1、宁夏石嘴山市第三中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）第卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：,所以，故选C考点：集合的运算2.若是异面直线，且/平面，那么与平面的位置关系是（ ）A. B. 与相交C. D. 以上三种情况都有可能【答案】D【解析】若a、b是异面直线，且a平面，则根据空间中线面的位置关系可得：ba或者b或者b与相交故选：D点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面之间的相互平行、相互垂直的判定定理与性质定理，熟记相
2、关的结论3.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可.详解：“全称命题”的否定一定是“特称命题”，命题“”的否定是，故选B.点睛：本题考查命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达，如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”：“都是”与“不都是”等， 所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.4.过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（ )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出
3、直线点斜式方程，整理可得结果.【详解】由得两条直线交点坐标为：又所求直线与垂直 直线斜率为：所求直线为：，即：本题正确选项：【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.5.在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在长方体中，连接，可得,得即为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理即可求解.【详解】在长方体中，连接，可得,所以异面直线与所成的角，即为直线与直线所成的角，即为异面直线与所成的角，在长方体中，设，则，在中，由余弦定理得，故选B.【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面
4、直线所成角的定义，得到为异面直线与所成的角，在中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.6.已知等差数列的前项为，且，则使得取最小值时的为（ ）A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B考点：等差数列的性质.7.四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方
5、体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径，故该球的表面积为.故选：B.【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.8.设圆的圆心为，点是圆内一定点，点为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由垂直平分线的性质可知，从而得到，可知轨迹满足椭圆定义，可得，进而求得，从而得到所求轨迹方程.【详解】为垂直平分线上的一点 点的轨迹是以为焦点的椭圆 ， 的
6、轨迹方程为故选：【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭圆定义.9.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导，得到该函数的单调区间，只需让成为函数单调区间的子集即可.【详解】因为，其定义域为，故可的令，解得，故只需让成为的子集，即且解得.故选：A.【点睛】本题考查利用求导求函数的单调区间，属基础题.10.已知两圆和恰有三条公切线，若， ，且，则最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据公切线条数，则两圆外切，根据圆的位置关系，得到的等量关系，再根据均值不等
7、式求最小值即可.【详解】因为两圆和恰有三条公切线，故两圆外切，则圆心到圆心的距离等于半径和半径1的和，即，整理得，故当且仅当时，即时取得最小值1.故选：B.【点睛】本题考查两圆的位置关系，以及利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题.11.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为A. B. C. D. 【答案】B【解析】kAB=1,直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(
8、x2,y2),则x1+x2=2(-12),a2=-4a2+4b2,5a2=4b2.又a2+b2=9,a2=4,b2=5.双曲线E的方程为-=1.故选B.12.已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1x21，x1+x22，（4x3）（4x4）1，且x1+x2+x3+x48，则不等式kx3x4+x12+x22k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值【详解】函数f（x）的图象如下图所示：当方程f（x）m有四个不等实根x1
9、，x2，x3，x4（x1x2x3x4）时，|lnx1|lnx2|，即x1x21，x1+x22，|ln（4x3）|ln（4x4）|，即（4x3）（4x4）1，且x1+x2+x3+x48，若不等式kx3x4+x12+x22k+11恒成立，则k恒成立，由（x1+x2）482故k2，故实数k的最小值为2，故选C【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上13.已知，则的值为_【答案】【解析】【详解】， 故答案为14.已知向量，则在方向上的投影为
10、_【答案】.【解析】【分析】根据向量的投影计算公式，代值即可求得结果.【详解】在方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查向量投影的计算公式，属基础题.15.双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为_【答案】.【解析】【分析】由直线平行则斜率相等，求得之间的等量关系，再求离心率即可.【详解】因为渐近线与直线平行，故可得，根据双曲线离心率的计算公式可得：.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.16.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案第棵树种植点的坐标应为_【答案】【解析】【分析】
11、根据题意，结合累加法，求得与，再代值计算即可.【详解】由题意知，故可得解得，当时，；，当时，.故第棵树种植点的坐标应为.故答案为：.【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17.如图，在平面四边形中，与为其对角线，已知，且（1）若平分，且，求的长；（2）若，求的长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦的倍角公式，求得的余弦值，再在三角形中利用余弦定理即可求得；（2）先利用内角和为，求得，再在三角形中利用正弦定理即可求得.【详解】（1）若对角线平分，即，则，又，在中，由余弦定理可得，即，解得，或（舍
12、去），故的长为；（2），又，在中，由正弦定理，可得，即的长为点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合性基础题.18.在等差数列an中，其前n项和为，等比数列bn的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12， （）求an与bn；（）求的取值范围【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比，等差数列的公差，即可求解；（）利用裂项法求和，即可得到结论【详解】（）设的公差为，解得或 (舍)，. 故（）,，即.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；
13、常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.19.已知.(1)求的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得的递减区间；（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值.【详解】（1），的最小正周期.由，得，的单调递减区间为.（2），当，即时，函数取得最小值，为；当，即时，
14、函数取得最大值，为.故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.【点睛】本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周期，单调区间，最值，属于中档题.20.如图，在正三棱柱中，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值【答案】（1）证明见详解；（2）.【解析】【分析】（1）取中点为，通过证明/，进而证明线面平行；（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【详解】（1）证明：取的中点，连结，如下图所示：在中，因为 为的中点，且，又为的中点，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平
15、面，即证.（2）取中点，连结，则，平面，以为原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，设平面的一个法向量，则，则，令则，同理得平面的一个法向量为，则，故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.21.已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆上存在一点，满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a，再根据b2a2c23，可得椭圆的方程;（2）设A（x1，y1），B（x
16、2，y2），设F1AB的内切圆的半径为R，表示出F1AB的周长与面积，设直线l的方程为xmy+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解F1AB内切圆半径的最大值为【详解】（1）设，则内，由余弦定理得，化简得，解得故，得所以椭圆的标准方程为（2）设，设得内切圆半径的周长为所以根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为由得由韦达定理得 令，则令，则时，单调递增，即当时，的最大值为，此时.故当直线的方程为时，内圆半径的最大值为.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二
17、次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用22.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求函数定义域，再求导，根据导数的正负，判断函数的单调性即可；（2）对参数进行分类讨论，求得不同情况下函数的单调性以及最大值，即可求得参数的取值范围；（3）根据（1）中的结论，构造不等式，进而利用数列求和，即可证明.【详解】（1）易知的定义域为，又当时，；当时，在上是增函数，在上是减函数（2）当时，不成立，故只考虑的情况又当时，当时，；当时，在上是增函数，在时减函数此时要使恒成立，只要即可解得：（3）当时，有在恒成立，且在上是减函数，即在上恒成立，令，则，即，即：成立【点睛】本题考查利用导数对具体函数单调性的求解，由不等式恒成立求参数的范围，以及证明不等式恒成立；本题第三问要学会善于利用题目中的结论去证明不等式.
