1、第四章 4.1.1 圆的标准方程 一石激起千层浪奥运五环福建土楼乐在其中生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就一起来认识一下圆吧！1.推导出圆的标准方程.2.掌握圆的标准方程.（重点）3.能根据方程求出圆心及半径.4.掌握标准方程的字母意义.5.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.（难点）1.思考:在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？分析：因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径.显然，当圆心与半径大小确定后，圆就唯一确定了.1.圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.你看看我是 怎么形成的!2.圆上点组成的集合:P=M（x,y)|MC|=r M（x
2、,y)是圆上动点，C是圆心，r是半径.r C M 如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心C(a,b)的距离 xCMrOy|MC|=r.则 圆上所有点的集合 P=M|MC|=r.22()()x ay br，222()().x ay br把上式两边平方得：由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：注意：1.圆的标准方程 2.若圆心为O（0，0），则圆的方程为：222()().x ay br222.xyr 1、圆心为，半径长等于5的圆的方程为（）A (x 2)2+(y 3)2=25 B (x 2)2+(y+3)2=25 C (x 2)2
3、+(y+3)2=5D (x+2)2+(y 3)2=5)3,2(AB2、圆(x2)2+y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为（）A C（2，0）r=2 B C（2，0）r=2C C（0，2）r=D C（2，0）r=22D练习解:所求的圆的标准方程是 把点 1(5,7)M例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点 ,是否在这个圆上.1(5,7)M2(5,1)M的坐标代入方程 22(2)(3)25.xy22(2)(3)25xy，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点 1(5,7)M在这个圆上.AxyOM2M1把点 2(5,1)M的坐标代入方程 22(2)(3)25xy，左
4、右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以点 2(5,1)M不在这个圆上.A x y o M3 M2 如果设点M到圆心的距离为d,则可以看到：点在圆内 d r.点在圆上 d=r；点与圆的位置关系【提升总结】例2 的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3)，C(2,8)，求它的外接圆的方程 ABC解：设所求圆的方程为：222()().x ay br因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是 222222222(5)(1),(7)(3),(2)(8)abrabrabr22,3,25.abr22(2)(3)25.xy所以所求圆的方程为例3 已知
5、圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且 圆心C 在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标 准方程.xyOCA(1,1)B(2,-2):10l xy 解：因为A(1,1)和B(2,2)，所以线段AB的中点D 的坐标为 31(,),22直线AB的斜率:2 132 1 ABk，因此线段AB的垂直平分线l的方程是 113()232yx，即x-3y-3=0.xyOCA(1,1)B(2,-2):10l xy Dl解方程组 33010 xyxy，得 3,2.xy 所以圆心C的坐标是(3,2)，圆心为C的圆的半径长 22|(1 3)(1 2)5.rAC所以，圆心为C的圆的标准方程是 22(3
6、)(2)25.xy比较例2和例3，你能归纳求任意ABC外接圆的方程的两种方法吗？两种方法：待定系数法；数形结合法.1.若点(，)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是 ()A.-1a1 B.0a1 C.a1或a-1 D.a=1 A 2.已知A(0，5)，B(0，1)，则以线段AB为直径 的圆的方程是()A.(x3)2y22 B.x2(y3)24 C.(x3)2y24 D.(x3)2y22【解析】选B.圆的圆心是(0,3)，半径是r|5(1)|2.故圆的方程为x2(y3)24.123.已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上，求圆M的方程.【
7、解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),根据题意得：解得：a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.2222221-a+-1-b=r,-1-a+1-b=r,a+b-2=0,4.如图，已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系（如右图）.那么半圆的方程为2216(0),xyy 将x=2.7代入,得 3.2162.78.71y 即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.ABx y 02.71.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为：222()().xaybr222.xyr2.注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题.
