1、甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上，交卷时只交答题卡.第卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，且，则集合可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由知，故选考点：集合的交集2. 等差数列中，则数列公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】设数列的公差为，则由题意可得，由此解得的值【详解】解：设数列
2、的公差为，则由，可得，解得.故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，由已知条件求基本量3. 已知是的一个内角，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由同角的三角函数的关系式求出，结合已知，再利用两角和的余弦公式可求的值.【详解】是的一个内角, 则又由联立解得：或(舍)故选：C.【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系式以及两角和的余弦，解题关键是注意角的范围对函数值符号的影响，本题属于基础题.4. 下列函数在上为减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据四个函数的单调性进行判断即可.【详解】对于A：函数在是增函数，在是减函数，所以
3、函数不满足在是减函数，故A选项不符合题意；对于B：函数，在是单调递增函数，在是单调递减函数，故函数在上是减函数，故B选项符合题意.对于C：函数在是增函数，故C选项不符合题意；对于D：函数是实数集上的增函数，故D选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题考查了对数型函数、指数函数、二次函数、绝对值型函数的单调性的判断，属于基础题.5. 已知向量，若，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由，得，若，则，所以.故选B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，
4、利用解答.6. 若，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由指数函数的单调性可判断A，由幂函数的单调性可判断B，由对数函数的性质可判断C，由基本不等式可判断D.【详解】对于A，若，由函数单调递减可得，故A错误；对于B，若，由函数在上单调递减可得，故B错误；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，且，由基本不等式可得，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了不等式及不等关系，考查了对数函数、指数函数、幂函数及基本不等式的应用，属于基础题.7. 执行如下图的程序框图，输出的值是（ ）A. 2B. 1C. D. -1【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行，依次
5、写出每次循环得到的k和S值，根据题意即可得到结果.【详解】程序运行如下，k=1，S1，k2，S；k3，S；k4，S1变量S的值以3为周期循环变化，当k=2015时，k=2016时，结束循环，输出S的值为故选：C【点睛】本题考查程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期，属于中档题8. 如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】由
6、题意,正方形的面积为22=4.圆锥的底面面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-.故选A.9. 关于函数，下列说法正确的是（ ）A. 函数关于对称B. 函数向左平移个单位后是奇函数C. 函数关于点中心对称D. 函数在区间上单调递增【答案】D【解析】【分析】先化简函数，然后根据正余函数的图象和性质逐项分析，即可得出结果.详解】，令，即，所以函数关于对称，所以A错误；将函数向左平移个单位后得到：，为偶函数，所以B错误；令，即，函数关于点中心对称，所以C错误；令，解得，当时，所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，所以D正确.故选：D【点睛】本题主要考查正余弦函数的图
7、象与性质，解题的关键是正确化简函数，属于中档题.10. 已知函数,若存在,当时,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】详解】根据图像，当时，有，将代入函数中，可解得或，所以当时，当时，因为，所以，因为，所以；当时，因为，所以，因为，所以；综上所述，的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件，这样就可以将求的范围转化为求的范围.第卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 已知过点和的直线与直线平行，则的值为_.【答案】-8【解析】【分
8、析】直线AB与直线平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m的值.【详解】直线2x+y-10的斜率等于2，过点和的直线的斜率也是2，由斜率公式得，解得m8，故答案为：-8【点睛】本题考查两条直线平行的条件，考查斜率公式，属于基础题.12. 若满足约束条件则的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域及直线，平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为.考点：简单线性规划.13. 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1，2，3，则其外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】将三棱锥补成长方体，转化为求长方体外接球的问题，利用长方体的对角线为外接球的直径，即可求解.【详解】三棱锥的三条侧
9、棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成长方体，如下图所示：则长方体相邻的三边长为，且长方体的外接球即为所求，对角线长为，外接球的半径为，所以所求的外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查球与锥的接切问题，将问题转化为熟悉几何体的外接球，可提高解题效率，减少计算量，属于中档题.14. 200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1200编号，分为40组，分别为15，610，196200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为_若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取_人【答案】 (1). 37 (2). 20【解析】【分析】由系统抽样，编号是等距出现的
10、规律可得，分层抽样是按比例抽取人数【详解】第8组编号是22+5+5+537，分层抽样，40岁以下抽取的人数为50%4020（人）故答案为：37；20【点睛】本题考查系统抽样和分层抽样，属于基础题15. 若圆：上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将问题转化为圆与圆心为原点，半径为2的圆有两个交点的问题，利用圆心距的关系，化简得到.【详解】由题意知：将问题转化为圆与圆心为原点，半径为2的圆有两个交点，两圆圆心距，即：, 或故实数的取值范围是.【点睛】本题体现了转化的思想，将问题转化为两圆相交，运用“隐性”圆，将复杂的解析几何问题转化为几何中的基本图形，使得
11、问题的求解简单易行，解法令人赏心悦目，属于中档题.16. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_日（结果保留一位小数，参考数据：，）【答案】2.6【解析】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 莞（植物名）的长度组成等比数列 ，其，公比为 ，其前 项和为 则，令 ，化为：，解得 或 （舍去）即： .所需的时间约为 日
12、.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，内角对应的三边长分别为，且满足（）求角；（）若，求的取值范围【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）由已知得，由余弦定理可得；（）由正弦定理，化简，由，得，故试题解析：（），（）解法1：由正弦定理得，所以解法2：，即，考点：解三角形18. 已知是公差不为零的等差数列，且、成等比数列.（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和；（3）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）本题可通过等比中项的相关性质得出，然后通过计算得出公差，即可得出结果；（2）本题可根据（1）得出，然
13、后根据等比数列前项和公式即可得出结果；（3）可通过裂项相消法求和得出结果.【详解】（1）由题意可知公差，因为，成等比数列，所以，解得或（舍去），故的通项.（2）由（1）可知，由等比数列前项和公式可得：.（3）因为，所以，.【点睛】本题考查数列的通项以及数列前项和的求法，考查等比数列前项和公式，考查裂项相消法求和，考查计算能力，是中档题.19. 某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日
14、温差101113128发芽数颗2325302616（1）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）；（2）线性回归方程是可靠的.【解析】【分析】（1）根据最小二乘法公式，分别将数据代入计算，即可得答案；（2）选取的是4月1日与4月30日的两组数据，即和代入判断即可；【详解】解：（1）由数据得，；又，；，；所以
15、关于的线性回归方程为：.（2）当时，；当时，所得到的线性回归方程是可靠的.【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程及利用回归方程进行判断拟合效果，考查数据处理能力，求解时注意回归直线必过样本点中心的应用.20. 一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中M ，N 分别是AF、BC 的中点（1）求证：MN平面CDEF；（2）求多面体A-CDEF的体积【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值（1）取BF的中点G，连接MG、NG，利用中位线的性质结合线面平行的充要
16、条件，易证明结论（2）多面体A-CDEF的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积【详解】（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=，连结BE，M在BE上，连结CEEM=BM，CN=BN，所以，所以平面（2）取DE的中点HAD=AE，AHDE，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ADE平面CDEF，平面ADE平面CDEF=DEAH平面CDEF多面体A-CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在ADE中，AH=S矩形CDEF=DEEF=，棱锥A-CDEF的体积为【点睛】本题考点：1简单空间图
17、形的三视图；2棱柱、棱锥、棱台的体积；3直线与平面平行的判定，属于基础题型.21. 已知是定义域为的奇函数，当时，.(1)写出函数的解析式；(2)若方程恰3有个不同的解，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设，则有0，利用可求得，然后写出完整的函数式；（2）作出函数图象，确定的极值和单调性，由图象与直线有三个交点可得的范围【详解】解：(1)当时，是奇函数，.(2)当时，最小值为；当，最大值.据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程恰有个不同的解，则的取值范围是.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系在求函数零点个数（或
18、方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围22. 已知圆C：x2y22x4y30(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标【答案】(1) y(2)x或xy10或xy30；(2) 【解析】【分析】（1）首先利用待定系数法设出切线的方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径求出切线方程；（2）PM的距离用P到圆心C的距离与半径来表示，建立PO与与PC的关系，
19、求出P点的轨迹为一条直线，然后将求PM的最小值问题转化为原点到直线的距离问题,【详解】解:(1)将圆C整理得(x1)2(y2)22当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为ykx，圆心到切线的距离为，即k24k20，解得k2y(2)x；当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为xya0，圆心到切线的距离为，即|a1|2，解得a3或1xy10或xy30综上所述，所求切线方程为y(2)x或xy10或xy30(2)|PO|PM|，(x11)2(y12)22，即2x14y130，即点P在直线l：2x4y30上当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OPl，直线OP的方程为：2xy0，解得方程组得，P点坐标为【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，待定系数法求方程，转化与化归的思想.本题的易错点是截距相等的直线要区分过原点和不过原点.
