBPC7，(PAPBPC)27，PAPBPC.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9已知向量m(sin x，1)，n(cos x,3)(1)当mn时，求的值；(2)已知在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c2asin(AB)，函数f(x)(mn)m，求f的取值范围解：(1)由mn，可得3sin xcos x，于是tan x，.(2)在ABC中ABC，于是sin(AB)sin C，由正弦定理，得sin C2sin Asin C，sin C0，sin
7、 A.又ABC为锐角三角形，A，于是B.f(x)(mn)m(sin xcos x,2)(sin x，1)sin2xsin xcos x2sin 2x2sin，fsinsin 2B.由B，得2B，0sin 2B1，sin 2B，即f.10.(2015东北三校一模)已知ABC的面积为2，且满足04，和的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()2sin2cos 2的取值范围解：(1)设ABC中，角A，B，C的对边C分别为a，b，c，则由题意，得bcsin 2,0bccos 4，可得tan 1，又0，.(2)f()2sin2cos 2cos 2(1sin 2)cos 2sin 2cos 212s
8、in1，2，22sin13，函数f()的取值范围是2,311(2015湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(1,0)，|1，且AOCx，其中O为坐标原点(1)若x，设点D为线段OA上的动点，求|的最小值；(2)若x，向量m，n(1cos x，sin x2cos x)，求mn的最小值及对应的x值解：(1)设D(t,0)(0t1)，由题易知C，所以，所以|2tt2t2t12(0t1)，所以当t时，|最小，为.(2)由题意，得C(cos x，sin x)，m(cos x1，sin x)，则mn1cos2xsin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin ，因为x，所以2x，所以当2x，即x时，sin取得最大值1，所以mn的最小值为1，此时x.
