1、2020年兰州一中高考数学模拟试卷（1）理科数学第卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则的子集个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得集合、，可得集合，并确定集合的元素个数，利用集合子集个数公式可求得结果.【详解】，因此，的子集个数为.故选：B.【点睛】本题考查集合子集个数的求解，解答的关键就是求出集合元素的个数，同时也考查了交集的运算，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算可得
2、，再根据复数的概念可得答案.【详解】，复数的虚部为.故选：C.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.3.如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；二班成绩不够稳定，波动程度较大；三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升.其中错误的结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】看图分析，比较一班与年级平均成绩的大小；看二班的成绩波动；看三班的平均成绩，以及增减性，即可得到
3、答案.【详解】由图可知，一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好，故正确；二班的成绩有时高于年级整体成绩，有时低于年级整体成绩，特别是第六次成绩远低于年级整体成绩，可知二班成绩不稳定，波动程度较大，故正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，只有第六次高于年级整体成绩，但稳步提升，故正确.错误结论的个数为0.故选：A.【点睛】本题考查对图象的分析、理解与应用，可从函数值的大小关系，波动情况，增减性等方面分析，属于容易题.4.我们可从这个商标中抽象出一个如图靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图
4、象可知，函数为偶函数，且在右边附近的函数值为正，然后逐项分析各选项中函数的奇偶性及其在右边附近的函数值符号，即可得出合适的选项.【详解】由图象可知，函数为偶函数，且在右边附近的函数值为正.对于A选项，令，得，解得，函数的定义域为，该函数为偶函数，当时，则，且，此时，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，函数的定义域为，该函数为奇函数，不合乎题意，B选项错误；对于C选项，的定义域为，该函数为奇函数，不合乎题意，C选项错误；对于D选项，函数的定义域为，该函数为偶函数，当时，则，且，则，合乎题意，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查利用函数图象选择函数解析式，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点
5、以及函数值符号结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5.已知正项等比数列中，且成等差数列，则该数列公比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为的形式，由此求得的值.【详解】由于成等差数列，所以，所以，即，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.6.已知函数（e为自然对数的底数），若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先比较的大小关系，再根据单调性，比较函数值的大小，即可求解.【详解】因为，又在R上是单调递减函数，故.故选:D.【点睛】本题考查了指数
6、幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于中档题.7.设，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】，故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，MN分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（ ）A. MN平面ADD1A1B. MNABC. 直线MN与平面ABCD所成角为45D. 异面直线MN与
7、DD1所成角为60【答案】D【解析】【分析】连结，可得，再对每个选项简单分析，即可求得答案.【详解】如图，连结，由M，N分别为，的中点知 ，对A，由，从而MN平面ADD1A1，A正确；对B，由面，可得，又，得，B正确；对C，由，直线MN与平面ABCD所成角为，C正确；对D，由，直线MN与DD1所成角为，D错误；故选：D.【点睛】本题考查了线面平行，线线垂直的证明，线面角、异面直线所所的角的求法，属于基础题.9.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种A. 60B. 90C.
8、120D. 150【答案】D【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，分2步进行分析：、将5项工作分成3组，若分成1、1、3的三组，有10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+1525种分组方法；、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A336种情况，则有256150种不同的分组方法；故选：D【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论10.已知线段是垂直平分线上的两个动点，且的最小值（ ）A. B. C
9、. D. 【答案】A【解析】【分析】以中点为原点，建立直角坐标系，可得，利用向量的坐标表示即可求解.【详解】以中点为原点，如图建立直角坐标系： 则，不妨设在的上方，则，.故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，解题的关键是建立恰当的直角坐标系，属于基础题.11.已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据所给条件和三角形面积公式，求得，的关系式，即可求得离心率的范围.【详解】设的内切圆半径为，则，因为，所以，由双曲线的定义可知，所以，即.故选：B
10、.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于的齐次式，再化简转化成关于的不等式即可得解，本题属于较难题.12.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为4，为棱的中点，利用球的几何性质求解即可【详解】根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为4，为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过，的平行于底面的中截面上，设球心到截面的距离为，则到的距离为：，解得出：，该多
11、面体外接球的表面积为：，故选：B【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，学生的空间思维能力，构造思想，关键是镶嵌在常见的几何体中解决第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.的展开式中的常数项为_【答案】-5【解析】试题分析：的展开式中的常数项为考点：二项式系数的性质14.在数列中，则_.【答案】9【解析】【分析】本题首先可根据计算出、的值，然后可以发现数列是以六个数为一个循环的循环数列，最后根据即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，故数列为循环数列，以、六个数为一个循环，且每一个循环的和为，因为，所以，故答案为：.【点睛】本题考查数列的前项和的求法，能
12、否根据题意发现数列是循环数列是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.15.设抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，准线为l，点A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA 为半径的圆交l于BD两点，若BFD=120，DABD的面积为，则p=_.【答案】【解析】【分析】根据,可得，进而表示出,从而表示出及圆的半径，再利用抛物线的定义求得到准线的距离，利用三角形的面积求出的值.【详解】解：令抛物线的准线l与轴交于,，又，到准线的距离， 解得，负值舍去.故答案为：【点睛】此题考查了抛物线的基本性质，圆锥曲线的位置关系，圆的方程等问题，综合性强，考查了学生推理运算能力，属于中档题.16.黎曼函数（Rie
13、mannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：，若函数是定义在上的奇函数，且，当时，则_.【答案】【解析】【分析】由已知得到关于对称，结合奇函数性质可确定为周期是的周期函数，进而将所求式子化简为；由黎曼函数的解析式可确定和的值，代入求得结果.【详解】由知：关于对称又为奇函数，图象关于原点对称 为周期函数，周期故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用问题，涉及到新定义运算的求解；关键是能够通过熟练掌握周期性与对称性的关系，即两个相邻的对称轴（对称中心）之间距离为半个周期.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字
14、说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.如图，三棱锥中， ，A、D分别为、的中点， ， ，平面.（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根面面垂直的性质定理可知底面，从而证明，根据题意以及线面垂直的判定定理可知，平面，再根据线面垂直的性质定理，证明即可.（2）以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设与平面所成角为，平面的法向量，利用，求解即可.【详解】（1），平面平面平面平面， 平面，底面又底面，平面，平面，平面平面， （2）由
15、（1）可知，底面，底面，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知，即，设平面的法向量为，即，取，则.则，与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查由线线垂直的证明以及求二面角的正弦值，属于中档题.18.函数f(x)=Asin(wx+j)(A0，w0，0jp)的部分图象如图所示，又函数g(x)=f(x+).（1）求函数g(x)的单调增区间；（2）设ABC的内角ABC的对边分别为abc，又c=，且锐角C满足g(C)= -1，若sinB=2sinA，求DABC的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据图象最值确定A，根据半个周期确定w，根据最小值点确定j，再根据诱
16、导公式化简g(x)，最后根据余弦函数性质求单调增区间；（2）先求C，再根据正弦定理化边的关系，结合余弦定理解得，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】（1）由函数的部分图象可得，即，则，又函数图像过点 ，则，即，又，即，即，则 由，得，所以函数的单调增区间为（2）由，得，因为，所以，所以，又，由正弦定理得. 又，由余弦定理，得，即由解得，. 所以面积为.【点睛】本题考查由图象确定三角函数解析式、余弦函数性质、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.19.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某
17、高速公路收费点记录了大年初三上午9:2010:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:209:40记作区间，9:4010:00记作，10:0010:20记作，10:2010:40记作.例如：10点04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:2010:00之间通过的车辆数为X
18、，求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9:2010:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:4610:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若，则，.【答案】（1）10点04分（2）分布列见解析， （3）819辆【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图和平均数的计算公式，即可求得这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值；（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方
19、法求得随机变量的可能取值，求出相应的概率，得到的分布列，利用期望的公式，求得其数学期望；（3）由（1）可得，得到，得到概率，即可求解在9:4610:40这一时间段内通过车辆数.【详解】（1）由题意，这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即10点04分. （2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，即，所以X的可能取值为0，1，2，3，1. 所以，所以X的分布列为X01234P所以. （3）由（1）可得，所以. 估计在9:4610:40这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数
20、，由， 所以，估计在9:4610:40这一时间段内通过的车辆数为辆.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，以及正态分布及频率分布直方图的应用，其中解答中认真审题，正确求解相应的概率，得到其分布列，利用公式准确运算时解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20.在直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，的中点分别为，的周长为（）求椭圆的标准方程；（）设的重心为，若，求直线的方程【答案】（）（）或【解析】【分析】（）根据题意可得，根据的周长求出，根据离心率得到，再求出，从而得到椭圆的方程；（）设的方程为，
21、与椭圆联立得到，从而得到重心的坐标，根据，得到关于的方程，解得的值，得到直线的方程.【详解】（）， 连接，分别为，的中点，同理， 的周长为， 又，椭圆的标准方程为 （）过点且斜率不为0，可设的方程为，设，由得 ， ，又，即 令，解得 直线的方程为或.【点睛】本题考查椭圆的定义求椭圆的标准方程，直线与椭圆的交点，两点间距离公式，属于中档题.21.已知函数（）若，求的单调性和极值；（）若函数至少有1个零点，求的取值范围【答案】（）在上单调递减，在上单调递增，极小值为-2，无极大值 （）【解析】【分析】（）求导得到，分别得到当时，当时，判断出单调性，从而得到其极值；（）根据题意得到，令，求导得到，由
22、得，令，由零点存在定理得到存在，使得，由得到的最小值，再对的零点进行分类讨论，得到答案.【详解】（）当时， 当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增 在处取得极小值，极小值为，无极大值（），由得 令，则 由得令，当时，在单调递增，存在，使得且当时，即，当时，即 ，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增 在处取得最小值 ，即，即 当时，函数无零点，当时，函数至少有1个零点，故的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，根据函数零点个数求参数的范围，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标
23、中，直线的参数方程为为参数，.在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）若点在直线上，求直线的极坐标方程；（2）已知，若点在直线上，点在曲线上，且的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先求出直线的直角坐标方程，将代入求出，再将直线的直角坐标方程化为极坐标方程即可.（2）首先求出曲线的参数方程，从而得到，再根据的最小值为即可得到的值.【详解】（1）直线的参数方程为为参数，.直角坐标方程为：.将代入，解得.故直线的直角坐标方程为：，极坐标方程为：.（2）曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为：.转换为参数方程为（为参数），直线的直角坐标方程为.所以：，所以当时，解得：.【点睛】本题第一问考查直线的极坐标方程，第二问考查利用参数方程求最值问题，属于中档题.23.解不等式；设a，b，且不全相等，若，证明：【答案】（1） ；（2）详见解析【解析】【分析】通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；根据不等式的性质证明即可【详解】解：原不等式等价于或或，解得：或或，故原不等式的解集是；证明：，同理，又a，b，且不全相等，故上述三式至少有1个不取“”，故【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道基础题
