1、江苏省扬州大学附中2019-2020学年高二数学下学期阶段检测试题（含解析）一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1.已知复数满足（是虚数单位），则其共轭复数在复平面位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出，再求出其共轭复数，而后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】，其共轭复数为：，在复平面内对应点的坐标为，在第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查共轭复数，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.2.现有甲班三名学生，乙班两名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则选取的名学生来自于不同班级的概率
2、是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】解：从这名学生中选名学生参加某项活动，基本事件总数n10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m4，抽到2名学生来自于不同班级的概率是P故选D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3.已知一系列样本点的回归直线方程为若样本点与的残差相同，则有()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项.【详解】样本点的残差为，样本点的残差为，依题意，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，
3、属于基础题.4.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得:取到红球的概率;停止时共取了次球,其中前11次红球出现9次,第12次为红球;由二项分布公式，所以=.本题选择D选项.5.随机变量X的取值为0，1，2，若，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】设，则由，列出方程组，求出，由此能求出详解】解：设，又，由得，故选：B【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求
4、解能力，考查函数与方程思想，属于中档题6.若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，再根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为，所以二项式的展开式的通项公式为：，令，所以，因此有.故选：C【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力7.某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知可得，结合正态分布的对称性，即可求解
5、.【详解】.故选：C【点睛】本题考查正态分布中两个量和的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.8.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出导函数，则题意说明不等式在上恒成立，注意到此时，因此不等式可变形为，从而只要再求得的最大值即可求得的范围【详解】解：根据题意，函数，其导数，若函数在上单调递增，则在上恒成立，又由，则有，则，又由，则，即有最大值-1，若在上恒成立，则，即的取值范围为，故选C【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立求参数取值范围这类问题的常用方法是分离参数法，转化为求函数的最值二、多选题：(本大题共4小题，每
6、小题5分，共计20分)9.复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A. B. z的共轭复数为C. z的实部与虚部之和为2D. z在复平面内的对应点位于第一象限【答案】CD【解析】【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A不正确；的共轭复数为，则B不正确；的实部与虚部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.10.下列说法正确的是( )A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残
7、差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D. 在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好【答案】ABD【解析】【分析】利用独立性检验和线性回归的相关知识逐一判断即可.【详解】对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确.故选：ABD【点睛】本题考查的是独立性检验和线性回归，考查了学生对基
8、本概念的掌握情况，属于基础题.11.给出下列命题，其中正确的命题有( )A. 若，则是纯虚数B. 随机变量，若，则C. 公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种D. 回归方程为中，变量与具有正的线性相关关系【答案】BD【解析】【分析】对于A，当时，是实数，对于B，对于C，乘客下车的可能方式有种，对于D，由可得D正确.【详解】对于A，当时，是实数，故A错；对于B，可得又，故B正确；对于C，汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种，故C错误；对于D，回归方程为，由，可得变量与具有正的线性相关关系，故D正确； 综上所述正确的是：BD【点睛】本题考查了复数的概率、正态分布的方差
9、、分步乘法计数原理和线性回归，属于基础题.12.设函数，则下列说法正确的是（ ）A. 定义域（0，+）B. x（0，1）时，图象位于x轴下方C. 存在单调递增区间D. 有且仅有两个极值点【答案】BC【解析】【分析】根据可得定义域，即可判断；通过当时，可判断；【详解】由题意函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；由，当时，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；，设，所以，函数单调增，所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；则函数只有一个根，使得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；故选：BC.【点睛】本题主要考考查了求
10、函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知复数，满足，则_【答案】【解析】分析：根据复数的模都为1，可求得 及 间的关系，根据方程，得；表示出，代入即可求值详解：设 因为所以 即化简得 点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题14.一盒子装有只产品，其中有只一等品，只二等品从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则条件概率 【答案】【解析】试题分析：表示在第一次取出的是一等品的情况下，第二次取出的是
11、一等品的概率第一取出一等品的概率为，然后还有个一等品和个二等品，所以第二次取出的是一等品的概率为，则条件概率为.考点：条件概率.【易错点睛】本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记相关概念即计算公式条件概率为事件发生的前提下在发生事件的概率，用公式可表示为，容易与且事件的概率计算混淆，且事件概率为事件的概率与事件的概率直接相乘.15.若，则_.【答案】13【解析】【分析】由导函数的应用得：设，所以，又，所以，即，由二项式定理：令得：，再由，求出，从而得到的值；【详解】解：设，所以，又，所以，即，取得：，又，所以，故，故答案为：13【点睛】本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题16.若函数
12、在区间上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】求导得到，设，根据单调性得到答案.【详解】，则，即，设，则函数在上单调递增，在上单调递减.， 函数在上存在唯一的极值点，故.故答案为：.【点睛】本题考查了极值点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、解答题：（本大题共6小题，共计70分）17.已知复数z满足，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z；（2）若，求实数m，n的值.【答案】(1) 或. (2) ，.【解析】分析】（1）利用已知条件，设出复数z，通过及所对点所在位置求出即可复数z；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求
13、解m，n的值【详解】（1）设，则，因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以，所以或，所以或.（2）由（1）知或，当时，；当时.因为，所以，解得，.【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题18.已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？【答案】（1）840；（2）936.【解析】【分析】（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第6次才找到最后一件次品，则第2次，
14、第6次，与第3至第5次选出1次，在这三个位置进行次品全排列，剩下的三个位置再对正品进行全排列，即可得答案.；（2）分检测3次可测出3件次品，检测4次可测出3件次品，检测5次测出3件次品，对检测5次时再分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，即可得答案.【详解】（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第6次才找到最后一件次品，则第2次，第6次，与第3至第5次选出1次，在这三个位置进行次品全排列，剩下的三个位置再对正品进行全排列，所以共有：（2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有种，检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有种；检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰
15、好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不同的测试方法共有种满足条件的不同测试方法的种数为【点睛】本题考查分步计数问题，考查排列组合的实际应用，考查用排列组合数表示方法数，是中档题19.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷，某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：男女总计认为共享产品对生活有益认为共享产品对生活无益总计（1）求出表格中值，并根据表中的数据，判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为对共享产品的态度与性
16、别有关系？（2）现按照分层抽样从认为共享产品对生活无益的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取2人赠送超市购物券作为答谢，求恰有1人是女性的概率.参考公式：.【答案】（1）；能（2）【解析】【分析】（1）由总数为1000，可求，进而分别求出，利用题目所给公式计算出，与表格中数据进行对比，得出检验结果；（2）由分层抽样的结果知道抽出的6人中，4名女性，2名男性，则可将其全部列举出来最后求得相应概率.【详解】解：（1）依题意，.在本次的实验中，的观测值.在犯错误的概率不超过的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；（2）依题意，应该从认为共享产品对生活无益的女性中抽取4人，记为，从认为共享产品对
17、生活无益的男性中抽取2人，记为，.从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：，共15种，其中满足条件的为共8种情况，故所求概率；【点睛】本题考查了学生运用表格求相应统计数据的能力，会运用独立性检验处理实际问题中的关联性问题，考查了分层抽样结果，以及求简单随机事件的概率，可以列举法处理，属于中档题.20.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）908483807568（1）已知变量x
18、，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；（2）用表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望.（参考公式：；参考数据：）【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据公式直接计算即可；（2）利用（1）中所求的线性回归方程求出对应的估计值，然后得出“好数据”的个数，然后可得的所有可能取值，然后求出对应的概率，然后即可得到分布列和算出期望.【详解】（1）因为，所以，所以所求的线性回归方程为.（2）利用
19、（1）中所求的线性回归方程可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.与销售数据对比可知满足（1,2，6）的共有3个“好数据”：、.于是的所有可能取值为，.；，的分布列为：0123于是.【点睛】本题考查了线性回归和离散型随机变量的分布列和期望，考查了学生的计算能力，属于基础题.21.已知函数.（1）当时，求展开式中系数的最大项；（2）化简；（3）定义：，化简：.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项，中间项为第5项，其系数最大（2）根据，令，即可求值(3)原式添加，利用倒序相加，化简即可.【详解】（1）系数最大的项即为二
20、项式系数最大的项（2）原式（3） 在、添加，则得1+ 1+ +得：2（1+） =【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项式系数，倒序相加法，赋值法，属于中档题.22.已知函数，.（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）已知，当，试比较与的大小，并给予证明.【答案】（1）；（2）详见解析；（3），证明见解析.【解析】【分析】（1）根据极值点定义可构造方程求得，根据导数几何意义可求得结果；（2）分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间；（3）令，可求得；令，利用导数和零点存在定理可确定，即的正负，从而得到的单调性和最值，通过最值可知，进而得到大小
21、关系.详解】（1）由题意得：，是的极值点，解得：，又，所求切线方程为，即.（2）由题意得：定义域为，当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，解得：，当时，；当时，；的单调递增区间为；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）令，则，令，则，函数在上单调递增，又，存在唯一零点，使得当时，；当时，；当时，；当时，；函数在上单调递减，在上单调递增，又，即，在上恒成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值求解参数值、求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调性、比较函数大小关系的问题；比较函数大小关系的关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.
