1、第2课时 导数的运算法则【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材,了解并识记导数运算法则,并初步体会这一法则在求和、差、积、商函数的导函数中的应用.【知识链接】基本初等函数的导数公式:(1)c=0(2)(x)=x-1(Q*)(3)(sinx)=cosx(4)(cosx)=-sinx(5)(ax)=axlna(a0)(6)(ex)=ex(7)(logax)=(a0且a1)(8)(lnx)=1xln a1x主题:导数的运算法则【自主认知】1.试根据导数的定义,写出下列函数的导数.(1)若F(x)=x+x2,则F(x)=_.(2)若F(x)=x-x2,则F(x)=_.(3)若F(x)=x3,则F(x
2、)=_.提示:(1)F(x)=答案:1+2x x0F(xx)F xlimx 22x02x0 x0(xx)(xx)xxlimxx2xx(x)limxlim(1 2xx)1 2x.(2)F(x)=(1-2x-x)=1-2x.答案:1-2x(3)F(x)=(3xx+3x2)+(x)2=3x2.答案:3x2 22x0 x0F(xx)F x(xx)(xx)xxlimlimxx x0lim 33x0 x0F(xx)F x(xx)xlimlimxx x0lim 2.问题1中,若令f(x)=x,g(x)=x2,则F(x)的导数与f(x),g(x)的导数各有什么关系?提示:因为f(x)=1,g(x)=2x,故(
3、1)中F(x)=f(x)+g(x),(2)中F(x)=f(x)-g(x),(3)中F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).根据以上探究过程,试着写出导数的运算法则:(1)f(x)g(x)=_.(2)f(x)g(x)=_.(3)=_(g(x)0).(4)cf(x)=_.f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f xg x 2f x g xf x g xg xcf(x)【合作探究】1.在导数运算法则中,函数f(x),g(x)一定有导函数吗?提示:一定有导函数,否则法则不成立.2.根据两个函数和差的导数运算法则,试着推广到任意有限个可导函 数的和差.提示:f1(x)f2(x)fn(x
4、)=f1(x)f2(x)fn(x).af(x)bg(x)=af(x)bg(x)(a,b为常数).【拓展延伸】两个函数积的导数运算法则的推导 设f(x),g(x)是可导函数,F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)g(x),则 F(xx)F xf(xx)g(xx)f xg xxx f(xx)f xg(xx)g xxx ，所以=f(x)+g(x),所以=g(x)f(x)+f(x)g(x).x0 x0 x0F(xx)F xf(xx)f xg(xx)g xlimlimlimxxx G(xx)G xf(xx)g(xx)f x g xxxf(xx)g(xx)f x g(xx)f x g(xx)f
5、x g xxg(xx)f(xx)f xf xg(xx)g xxx ，x0G(xx)G xlimx 【过关小练】1.已知函数f(x)=ax2+c,且f(1)=2,则a的值为()A.1 B.C.-1 D.0【解析】选A.因为f(x)=ax2+c,所以f(x)=2ax,又因为f(1)=2a,所以2a=2,所以a=1.22.函数f(x)=的导函数为_.【解析】因为f(x)=,所以f(x)=-.答案:f(x)=-3x3x23x23x【归纳总结】对导数运算法则的两点说明(1)导数的加减法则,就是把每一个函数都求导数,然后再相加减.(2)导数的乘法法则中两个式子中间是加号,导数的除法法则中分子上的两个式子之
6、间是减号,因此要注意两个函数的位置关系.类型一:利用导数的运算法则求函数的导数【典例1】求下列函数的导数:(1)f(x)=(x+2)(x-3).(2)f(x)=lgx-3x.(3)f(x)=(4)f(x)=11.1x1xsin x.1 sin x【解题指南】可直接利用公式求导,对于稍复杂的可先化简再求导.【解析】(1)因为f(x)=x2-x-6,所以f(x)=(x2-x-6)=2x-1.(2)f(x)=(lgx)-(3x)=(3)因为y=所以y=x13 ln 3.x ln 10 1x1x1121 x1x1x1x1x，222 1 x22().1 x1 x1 x(4)因为f(x)=所以f(x)=s
7、in x111 sin x1 sin x，221 sin x1cos x1).1 sin x1 sin x1 sin x(【规律总结】1.应用导数运算法则求函数导数的技巧(1)求导之前,对三角恒等式先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错.(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导.(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.2.应用导数运算法则求函数的导数的原则 结合函数解析式的特点先进行恒等变形,把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算,再套运算法则.【拓展延伸】公式f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)
8、g(x)的推广 公式f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)的推广为:f1(x)f2(x)f3(x)fn(x)=f1(x)f2(x)f3(x)fn(x)+f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn(x).【巩固训练】求下列函数的导数:(1)y=2xcosx.(2)y=2x+lnx.x 1ln x3 y.4 y.x 1x【解析】(1)y=(2x)cosx+2x(cosx)=2cosx-2xsinx.(2)y=(2x)+(lnx)=2+.1x(3)方法一:方法二:因为 所以 (4)222x 1x 1x 1 x 1x 1x 1x 12y().x 1x 1
9、x 1x 1x 1x 1 22y1x 1x 1x 1 ，222 x 12 x 1222y(1)().x 1x 1x 1x 1 22ln xxln xxln x1 ln xy().xxx 【补偿训练】求下列函数的导函数:(1)y=x5-3x3-5x2+6.(2)y=(2x2+3)(3x-2).(3)y=2xxsin(12cos)24【解析】(1)y=(x5-3x3-5x2+6)=(x5)-(3x3)-(5x2)+6=5x4-9x2-10 x.(2)方法一:y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9.方法二:因为y=(2x2+
10、3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,所以y=18x2-8x+9.2xxxx13 ysin(12cos )sin cos)sin x24222111y(sin x)sin xcos x.222(，类型二:导数运算法则的应用【典例2】(2015烟台高二检测)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.【解题指南】先求出函数f(x)的导数,(1)由于点在曲线上,可将点的坐标代入求切线的斜率,进而得出切线方程.(2)由于原点不在曲线上,可先设切点坐标,列方程解出切点坐标,再求
11、切线方程.【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+1.(1)由已知f(x)=x3+x-16,且f(2)=23+2-16=-6,所以点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f(2)=322+1=13,所以切线方程为:y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.(2)方法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为:y-y0=(3x02+1)(x-x0),即:y-x03-x0+16=(3x02+1)(x-x0),又因为切线l过原点,所以0-x03-x0+16=(3x02+1)(-x0),整理得:
12、x03=-8,所以x0=-2.所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3(-2)2+1=13,所以切线的方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则 又因为k=f(x0)=3x02+1,所以 =3x02+1,解得x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3(-2)2+1=13,所以切线的方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).300000y0 xx16k.x0 x3000 xx16x【延伸探究】1.(改变问法)若本例
13、条件不变,试判定函数图象上哪一点处的切线斜率最小.【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+11,即当x=0时,切线的斜率最小,此时点的纵坐标y=-16.因此,当切线的斜率最小时,切点的坐标为(0,-16).2.(变换条件,改变问法)若过本例曲线上某点处的切线平行于直线4x-y+1=0,求切点的坐标.【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+1,设切点为(x0,y0),则过切点处的切线的斜率为k=3x02+1,又此切线平行于直线4x-y+1=0,所以3x02+1=4,所以x0=1,当x0=1时,y0=-14,当x0=-1时,y0=-18.所以切点坐标为(1,
14、-14)或(-1,-18).【规律总结】求曲线在某一点处切线方程的一般步骤(1)先判断给出的点(x0,y0)是否在曲线上,如果在曲线上,则它是切点,否则不是,此时设切点坐标为(x1,y1).(2)求切线的斜率.如果点(x0,y0)是切点,则切线斜率为f(x0),若(x0,y0)不是切点,则切线斜率k=f(x1)=(3)利用点斜式方程,求出切线方程.1010yy.xx【补偿训练】1.质点运动满足函数为s=+2t2,s为路程,t为时间,则t=2时的速度为()A.4 B.8 C.10 D.12【解析】选B.s=所以当t=2时的速度为:21 tt2231 tt2()2t4ttt，2 2s8 8.8 2
15、.曲线y=x+sinx在点(0,0)处的切线方程是_;【解析】因为y=x+sinx,所以y=1+cosx,因点(0,0)在曲线上,所以当x=0时,y=1+cos0=2,因此曲线在(0,0)处的切线方程为:y-0=2(x-0),即2x-y=0.答案:2x-y=0 类型三:导数公式及运算法则的综合应用【典例3】(1)(2015衡水高二检测)已知函数f(x)=x4+ax2-bx,且f(0)=-13,f(-1)=-27,则a+b等于()A.18 B.-18 C.8 D.-8(2)(2015潍坊高二检测)设函数f(x)=其中 则导数f(1)的取值范围是()A.-2,2 B.C.,2 D.,2(3)(20
16、15长春高二检测)若函数f(x)=f(1)x3-2x2+3,则f(1)的 值为()A.0 B.-1 C.1 D.2 32sin3cosxxtan32，50,12，23，23【解题指南】(1)先求出函数的导数,依据题设条件得出关于a,b的方程组,解方程组即可求出a,b的值,进而求出a+b的值.(2)先求出导函数,再求出f(1)的解析式,最后求其范围即可.(3)注意f(1)是个数值,可先对f(x)求导,再令x=1,即可求出f(1)的值.【解析】(1)选A.因为f(x)=4x3+2ax-b,由 所以 所以a+b=5+13=18.f 013,b13,42ab27,f127 a5,b13,(2)选D.由
17、已知f(x)=sinx2+cosx,所以f(1)=sin+cos=2sin 又 所以 所以 所以 f(1)2.(3)选D.因为f(x)=3f(1)x2-4x,所以f(1)=3f(1)-4,所以f(1)=2.33()3，50,.123334，2sin()123，2【延伸探究】在(3)中,若条件不变,则f(2)的值是多少?【解析】由(3)的解析可知f(1)=2,所以f(x)=2x3-2x2+3,f(x)=6x2-4x,f(2)=622-42=16.【规律总结】利用待定系数法求函数解析式的一般步骤(1)根据函数的特点,设出函数的解析式(或已知函数的解析式含参数).(2)依题目中所给条件,列出参数满足
18、的方程(组).(3)求出参数的值,进而可求出函数的解析式.【巩固训练】(2015全国卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线 与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=_.【解析】y=1+,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线斜率为k=1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立 得ax2+ax+2=0,显然a0,所以由=a2-8a=0a=8.答案:8 1x0 x1y|2y2x 1,yaxa2 x 1,【补偿训练】求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.【解析】依题意知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线的切点到 直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(x0,x02).因为y=(x2)=2x,所以2x0=1,所以x0=.切点坐标为 所以所求的最短距离为 121 1(,).2 4112|7 224d.82|
