1、江苏省扬州市邗江区蒋王中学2020届高三数学下学期3月检测试题（含解析）(满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上.1.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】直接由集合的交集运算，即可得到本题答案.【详解】因为集合，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.2.设i是虚数单位，复数的模为1，则正数的值为_【答案】【解析】【分析】先化简复数，再解方程即得解.【详解】由题得，因为复数z的模为1，所以，解之得正数a故答案为【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析
2、推理能力.3.为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_【答案】48【解析】【分析】先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数.【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为所以全团抽取的人数为：48.故答案为48【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.根据如图所示的伪代码，则输出的值为_.【答案】10【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，直到不满
3、足条件跳出循环，输出I的值即可【详解】模拟程序的运行，可得，.满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；不满足条件，退出循环，输出的值为10.故答案为：10.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题5.已知，则下列不等关系正确的是_.【答案】【解析】【分析】首先化简得到，再化简得到，即可得到答案.【详解】，所以.，因为，所以，综上.故答案为：【点睛】本题主要考查指数，对数的比较大小，同时考查指数幂的运算，属于简单题.6.甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到
4、标有数字3的卡片的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求出基本事件总数，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数，由此能求出两人均未抽到标有数字3的卡片的概率【详解】甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），基本事件总数，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为.故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.在平面直角坐标亲中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】利用双曲线的离心率求出，关系，然后求解渐近线方程即可【详解】由已知可
5、知离心率，即.双曲线的焦点在轴上该双曲线的渐近线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查8.在等差数列中，则数列的前11项和_.【答案】132【解析】【分析】由已知求得a6，再由S1111a6求得答案【详解】由a9a12+6，得2a9a1212，即2a1+16da111d12，a1+5d12，a612则S1111a61112132故答案为：132【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题9.已知函数，若，则实数的值是_【答案】【解析】【分析】解方程即得a的值.【详解】 ，因为所以解得a故答案为【点睛】本题主要考查分段函数
6、求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知函数，若函数（）是偶函数，则_.【答案】【解析】【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的对称性的应用求出结果【详解】函数函数函数（）是偶函数，当时，.故答案为：.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型11.在平面直角坐标系中，已知直线l：，点，动点P满足.若P点到直线l的距离恒小于8，则实数m的取值范围_.【答案】【解析】【分析】设，由已知列式求得点的轨迹方程，可得在以为圆心，以5为半径的圆上，把点到直线的距
7、离恒小于8，转化为圆心到直线的距离小于3列式求解，即可得到的取值范围详解】设.，动点满足，即.在以为圆心，以5为半径的圆上点到直线：的距离恒小于8，解得.故答案为：.【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题12.抛物线与椭圆有公共的焦点，它们的一个交点为，且轴，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】设椭圆的左焦点为点，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，连接，推导出四边形为正方形，可得出，进而可得出，再利用椭圆的定义可得出、的等量关系式，由此可求得椭圆的离心率.【详解】设椭圆的左焦点为点，过点作垂直与抛物线的准线，垂足为点，连接，由抛物线的定义可得
8、，轴，轴，则四边形为正方形，由椭圆的定义可得，即，因此，椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质、椭圆的方程与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出、，从而求出；构造、的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.考查运算求解能力，属于中等题.13.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，则的最小值为_【答案】5【解析】【分析】设圆心为O,AB中点为D,先求出，再求PM的最小值得解.【详解】设圆心为O,AB中点为D,由题得.取AC中点M，由题得,两方程平方相减得，要使取最小
9、值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.此时DM=,所以PM有最小值为2，代入求得的最小值为5故答案为5【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知，且，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】将不等式两边同乘以，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值.【详解】，且，当且仅当时取等号令，原不等式转化为，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二
10、定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设的三内角、的对边长分别为、，已知、成等比数列，且.（I）求角的大小；（）设向量，当取最小值时，判断的形状.【答案】（I）；（）为锐角三角形.【解析】【分析】（）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状【详解】（I
11、）因为、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故.（）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.【点睛】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力16.如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据，分别是，的中点，即可证明，从而可证平面；（2）先根据为正三角形，且D是的中点，证出，再根据平面平面，得到平面，从而得到，结合，即可得证【详解】
12、（1），分别是，的中点平面，平面平面.（2）为正三角形，且D是的中点平面平面，且平面平面，平面平面平面且，平面，且平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题17.已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为，且的垂直平分线交轴于点，求直线的斜率.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题得到关于a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，线段的中点为，根据，得，解方程即得直线PQ的斜率.【详解】(1
13、)因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值.所以，所以，故椭圆C的方程为:.（2）设直线的方程为，当时，代入，得:.设，线段的中点为，即因为，则，所以，化简得，解得或，即直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：，长1千米，长千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊，扇形以长为半径，弧为湖岸，其余部分为滩地，B，D点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段线段弧，其中Q在线段上（异于线段端点），与弧相切于P点（异于
14、弧端点根据市场行情，段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧的建造费用是每千米万元（步行道的宽度不计），设为弧度观光步行道的建造费用为万元. （1）求步行道的建造费用关于的函数关系式，并求其走义域；（2）当为何值时，步行道的建造费用最低？【答案】（1），定义域：；（2）当时，步行道的建造费用最低.【解析】【分析】（1）以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，可得所在圆的方程为，可得，从而求得所在直线方程，与所在直线方程联立求得坐标，即可得到与，再由弧长公式求的长，再根据与相切于点（异于弧端点）与，即可求得函数关系式与其定义域；（2）令，利用导数求使步行道的建造费用最低时的值【详解】（1）
15、以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则所在圆的方程为，直线：.直线的方程为.所以，弧长，所以，化简得.与相切于点（异于弧端点），定义域：.（2）令，求导得，令，（舍去），0极小值所以当时，最小，即w最小，当时，步行道的建造费用最低.【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，利用导数求最值，是中档题19.已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为.若，且存在不小于3的正整数，使得.（1）若，求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）若，是否存在整数，使得，若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析（
16、3）存在满足题意【解析】【分析】(1)令n=3即得的值；（2）利用等差数列的中项公式证明数列为等差数列；（3）化简得，再分析得到.【详解】（1）当时，因为，所以.（2）由，得，两式相减，得，即，所以.两式相减，得，所以数列为等差数列.（3）依题意：，由得：，即，所以.因为，且，所以，又因为，且为奇数，所以时，是整数，此时，所以.【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列和等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数，.（1）求函数的单调增区间；（2）令，且函数有三个彼此不相等的零点0，m，n，其中.若，求函数在处的切线方程；若对，恒成立，求实
17、数t的去取值范围.【答案】（1）单调增区间是，；（2），或【解析】【分析】（1）先求得函数，对函数求导，令大于零，解不等式即可求得单调增区间；（2）易知，求出，的值，进而求得切线方程；由对，恒成立，可得，分与两种情况讨论，从而可求得的取值范围详解】（1），令，得或.的单调增区间是，.（2）由方程，得m，n是方程的两实根，故，且由判别式得.若，得，故，得，因此，故函数在处的切线方程为.若对任意的，都有成立，所以.因为，所以或.当时，对有，所以，解得.又因为，得，则有；当时，则存在的极大值点，且.由题意得，将代入得进而得到，得.又因为，得.综上可知t的取值范围是或.【点睛】本题考查利用导数研究函数
18、的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等21.已知，若矩阵所对应的变换把直线 变换为自身，求.【答案】【解析】【分析】首先在直线上任意一点，在矩阵对应的变换作用下变换成，根据变换的性质列出方程组解出的值，再求即可.【详解】设直线上任意一点，在矩阵对应的变换作用下变换成.则.因为，所以.所以，解得.即.设，则，所以.即
19、.【点睛】本题主要考查矩阵变换的问题，同时考查了逆矩阵的求法，属于中档题.22.已知平面直角坐标系.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为（1）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；（2）若为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）把xcos，ysin代入即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出.【详解】（1）xcos，ysin代入计算，点的直角坐标，由，得，即，所以曲线的直角坐标方程为（2）曲线的参数方程为（为参数），由（为参数），得直线的普通方程为.设，则中点，那么点
20、到直线的距离，所以点到直线最小距离为.【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题23.如图，在三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，、分别为、的中点.（1）若，求直线与所成角的余弦值；（2）若平面平面，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先取的中点，连接，以为坐标原点，过且与平行的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，再代入公式计算即可.（2）首先设，分别计算平面和平面的法向量，根据平面平面，法向量的数量积等于即可得到的长.【详解
21、】（1）取的中点，连接，则.以为坐标原点，过且与平行直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，.，.设直线，所成角为，则.所以直线，所成角的余弦值为.（2）设，则，.设平面的法向量，则，令，.，.设平面的法向量，则，令，.因为面平面，所以，即，解得.所以.【点睛】本题第一问考查异面直线成角问题，第二问考查面面垂直，向量法为解决本题的关键，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.24.已知数列满足，.（1）求，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设， ，比较与的大小.【答案】（1），证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先令，计算，根据，猜想，再用数学归纳法证明即可.（2）将代入和，再化简与即可得到答案.【详解】（1）当时，解得.当时，解得.猜想.证明：当时，假设当时，则当时，即.所以，即也成立.综上，；（2），.，.所以.【点睛】本题第一问考查数学归纳法求数列的通项公式，第二问考查指数幂的运算，同时考查学生的计算能力，属于中档题.
