1、宁夏银川市第二中学2021届高三数学第三次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1若复数z满足z（1+i）2i（i为虚数单位），则|z|（）A1B2CD2已知集合Ay|yx2+5，Bx|y，AB（）A1，+）B1，3C（3，5D3，53设x，yR，向量（x，1），（1，y），（2，4），且，则x+y（）A0B1C2D34已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（1，2），则sin2+sin2（）ABCD5在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传
2、染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为已知新冠病毒在某地的基本传染数R05，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（）A50%B60%C70%D80%6已知实数x，y满足约束条件，则zy3x的最大值为（）A6B3C1D27已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n8ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
3、c，已知acosB+bsinAa，则B（）ABCD9执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）ABCD10函数图象的大致形状是（）ABCD11若双曲线C：1（a0，b0）与圆M：x2+y2c2的公共点和双曲线两个焦点（c，0），（c，0）构成正六边形，则C的离心率为（）A2BC4+2D+112已知函数f（x）exex，g（x）cosx+x2ax对于任意x1，x2且x1x2，都有0，则实数a的最大值是（）AB+1C1D1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13函数f（x）xex在x0处的切线方程为 14如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄
4、豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为 15在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA15，AB6，BC8，AC10，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是 16数学家斐波那契（17701250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列“：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕花，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用已知斐波那契数列an满足a11，a21，an+2an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+a59ak，则k 三、解答题：本大题共5小题，共70分。
5、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17已知数列an是一个公差为d（d0）的等差数列，前n项和为Sn，a2、a4、a5成等比数列，且S515（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前10项和18在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，AA1A1B11，BAD120，AA1平面ABCD（1）E是棱AD的中点，求证：B1E平面CDD1C1；（2）求四棱锥CABB1A1的体积19去年我校有30名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序号之间的统计图
6、如图：（1）如表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计这些学生面试分数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；面试分数0，100）100，200）200，300）300，400）人数15a41频率b（2）该大学的招生办从2530号这6位学生中随机选择两人进行访谈，求选择的两人的面试分数均在200分以上的概率20平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率是，抛物线E：x24y的焦点F是椭圆C的一个顶点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线FA与FB的斜率之和为1，证明：l过定点21函数f（x）ex，g（x）ax1，其中aR，e是
7、自然对数的底数（1）若ae，求函数F（x）f（x）g（x）的最小值；（2）若x0时，f（x）+xg（x）1恒成立，求a的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一道题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos（）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（）若直线与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求|AB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）2|x2|+|x+1|（1）解不等式f（x）6；（2）x1，2
8、，使得不等式f（x）x2+a成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数z满足z（1+i）2i（i为虚数单位），则|z|（）A1B2CD解：复数z满足z（1+i）2i（i为虚数单位），z1+i，|z|，故选：C2已知集合Ay|yx2+5，Bx|y，AB（）A1，+）B1，3C（3，5D3，5解：由A中yx2+55，得到A（，5，由B中y，得到x30，解得：x3，即B3，+），则AB3，5，故选：D3设x，yR，向量（x，1），（1，y），（2，4），且，则x+y（）A0B1C2D3解：x，yR，向量
9、（x，1），（1，y），（2，4）且，解得x2，y2，x+y0故选：A4已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（1，2），则sin2+sin2（）ABCD解：角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（1，2），sin，cos，则sin2+sin2sin2+2sincos+2（）（），故选：B5在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，
10、这N个人中有V个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为已知新冠病毒在某地的基本传染数R05，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（）A50%B60%C70%D80%解：为了使1个感染者新的传染人数不超过1，即1，1，即，故选：D6已知实数x，y满足约束条件，则zy3x的最大值为（）A6B3C1D2解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（0，1），由zy3x，得y3x+z，由图可知，当直线y3x+z过A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1故选：C7已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，
11、则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n解：A若m，n，则m，n相交或平行或异面，故A错；B若m，n，则mn，故B正确；C若m，mn，则n或n，故C错；D若m，mn，则n或n或n，故D错故选：B8ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB+bsinAa，则B（）ABCD解：因为acosB+bsinAa，由正弦定理得sinAcosB+sinBsinAsinA，因为sinA0，所以cosB+sinB1，即2sin（B+）1，所以sin（B+），由B为三角形内角得B故选：D9执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）ABCD解：模拟程序的运行，可得i1时，S1；i2时，；i3时，
12、；i4时，i5时不满足条件，退出循环，输出故选：A10函数图象的大致形状是（）ABCD解：函数，看作是y与ysinx乘积的函数，y0恒成立，ysinx是奇函数，所以函数的图象大致类似正弦函数的图象，所以D正确故选：D11若双曲线C：1（a0，b0）与圆M：x2+y2c2的公共点和双曲线两个焦点（c，0），（c，0）构成正六边形，则C的离心率为（）A2BC4+2D+1解：双曲线C：1（a0，b0）与圆M：x2+y2c2的公共点和双曲线两个焦点（c，0），（c，0）构成正六边形，可得：，可得，e1，得e24+2，所以e故选：D12已知函数f（x）exex，g（x）cosx+x2ax对于任意x1，x
13、2且x1x2，都有0，则实数a的最大值是（）AB+1C1D1解：对于任意x1，x2且x1x2，都有0，则f（x）和g（x）的单调性相同，f（x）exex，则f（x）ex+ex0，故g（x）在，上单调递增，g（x）cosx+x2ax，则g（x）sinx+xa0在，上恒成立，而g（x）cosx+10，故g（x）在，上单调递增，故g（x）g（）1a0，解得：a1，故实数a的最大值是1，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13函数f（x）xex在x0处的切线方程为yx解：f（x）xex的导数为f（x）（x+1）ex，可得函数f（x）xex在x0处的切线斜率为k1，则函数f（x）x
14、ex在点（0，0）处的切线方程为yx故答案为：yx14如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为43解：设阴影外部分的面积为s，则由几何概型的概率公式得：，解得s57，可以估计出阴影部分的面积约为1005743故答案为：4315在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA15，AB6，BC8，AC10，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是16解：由于AB2+BC2AC2，故底面ABC为直角三角形，其内切圆半径为：，注意到 AA152r4，故满足题意时，球与棱柱的三个侧面均相切，其半径R2，表面积S4R
15、216故答案为：1616数学家斐波那契（17701250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列“：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕花，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用已知斐波那契数列an满足a11，a21，an+2an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+a59ak，则k60解：因为斐波那契数列an满足a11，a21，an+2an+1+an，所以a2+a3+a5+a7+a9+a59a4+a5+a7+a9+a59a6+a7+a9+a59a58+a59a60ak，所以
16、k60故答案为：60三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17已知数列an是一个公差为d（d0）的等差数列，前n项和为Sn，a2、a4、a5成等比数列，且S515（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前10项和解：（1）由a2、a4、a5成等比数列得：，即5d2a1d，又d0，a15d；而，d1；ana1+（n1）dn6，an的通项公式为ann6（2），令，则为常数，cn是首项为5，公差为的等差数列，的前10项和为18在四棱台ABCDA
17、1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，AA1A1B11，BAD120，AA1平面ABCD（1）E是棱AD的中点，求证：B1E平面CDD1C1；（2）求四棱锥CABB1A1的体积【解答】（1）证明：连结DC1，由B1C1AD，E是棱AD的中点，得B1C1DE且B1C1DE，故四边形B1EDC1为平行四边形，所以B1EC1D，又C1D平面CDD1C1，B1E平面CDD1C1，所以B1E平面CDD1C1；（2）解：取AB的中点F，连结AC，CF，因为底面ABCD是菱形，BAD120，所以CFAB，又AA1面ABCD，所以AA1CF，因为AA1ABA，所以CF平面ABB1A1，即CF为四棱锥
18、CABB1A1的高，且，而，所以四棱锥CABB1A1的体积19去年我校有30名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序号之间的统计图如图：（1）如表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计这些学生面试分数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；面试分数0，100）100，200）200，300）300，400）人数15a41频率b（2）该大学的招生办从2530号这6位学生中随机选择两人进行访谈，求选择的两人的面试分数均在200分以上的概率解：（1）面试分数在100，200）内的学生共有30154110 （名），故a10，b，估计这些学生面试分数的平均值为5
19、0+150+250+350120（分）；（2）从2530号学生中任选两人的选择方法有：（25，26），（25，27），（25，28），（25，29），（25，30），（26，27），（26，28），（26，29），（26，30），（27，28），（27，29），（27，30），（28，29），（28，30），（29，30），共15种，观察题图易知25号，26号，27号学生的面试分数均在200分以上，所以选择的两人的面试分数均在200分以上的选择方法有：（25，26），（25，27），（26，27），共3种，故选择的两人的面试分数均在200分以上的概率为20平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率
20、是，抛物线E：x24y的焦点F是椭圆C的一个顶点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线FA与FB的斜率之和为1，证明：l过定点解：（1）抛物线E：x24y的焦点F（0，1）是椭圆C的一个顶点，可得b1，由e，解得a2，则椭圆方程为+y21；（2）证明：当斜率不存在时，设l：xm，A（m，yA），B（m，yA），直线FA与直线FB的斜率的和为1，kFA+kFB+1， 解得m2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足；当斜率存在时，设l：ykx+t，（t1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t240，x1
21、+x2，x1x2直线FA与FB直线的斜率的和为1，kFA+kFB+1代入得1，t2k1，此时64k，存在k，使得0成立，直线l的方程为ykx2k1，当x2时，y1，l过定点（2，1）21函数f（x）ex，g（x）ax1，其中aR，e是自然对数的底数（1）若ae，求函数F（x）f（x）g（x）的最小值；（2）若x0时，f（x）+xg（x）1恒成立，求a的取值范围解：（1）当ae时，F（x）f（x）g（x）exex+1，所以F（x）exe，当x1时，F（x）0，F（x）在（，1）上单调递减；当x1时，F（x）0，F（x）在（1，+）上单调递增则F（x）minF（1）1；（2）令h（x）f（x）+x
22、g（x）1ex+ax2x1（x0），则h（x）ex+2ax1，可得h（0）0，令（x）h（x）ex+2ax1，则（x）ex+2a，当a时，（x）0恒成立，可得h（x）在0，+）上单调递增，所以h（x）h（0）0，则h（x）h（0）0恒成立，所以f（x）+xg（x）1恒成立；当a时，当x0，ln（2a），（x）0，h（x）在0，ln（2a）上单调递减，当xln（2a），+），（x）0，h（x）在ln（2a），+）上单调递增，则当x0，ln（2a）时，h（x）h（0）0，所以x00，x（0，x0）时，h（x0）h（0）0则f（x）+xg（x）1不恒成立综上所述，a的取值范围是a（二）选考题：共10
23、分。请考生在第22，23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一道题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos（）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（）若直线与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求|AB|的值解：（I）2cos22cos，曲线C的直角坐标方程为x2+y22x0直线l的参数方程为 （t为参数），y4，直线l的极坐标方程为cossin4（II）将代入曲线C的极坐标方程2cos得，A点的极坐标为（，）将代入直线l的极坐标方程得4，解得4B点的极坐
24、标为（4，）|AB|43选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）2|x2|+|x+1|（1）解不等式f（x）6；（2）x1，2，使得不等式f（x）x2+a成立，求实数a的取值范围解：（1）函数f（x）2|x2|+|x+1|，当x2时，不等式f（x）6化为3x36，解得x3，即2x3；当1x2时，不等式f（x）6化为x+56，解得x1，即1x2；当x1时，不等式f（x）6化为3x+36，解得x1，即x1；综上，不等式f（x）6的解集为x|1x3；（2）x1，2时，f（x）x+5，不等式f（x）x2+a化为x+5x2+a，即ax2x+5；设g（x）x2x+5，x1，2，则g（x）在x1，2上是单调增函数，且g（x）的最大值为g（2）42+57，根据题意知实数a的取值范围是a7
