1、考 点 串 串 讲1条件概率对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”来表示我们把由事件 A 与 B 同时发生所构成的事件 A 与 B 交(或积)，记作 DAB(或 DAB)一般地，我们有条件概率公式 P(B|A)PABPA，P(A)0.一般地，设 A、B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)PABPA为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，一般把 P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 的概率条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0P(B|A)1.如果 B 和 C 是
2、两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)(1)AB 表示事件 A 与事件 B 的积，即事件 A 与 B 同时发生这一事件(2)条件概率在有的数理统计中一般定义如下：如果 A、B是随机试验的两个事件，且 P(A)0，则称事件 A 发生的条件下事件 B 的概率为事件 A 发生条件下事件 B 发生的条件概率，记为P(B|A)，而公式 P(B|A)PABPA 则为计算条件概率的公式，它可用频率稳定值来给以解释：设进行 n 次试验，事件 A 发生 na 次，事件 AB 发生 nab 次，显然，在事件 A 发生的条件下，事件 B 也发生nab 次，事件 A 发生的条件下，事件 B 发生频率
3、 nab/na 称为事件 B的条件频率，可改写为nabna nabn/nan.考虑到大量重复试验时，条件频率 nab/na 的稳定值为条件概率 P(B|A)；又事件 AB 的频率 nab/n、事件 A 的频率 na/n 的稳定值各为 P(AB)、P(B)，于是有 P(B|A)PABPA.(3)条件概率公式揭示了条件概率 P(A|B)与事件概率 P(A)、P(AB)三者之间的关系下列两种情况可利用条件概率公式：一种情况是已知 P(B)和 P(AB)时去求出 P(A|B)；另一种情况是已知 P(B)和 P(A|B)时去求出 P(AB)对于后一种情况，为了方便也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式：
4、若 P(A)0，有 P(AB)P(A)P(B|A)(4)乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式，要求 P(AB)时，必须知道 P(A|B)或 P(B|A)；反之，要求 P(A|B)时，必须知道积事件AB 的概率 P(AB)，在解决实际问题时，不要把求 P(AB)的问题误认为是求 P(A|B)的问题2相互独立事件同时发生的概率(1)相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件(2)相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)P(A)P(B)如果事件 A1，A2，An 相互独立
5、，那么这 n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(3)关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的(4)关于相互独立事件应注意以下两点：相互独立事件的性质：若事件 A 与事件 B 独立，A 的对立事件为A，B 的对立事件为 B，则 A 与 B，A与 B、A与 B也都是相互独立的两个事件独立与互斥的区别相互独立事件与互斥事件的区别是：前者是指两个试验中，两个事件发生的概
6、率互不影响，计算公式为 P(AB)P(A)P(B)后者是指同一次试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(AB)P(A)P(B)，且满足 P(A)P(A)P(AA)1.(5)事件 A 与 B 的积记作 AB，AB 表示这样一个事件，即 A 与B 同时发生当 A 和 B 是相互独立事件时，事件 AB 满足乘法公式 P(AB)P(A)P(B)，还要弄清A B，AB 的区别：A B表示事件A与 B同时发生，因此它们的对立事件 A 与 B 同时不发生，也等价于 A 与 B至少有一个发生的对立事件，即 AB，因此有A B AB，但 AB AB.(6)由于当事件 A 与 B 相互独立时，P(AB)P(
7、A)P(B)，因此式子 1P(A)P(B)表示相互独立事件 A，B 中至少有一个不发生的概率，它在概率的计算中常要用到对于 n 个随机事件 A1，A2，An，有 P(A1A2An)1P(A1 A2An)这个公式叫做概率的和与积的互补公式3独立重复试验在相同的条件下重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为 n 次独立重复试验一般地，在相同的条件下重复做 n 次试验称为 n 次独立重复试验注意 在上述定义中“在相同的条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，也就是各次试验相互独立，因而对于 n 次独立重复试验的结果 A1，A2，An 有 P(A1A2An)P(A1)
8、P(A2)P(An)独立重复试验必须满足两个特征：()每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；()各次试验的结果互不影响，即各次试验互相独立独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果，发生与不发生，成功与失败等独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛独立重复试验事件 A 恰有 k 次发生的概率一般地，事件 A 在 n 次试验中发生 k 次，共有 Ckn种情形，由试验的独立性知 A 在 k 次试验中发生，而在其余 nk 次试验中不发生的概率都是 pk(1p)nk，所以由概
9、率加法公式知，如果在一次试验中事件 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1p)nk(k0,1,2，n)在运用该公式时要弄清公式中的 n、p、k 的意义.典 例 对 对 碰题型一 条件概率求法例 1 一个盒子中有 6 只好晶体管，4 只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回求若已知第一只是好的，第二只也是好的概率解析 设 Ai第 i只是好的(i1,2)由题意知要求出 P(A2|A1)因为 P(A1)61035，P(A1A2)6510913，所以 P(A2|A1)PA1A2PA1 59.变式迁移 1抛掷一枚骰子，观察
10、出现的点数，A出现的点数是奇数1,3,5，B出现的点数不超过 31,2,3若已知出现的点数不超过 3，则出现的点数是奇数的概率为()A.23 B.13C.12D.34答案 A解析 由题意知 P(B)3612，P(AB)2613，故在出现的点数不超过 3 的条件下，出现的点数是奇数的概率为 P(A|B)PABPB 23.变式迁移 1抛掷一枚骰子，观察出现的点数，A出现的点数是奇数1,3,5，B出现的点数不超过 31,2,3若已知出现的点数不超过 3，则出现的点数是奇数的概率为()A.23 B.13C.12 D.34答案 A解析 由题意知 P(B)3612，P(AB)2613，故在出现的点数不超过
11、 3 的条件下，出现的点数是奇数的概率为 P(A|B)PABPB 23.题型二 相互独立事件的判断例 2 判断下列事件是否为相互独立事件(1)甲组有 3 名男生、2 名女生，乙组有 2 名男生、3 名女生，今从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”(2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球”解析(1)“从甲组选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件
12、(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为47.若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为58.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件点评 要明确相互独立事件：(1)对两个事件而言的，(2)其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.变式迁移 2判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件(1)运动员甲射击 1 次，“射中 9 环”与“射中 8 环”；(2)甲、乙两运动员各射击 1 次，“甲射中 10 环”与“乙射中 9环”；(3)甲、乙两
13、运动员各射击 1 次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；(4)甲、乙两运动员各射击 1 次，“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”解析 按互斥事件和相互独立事件定义去分析(1)甲射击 1 次，“射中 9 环”与“射中 8 环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件(2)甲、乙各射击 1 次，“甲射中 10 环”发生与否，对“乙射中9 环”的概率没有影响，二者是相互独立事件(3)甲、乙各射击 1 次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件(4)甲、乙各射击 1 次，“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”
14、可能会同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件.题型三 相互独立事件同时发生的概率例 3 甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14，现在三人同时射击目标，计算：(1)三人都击中目标的概率；(2)目标被击中的概率分析 记甲命中目标为事件 A，乙命中目标为事件 B，丙命中目标为事件 C，由于甲、乙或丙是否击中，对另外两人击中的概率是没有影响的，因此事件 A，B，C 是相互独立的解析(1)三人都击中目标就是事件 ABC 发生，根据相互独立事件概率乘法公式，得P(ABC)P(A)P(B)P(C)121314 124.(2)目标被击中的事件可表示为 ABC
15、发生，即击中目标表示事件 A、B、C 中至少一个发生，直接来算太复杂，于是从另一个反面来思考，目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，由于三人射击的结果相互独立，则 A，B，C也相互独立，根据公式可得P(ABC)P(A)P(B)P(C)1P(A)1P(B)1P(C)(112)(113)(114)14.因此，目标被击中的概率是P(ABC)1P(A BC)11434.点评 第(2)小题的解法是常用的逆向思考方法，采用这种方法有时可使问题的解答变得简便.变式迁移 3如图，用 A，B，C 三类不同的元件连结在两个系统 N1、N2 中当元件 A、B、C 都正常工作时，系统 N1 正
16、常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、C 中有一个正常工作时，系统 N2 正常工作已知元件A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90.分别求系统 N1、N2正常工作的概率 P1、P2.解析 系统 N1 正常工作的概率即为 A、B、C 同时正常工作的概率，即P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.800.900.900.648.系统 N2 正常工作时，B、C 元件至少有一个正常工作的概率为1P(BC)1P(B)P(C)1(10.90)(10.90)0.99.所以系统 N2 正常工作的概率为P(A)1P(BC)0.800.990.792.答：系统 N1、N2 正常工作的概率分
17、别为 0.648 和 0.792.题型四 独立重复试验的概率例 4 某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 0.5(相互独立)求：(1)至少 3 人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于 0.3?分析 因为 6 个员工上网都是相互独立的，所以该题可归结为n 次独立重复试验问题解析(1)至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率，即1C06(0.5)6C16(0.5)6C26(0.5)611615642132(2)由(1)知至少 3 人同时上网的概率大于 0.3，至少 4 人同时上网的概率为C46(0.5)6C56(0.5)6C66(0.5
18、)611320.3至少 5 人同时上网的概率为(C56C66)(0.5)6 7640.3因此，至少 5 人同时上网的概率小于 0.3.点评 该题考查了 n 次独立重复试验的概率公式，应用时一定要注意审题，看清“至多”“至少”“恰有”等字眼.变式迁移 4在资料室中存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为 0.2，而借杂志的概率为 0.8，设每人只借一本，现有五位读者依次借阅计算：(1)5 人中有 2 人借杂志的概率；(2)5 人中至多有 2 人借杂志的概率解析 记“一位读者借杂志”为事件 A，则“此人借书”为A，5 位读者各借一次可看作 n 次独立重复事件(1)5 人中有 2 人借杂志的概率为PC
19、25(0.8)2(0.2)30.0512.(2)5 人中至多有 2 人借杂志，包括三种情况：5 人都不借杂志，5 人中恰有 1 人借杂志，5 人中恰有 2 人借杂志，因此所求概率为PC05(0.8)0(0.2)5C15(0.8)1(0.2)4C25(0.8)2(0.2)30.05216.题型五 独立重复试验与射击例 5 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油罐已知只有 5 发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 X，求 X 不小于
20、4 的概率分析 每次射击是相互独立的，所以可考虑用 n 次独立重复试验的概率公式来计算(1)问的是油罐被引爆的概率，可能射击 2 次、3 次、4 次、5 次，故用逆反思维，先求其对立事件的概率(2)求 X4、5 时的概率和解析(1)油罐被引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆可能情况是：射击 5 次只击中一次或一次也没击中，故该事件的概率为C1523(13)4(13)5，所以所求事件的概率为1C1523(13)4(13)5232243.(2)当 X4 时记为事件 A，则P(A)C1323(13)223 427，当 X5 时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件 B，则P(B)
21、C1423(13)3(13)419，所以所求概率为P(AB)P(A)P(B)42719 727.点评 应用 n 次独立重复试验的概率公式，一定要审清是多少次试验中发生 k 次的事件，如该题第(2)问 X4 时，不能理解成 4次试验中，恰好发生 2 次的事件.变式迁移 5设一射手平均每射击 10 次中靶 4 次，求在 5 次射击中：(1)恰击中 1 次的概率；(2)第二次击中的概率；(3)恰击中 2 次的概率；(4)第二、三两次击中的概率；(5)至少击中 1 次的概率解析 由题设，此射手射击 1 次，中靶的概率为 0.4.此射手射击 5 次，是一独立重复试验，可用公式 Pn(k)CnnPk(1P
22、)nk.(1)n5，k1，得P5(1)C15P(1P)40.2592.(2)事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或击不中都可，它不同于“击中一次”，也不同于“第二次击中，其他各次都不中”，不能用独立重复试验的概率公式其实，“第二次击中”的概率，就是此射手“射击一次击中”的概率为 0.4.(3)n5，k2，得P5(2)C25P2(1P)30.3456.(4)“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中，所以概率为 0.40.40.16.(5)解法一：设“至少击中一次”为事件 B，则 B 包括“击中一次”，“击中两次”，“击中三次”，“击中四次”，“击中五次”，所以概率为P(B
23、)P5(1)P5(2)P5(3)P5(4)P5(5)0.25920.34560.23040.07680.010240.92224.解法二：事件 B是用“至少”表述的，可以考虑它的对立事件B的对立事件是“一次也没击中”，所以 B 事件的概率可以这样计算：P(B)1P(B)1P5(0)1C05(10.4)50.92224.题型六 独立重复试验与体育竞赛例 6 排球比赛的规则是 5 局 3 胜制，A、B 两队每局比赛获胜的概率分别为23和13.(1)前 2 局中 B 队以领先，求最后 A、B 队各自获胜的概率；(2)求 B 队以获胜的概率解析(1)设最后 A 队获胜的概率为 P1，最后 B 队获胜的
24、概率为P2.则 P1C33(23)3 827；P21323132323131927(或 P21P11927)(2)设 B 队以获胜的概率为 P3，则 P3C24(13)3(23)2 881.点评 本题是典型的体育竞赛胜负概率问题，在运用独立重复试验的概率公式求解竞赛概率问题时，不能盲目套用公式不论是三局两胜制还是五局三胜制，获胜一方都不能简单地看作是“3 次独立重复试验中恰有 2 次发生”或“5 次独立重复试验中恰有 3 次发生”，因为比赛的局数不一定就是三局或五局，并且比赛的最后一局一定是获胜一方胜，所以要根据局数分情况进行讨论.变式迁移 6甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，
25、即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；(2)比赛进行完七局的概率解析(1)乙取胜有两种情况：一是乙连胜四局，其概率 P1(12)4 116；二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，其概率 P2C34(12)3(112)1218，所以乙取胜的概率为 P1P2 316.(2)比赛进行完七局有两种情况：一是甲胜，第三局到第六局中甲胜一局，第七局甲胜，其概率 P3C1412(112)31218；二是乙胜，同(1)中第二种情况，P4P218，所以比赛进行完七局的概率为 P3P414.方 法 路 路 通1利用相互独立事件的概率乘法公式解题的关键是构造相互独
26、立事件的模型2相互独立事件概率的求法应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤：(1)确定诸事件是相互独立的；(2)确定诸事件会同时发生；(3)先求每个事件发生的概率，再求其积3首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立)，当且仅当事件 A 和事件 B 互相独立时，才有 P(AB)P(A)P(B)4A、B 中至少有一个发生：AB(1)若 A、B 互斥：P(AB)P(A)P(B)，否则不成立；(2)若 A、B 相互独立(不互斥)法(一)P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)法(二)P(AB)1P(AB)，法(三)P(AB)P(A)P(B)P(AB)5独立重复试验
27、中某事件发生 k 次的概率 Pn(k)Cknpk(1p)nk 正好是二项式(1p)pn 的展开式的第 k1 项6对于较复杂的概率问题，应分清事件的构成以及概率的转化，熟悉“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”等语句的真实含义，并注意运用集合的观点，利用事件的内在联系，促成复杂事件的概率问题向简单事件的概率问题转化7解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”：(1)求概率的步骤是：第一步，确定事件性质等可能事件互斥事件独立事件n次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种第二步，判断事件的运算和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件第三步，运
28、用公式等可能事件：PAmn，互斥事件：PABPAPB，PAB0独立事件：PABPAPB等n次独立重复试验：pnkCknpk1pnk求得(2)概率问题常常与排列组合问题相结合.正 误 题 题 辨例某零件从毛坯到成品，一共要经过六道自动加工工序如果各道工序出次品的概率依次为 1%、2%、3%、3%、5%、5%，那么这种零件的次品率是多少？错解 设第 i 道工序出次品的事件为 Ai，i1,2,3,4,5,6，则P(A1)0.01，P(A2)0.02，P(A3)P(A4)0.03，P(A5)P(A6)0.05.A1、A2、A3、A4、A5、A6 中至少有一个事件发生就为次品，故这种零件的次品率为P(A
29、1A2A3A4A5A6)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)P(A6)0.010.020.030.030.050.050.1919%点击 在本题中，事件 A1、A2、A3、A4、A5、A6 不是彼此互斥的，所以 P(A1A2A3A4A5A6)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)P(A6)并不成立此题如果用直接法求解种类较多，应该用间接法通过对立事件的概率去求解正解 设第 i 道工序出次品的事件为 Ai，i1,2,3,4,5,6，它们相互独立但不互斥，有一发生就出现次品的概率应用和积互补公式得：P(A1A2A3A4A5A6)1P(A1 A2 A6)1P(A1)P(A2)P(A6)1(10.01)(10.02)(10.03)2(10.05)20.1761.THANKS
