1、石嘴山市第三中学2021届高三年级第一学期期末考试理科数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上本试卷满分150分2作答时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确选项涂在答题卡的相应位置上）1. 已知集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】，因此，.故选：A.2. 复数（，是虚数单位）是纯虚数，则m等于（ ）A. -1B. 1C. -2D
2、. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法法则化简式子，然后根据纯虚数的概念，简单计算可得结果.详解】由题可知：由复数是纯虚数所以故选：B【点睛】本题考查复数的运算以及纯虚数的概念，重在计算与理解，属基础题.3. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是20152019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( )A. 这五年，出口总额之和比进口总额之和大B. 这五年，2015年出口额最少C. 这五年，
3、2019年进口增速最快D. 这五年，出口增速前四年逐年下降【答案】D【解析】【分析】根据统计图中数据的含义进行判断即可.【详解】对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；故选：D【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.4. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，
4、竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为8、2，则输出的（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】输入的、分别为8、2，第一次执行循环体后，不满足退出循环的条件第二次执行循环体后，不满足退出循环的条件第三次执行循环体后，不满足退出循环的条件第四次执行循环体后，不满足退出循环的条件第五次执行循环体后，满足退出循环的条件故输出的故选：A【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答5. 过双曲线的
5、右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点，若以的右焦点为圆心，以为半径的圆经过两点(为坐标原点)，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】，故，不妨设渐近线方程为，则，根据，计算得到答案.【详解】连接，故，不妨设渐近线方程为，则.故，解得，故双曲线方程为故选：B6. 函数在区间的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数非奇非偶函数，排除选项A、B，在计算时的函数值可排除选项D，进而可得正确选项.【详解】因为，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A、B，因为，排除选项D，故选：C【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手
6、：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 已知，为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列命题：；.其中正确命题的序号是：（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直，面面平行的性质可判断.【详解】对于，若，则或，故错误；对于，若，则由线面垂直的性质可得，故正确；对于，若，则可得，故正确；对于，若，则或异面，故错误.故选：A.8. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安
7、排方法共有（ ）A. 20种B. 50种C. 80种D. 100种【答案】B【解析】【分析】分去4个人或5个人两种情况进行讨论.【详解】当去4个人时，则安排方法有种，当去5个人时，则安排方法有种，综上，不同的安排方法共有50种.故选：B.9. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，过点M作，为垂足，已知直线的斜率为2，的面积为10，则p等于（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】设，由条件可将用表示出来，再结合面积即可求出p.【详解】 设，可知，得，由抛物线的性质可知，解得.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的性质，属于基础题.10. 关于函数，有以下4个结
8、论：的最小正周期是；的图象关于点中心对称；的最小值为；在区间内单调递增其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正余弦倍角公式及辅助角公式可得，结合正弦函数的图象与性质可知其最小正周期、对称中心、最值、增减区间，即可得答案.【详解】，由，知：最小正周期，故正确；由正弦函数的性质，知：中，则对称中心为，故错误；由的化简函数式知：，故正确因为在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知：在上递增，可得，有一个单调增区间为，故上不单调，故错误，故选：B.11. 在中，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在中，化简可得，又和，解得
9、，最后通过正弦定理求出，再根据三角形面积公式得到面积.【详解】由得：，又，则，则，又，则或，则或，又，则取，得，又，根据正弦定理，.故选C.【点睛】思路点睛：在三角形中，由于,根据诱导公式，,，,等，以上常见结论需要非常熟练.12. 已知函数，若且满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图像，并得到,将三个变量均转化为一个变量c，令对函数求导得到函数的单调性进而得到最值.【详解】画出的图象，由且得：,.,令，则，则函数在区间上单调递增，即，的取值范围是（以为变量时，注意的取值范围为）.故答案为D.【点睛】这个题目考查了到了导数在求函数最值中的应用
10、，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.第II卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知向量，满足，则_.【答案】【解析】【分析】由数量积的坐标表示和模的坐标表示计算后可解得【详解】，解得（舍去）故答案为：14. 已知满足对且时，（为常数），则的值为_【答案】【解析】【分析】由题可得，由此可求得，再由即可求出.
11、【详解】，时，解得，.故答案为：.15. 若，则_.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和两角和余弦公式展开，利用平方关系处理即可得解.【详解】，平方可得，整理可得，解得或2（舍去）.故答案为：【点睛】此题考查三角函数给值求值问题，关键在于熟练掌握二倍角公式和两角和余弦公式，结合同角三角函数关系求解.16. 如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：该八面体的体积为；该八面体的外接球的表面积为8；E到平面ADF的距离为；EC与BF所成角为60.其中正确的说法为_.（填序号）【答案】【解析】【分析】求出该八面体的体积即可判断；可得球心为正方形ABCD对角线交点
12、，即可得出半径求出表面积；取AD的中点G，连接EG，FG，EF，过E作，求出即可；可得为所成角.【详解】八面体的体积为；八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，易得外接球半径为，表面积为；取AD的中点G，连接EG，FG，EF，易得，平面EGF，过E作，交FG的延长线于H，又，故平面ADF，解得，所以E到平面ADF的距离为；因为，所以EC与BF所成角为.故答案为：.【点睛】解本题的关键是正确理解正八面体的性质，根据线面垂直关系得到点到平面的垂线段.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答1
13、7. 已知为等比数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，成等差数列，求正整数的值.【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）根据条件，列方程求解；（2）根据（1）的结果列式，表示，列式求解.【详解】（1）设等比数列的首项是，公比是，则，解得：，所以数列的通项公式；（2）由（1）可知，由条件可知，整理为，即，即或（舍）所以18. 如图，在四棱锥中，已知是平行四边形，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先证出，再证出，利用线面垂直的判定定理即可证明.（2）以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法
14、向量，以及平面的一个法向量，根据即可求解.【详解】（1）证明：设，连接，则，且，四边形为菱形，且，又，是等腰，在中，有，即，又，平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图：则，则，设平面的法向量为，则，令，则、，则，设平面的法向量为，则，令，则、，则，设二面角的平面角为，经观察为钝角，则.【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.19. 为了解学生寒
15、假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下: (1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X，求随机变量X的分布列及均值E(X);(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差的大小.(只需写出结论)【答案】（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）.【解析】【分析】（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男
16、学生人数为4人，故的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得 =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案【详解】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400=240.(2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，故X的所有可能取值为0，1，2，3，4.由题意可得P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=.X0123
17、4P所以随机变量X的分布列为均值E(X)=0+1+2+3+4=2.(3)由折线图可得.【点睛】方法点睛：本题考查了折线统计图和超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是：1.首先确定随机变量的所有可能取值；2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确；3.进行列表，画出分布列的表格；4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它20. 已知椭圆的右顶点与的焦点重合.且椭圆的离心率为，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，求的取值范围【答
18、案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可得，再由，联立即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与椭圆联立，利用弦长公式求出，再求出直线的方程，进而求出，从而求出比值的范围.【详解】解：（1）设椭圆的焦距为，实轴长为，由题意得，则，将代入得，即，所以，由，得，因此椭圆方程为，抛物线的方程为（2）设直线的方程为，由，得，故，当时，直线的方程为，令，得，令，则在上是增函数，即，当时，综上的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，解题的关键是利用弦长公式求出、，考查了计算能力.21. 已知函数.证明：（1）在区间上存在唯一的零点.（2）对任意，都有.【答案】（1）
19、证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数的导函数知在上单调递减，且、即可证结论；（2）由题设不等式在上恒成立，证恒成立，即，利用导数与函数单调性、极值情况证明，结论即得证【详解】（1）由题意知：在上有恒成立在上单调递减，而，可知：在区间上存在唯一的零点（2）要证：对任意，都有需证：恒成立令，故，而在单调增，必，使得，即有上，单调减；在上，单调增故在对任意恒成立得证对任意，都有【点睛】本题考查了利用导函数研究零点个数，并应用导函数研究函数的单调性、极值点，进而证明不等式恒成立，注意零点作为中间参数证明函数最小值大于0的应用选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答并用
20、2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分如果多做，则按所做的第一题计分22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）若点的极坐标为，直线与曲线相交于，两点，求证：.【答案】（），；（）证明见解析.【解析】【分析】（）消去参数可得直线的普通方程，根据互化公式可得曲线的直角坐标方程；（）得出点的直角坐标，联立直线与曲线的方程，根据直线方程中参数的几何意义可得，联立直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程可得，进而可得结果.【详解】（）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线普
21、通方程为，即.由，得曲线的直角坐标方程为，即.（）因为点的极坐标为，所以点的直角坐标为，易知点在直线上且.联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程得，则.易知直线的极坐标方程为.联立直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程得，则.故.【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、参数方程以及直线的参数方程的几何意义，属中档题23. 已知a，b，c均为正实数，且满足.证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先推得，再由条件转化为的式子，运用基本不等式可得结论；（2）运用基本不等式推得，再相加即可得到所求结论【详解】（1）由，均为正实数，且满足，可得，当且仅当时取得等号则，当且仅当，时取得等号（2）由，均为正实数，且满足，当且仅当取得等号，同理可得，当且仅当取得等号，同理可得，当且仅当取得等号，上面三式相加可得（当且仅当时取得等号）【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查逻辑推理能力，属于中档题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
