1、思维特训(十四)圆内接正三角形的一个性质的拓展应用方法点津 基本图形与结论：解题原理：正三角形的性质、圆周角的性质以及全等三角形的性质结合解题方法：截长补短法典题精练 1已知：如图141，ABC是O的内接正三角形，P为上一点(不与点B，C重合)(1)如图，若P是的中点，则PBPC_PA(填“”“”或“”)；(2)如图，当点P在上移动时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由图1412如图142，等边三角形ABC内接于O，P为O上异于A，B，C的动点当P为弦BC所对的优弧上一点时，连接PA，PB，PC，猜想PA，PB，PC之间的数量关系图14232019广州如图143，C为ABD的外接圆上的一动点(
2、点C不在上，且不与点B，D重合)，ACBABD45.(1)求证：BD是该外接圆的直径；(2)连接CD，求证：ACBCCD.图1434如图144，正方形ABCD内接于O，P为上一点，试判断PC，PA，PB之间的数量关系，并证明图1445阅读理解：(1)如图145(a)，若在已知ABC所在平面内存在一点P，使它到三角形各顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PAPBPC的值为ABC的费马距离；(2)如图(b)，若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCDBCADACBD.此为托勒密定理图145知识迁移：(1)请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图146(a)，已知点P为等边三角形
3、ABC外接圆的上任意一点求证：PBPCPA；(2)根据(1)中的结论，我们有如下探寻ABC(其中A，B，C均小于120)的费马点和费马距离的方法：第一步：如图146(b)，在ABC的外部以BC为边作等边三角形BCD及BCD的外接圆；第二步：在上任取一点P，连接PA，PB，PC，PD.易知PAPBPCPA(PBPC)PA_；第三步：请你根据上面“阅读理解”(1)中的定义，在图146(b)中找出ABC的费马点P，并指出线段_的长度即ABC的费马距离图146知识应用：已知三村庄A，B，C构成了如图147所示的ABC(其中A，B，C均小于120)，现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A，B，C所铺设
4、的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值图147典题讲评与答案详析1解：(1)(2)成立理由如下：方法1：如图，在PA上截取PEPC，连接CE.APCABC60，且PEPC，PEC为等边三角形，CEPC，PCE60.又ACB60，ACEBCP.在ACE和BCP中，ACEBCP，EAPB，PBPCPA.方法2：如图，延长BP至点E，使PEPC，连接CE.ABC为等边三角形，ACBC，BACACB60.A，B，P，C四点共圆，BACBPC180.又BPCCPE180，CPEBAC60.又PEPC，PCE是等边三角形，ECPC，EPCE60.BCE60BCP，ACP60BCP，BCEACP.在BE
5、C和APC中，BECAPC(SAS)，EBPA.又EBPBPE，PEPC，PAPBPC.2解：当点P在劣弧AB上时，有PCPAPB；当点P在劣弧AC上时，有PBPAPC.3证明：(1)，ADBACB45.又ABD45，BAD90，BD是该外接圆的直径(2)如图，在CD的延长线上截取DEBC，连接AE.ABDADB，ABAD.ADEADC180，ABCADC180，ABCADE.在ABC与ADE中，ABCADE(SAS)，BACDAE，从而BACCADDAECAD，即BADCAE90.，ACDABD45，CAE是等腰直角三角形，ACCE.又CECDDE，DEBC，ACBCCD.4.解：PAPCP
6、B.证明如下：如图，过点B作BEBP，交AP于点E，连接AC.四边形ABCD为正方形，ABCB，ABC90，ACB45.ABECBE90，CBPCBE90，ABECBP.ACB45，APB45，BEP45，从而EBPB，EPPB.在ABE和CBP中，ABECBP(SAS)，EAPC.又PAEAEP，EPPB，PAPCPB.5解：知识迁移：(1)证明：由托勒密定理可知PBACPCABPABC.ABC是等边三角形，ABACBC，PBPCPA.(2)第二步：PD第三步：连接AD，交圆于点P，点P即为所求，线段AD的长度即ABC的费马距离知识应用：如图，以BC为边在ABC的外部作等边三角形BCD，连接AD，则线段AD的长即为输水管总长度的最小值BCD为等边三角形，BC4 km，CBD60，BDBC4 km.ABC30，ABD90.在RtABD中，AB3 km，BD4 km，AD5 km，从水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度的最小值为5 km.
