1、考 点 串 串 讲1空间直角坐标系(1)在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使xOy135，yOz90.(2)一般地，在所给几何图形中，如果出现了三条两两垂直的直线，那么就可以利用这三条直线分别作为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(3)在建立空间直角坐标系时，应注意点 O 的任意性，原点 O的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能使点的坐标为正值(4)有了空间直角坐标系，我们就可以建立空间中的任意一点 P与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系了(5)空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的 y 坐标、z 坐标等于 0，所以可记为(x,0,0)，同理，在 y
2、轴、z 轴上的点的坐标可分别记为(0，y,0)，(0,0，z)(6)空间直角坐标系中，在 xOy 平面上的点的 z 坐标等于 0，所以可记为(x，y,0)，同理，在 xOz 平面、yOz 平面上的点的坐标可分别记为(x,0，z)，(0，y，z)(7)一些常用对称点的坐标：P(x，y，z)关于坐标平面xOy对称P1(x，y，z)；P(x，y，z)关于坐标平面yOz对称P2(x，y，z)；P(x，y，z)关于坐标平面zOx对称 P3(x，y，z)；P(x，y，z)关于x轴对称P4(x，y，z)；P(x，y，z)关于y轴对称P5(x，y，z)；P(x，y，z)关于z轴对称P6(x，y，z)；P(x，
3、y，z)关于原点对称 P7(x，y，z)(8)平面上的两点之间的线段的中点坐标公式可以推广到空间，即若两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则其中点坐标为(x1x22，y1y22，z1z22)2空间向量及其加减与数乘运算(1)空间向量的概念空间向量同平面向量一样，我们把具有大小和方向的量叫做向量，仍用有向线段表示向量，同向且等长的有向线段表示同一个向量或相等向量，空间任意两个向量都可以转化为平面向量(2)空间向量的运算空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律与平面向量基本相同，向量的加法满足交换律、结合律和数乘的分配律向量的加法常用平行四边形法则，向量的减法常用三角形法则特别
4、地OAn OA1 A1A2 A2A3 An1An.(3)空间向量的加法、减法与数乘运算、运算律加法交换律：abba.加法结合律：(ab)ca(bc)数乘分配律：(ab)ab.3几个重要的定理(1)由于任意两个向量都是共面向量，所以原有的平面向量有关定理在空间依然成立(如共线向量定理等)(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与它们共面的充要条件是存在实数对(x，y)使得 pxayb.它的两个推论是：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得MP xMA yMB；或对于空间任一点 O，有OP OM xMA yMB.若 xyz1，则根据共面向
5、量定理得：P、A、B、C 四点共面故OP xOA yOB zOC，xyz1，可看成平面 ABC 的一个向量参数方程，其中 x，y，z 为参数(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么空间的任意一个向量 p 总能唯一地表示为 pxaybzc 的形式4两个向量的数量积(1)数量积的定义ab|a|b|cosa，b(其中a，b为 a 与 b 的夹角，a，b0，)(2)数量积的性质ae|a|cosa，e，其中 e 为单位向量；abab0；a2aa|a|2.性质可用来求角；性质可用来证明线线垂直；性质可用来求线段的长(3)数量积的运算律(a)b(ab)；abba(交换律)；a(bc)a
6、bac(分配律)5空间向量的直角坐标运算设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)(R)；aba1b1a2b2a3b3；aba1b1，a2b2，a3b3(R)；aba1b1a2b2a3b30；设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)则AB OB OA(x2，y2，z2)(x1，y1，z1)(x2x1，y2y1，z2z1)6夹角和距离公式(1)夹角公式设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b2
7、3(2)距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)则 dAB x1x22y1y22z1z22.典 例对 对 碰题型一 坐标轴及坐标平面内点的特征例 1 有下列叙述：在空间直角坐标系中，在 Ox 轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；在空间直角坐标系中，在 Oz 轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)其中正确叙述的个数是()A1 B2C3 D4解析 要清楚空间直角坐标系中三个坐标平面以及三条坐标轴上点的特征答案 C变式迁移 1点 A
8、(1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐标分别为()A(1,0,1)，(1,2,0)B(1,0,0)，(1,2,0)C(1,0,0)，(1,0,0)D(1,2,0)，(1,2,0)答案 B解析 点 A(1,2,1)在 x 轴上的投影点的 x 坐标是1，故为(1,0,0)；点 A(1,2,1)在 xOy 平面上的投影点的 x、y 坐标不变且 z坐标是 0，故为(1,2,0)故选 B.题型二 两点间距离公式的应用例 2 已知 A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，求|AB|取最小值时 A，B 两点的坐标，并求此时的|AB|.分析 解答本题可由空间两点间的距离公式建
9、立|AB|关于 x 的函数，由函数的性质求 x，再确定坐标解析 由空间两点间的距离公式得|AB|1x2x25x22x2x12 14x232x1914x87257.当 x87时，|AB|有最小值57 357，此时 A(87，277，97)，B(1，227，67)点评 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标.变式迁移 2在空间直角坐标系中，已知 A(3,0,1)和 B(1,0，3)，试问：(1)在 y 轴上是否存在点 M，满足|MA|MB|?(2)在 y 轴上是否存在点 M，使MAB 为等边三角形？若存在，试求出点 M 的坐
10、标解析(1)假设在 y 轴上存在点 M，满足|MA|MB|.因为 M 在 y轴上，所以可设 M(0，y,0)，由|MA|MB|，可得 32y21212y232，显然，此式对任意 yR 恒成立这就是说 y 轴上的所有点都满足|MA|MB|.(2)假设在 y 轴上存在点 M，使MAB 为等边三角形由(1)可知，y 轴上任一点都满足|MA|MB|，所以只要|MA|AB|就可以使得MAB 是等边三角形因为|MA|3020y2102 10y2，|AB|132002312 20，所 以10y2 20，解得 y 10.故 y 轴上存在点 M 使MAB 为等边三角形，点 M 的坐标为(0，10，0)或(0，1
11、0，0)题型三 空间向量的分解例 3 在如图所示的平行六面体中，求证：AC1 12(AC AB1 AD1)分析 把一个向量用其它向量表示出来的能力，必须具备，注意运算律证明 AC1 AC CC1 AC AA1 AC1 AD1 D1C1 AD1 AB 得 2AC1 AC AD1 AA1 AB AC AD1 AB1即AC1 12(AC AB1 AD1)点评 把向量逐步分解，向已知要求靠近，应充分利用向量运算法则.变式迁移 3如图所示，已知正方体 ABCDABCD，点 E、F 分别是上底面 AC和侧面 CD的中心，求下列各题中 x、y 的值(1)AC x(AB BC CC)；(2)AF AD xAB
12、 yAA.解析(1)AB BC CC AC CC ACx1.(2)AF AC CF AB AD 12(CC CD)AB AD 12AA 12ABAD 12AB 12AA又AF AD xAB yAAxy12.题型四 共线向量问题例 4 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1 a，AB b，AD c，点 M、N 分别是 A1D、B1D1 的中点(1)试用 a、b、c 表示MN；(2)求证：MN平面 ABB1A1.分析(1)本题考查向量的加减法，其关键是利用MN A1N A1M，A1M 12A1D，A1N 12A1C1 等关系，将MN 用 a，b，c 表示出来；(2)考查共面向量定理解
13、析(1)A1D AD AA1 ca，A1M 12A1D 12(ca)同理，A1N 12(bc)，MN A1N A1M12(bc)12(ca)12(ba)12a12b.(2)证明：AB1 AA1 AB ab，MN 12AB1，即 MNAB1，AB1平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1.变式迁移 4(1)已知 a3m2n4p0，b(x1)m8n2yp，且 m、n、p 三个向量不共面，若 ab，求实数 x、y 的值；(2)已知平行四边形 ABCD(如图所示)，从平面 AC 外一点 O 引向量OE kOA，OF kOB，OG kOC，OH kOD.求证：E、F、G、H 四
14、点共面平面 EG平面 AC.解析(1)由已知 ba，即(x1)m8n2yp(3m2n4p)，x13 82 2y4，x13，y8.(2)证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD.EG OG OEkOC kOAkAC k(AB AD)k(OB OA OD OA)OF OE OH OEEF EH.所以 E、F、G、H 四点共面题型五 夹角问题例 5 已知，E 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 C1D1 中点，试求向量A1C1 与DE 所成的角分析 利用数量积定义，求出A1C1 DE 及|A1C1|和|DE|，求出所成角的余弦值解析 设正方体的棱长为 a，AB a，AD
15、b，AA1 c.且|a|b|c|，abbcac0又A1C1 ab，DE c12a，A1C1 DE(ab)(c12a)12a212a又|A1C1|2a，|DE|52 acosA1C1，DE A1C1 DE|A1C1|DE|1010.点评 求向量 a 和 b 所成的角，首先应将 a 和 b 用一组基底表示出来，再利用公式 cosa，b ab|a|b|.变式迁移 5如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD6，AA18，E 是 BC 的中点求异面直线 AD1 与 B1E 所成的角的余弦值解析 向量AD1 与B1E 所成的角即为异面直线 AD1 与 B1E 所成的角或其补角设AB a，
16、AD b，AA1 c，则|a|b|6，|c|8，且 abbcac0.AD1 AD AA1 bc，B1E B1B BE 12bc，AD1 2(bc)2b2c2100，即|AD1|10，B1E 2(12bc)214b2c273.故|B1E|73，AD1 B1E(bc)(12bc)12b2c246.cosAD1，B1E 4610 7323 73365.题型六 空间向量的坐标运算例 6 设 O-ABC 是四面体，G1 是ABC 的重心，G 是 OG1 上一点，且 OG3GG1，若OG xOA yOB zOC，则(x，y，z)为()A(14，14，14)B(34，34，34)C(13，13，13)D(2
17、3，23，23)解析 OG 34OG1 34(OA AG1)34OA 342312(AB AC)34OA 14(OB OA)(OC OA)14OA 14OB 14OC，而OG xOAyOB zOC，x14，y14，z14，故选 A.答案 A点评 空间里任意一组不共面的向量都可以作为一个基底对于同一个基底，任何一个向量的表示方法都是唯一的，这是建立方程组的重要依据通过方程组的建立，可以把向量的运算代数化，从而达到利用代数方法解决几何问题的目的.变式迁移 6求同时适合下面三个条件的向量 a 的坐标(i2j4k)a0；|a|10；在坐标平面 yOz 上解析 由题意可以设向量 a 的坐标为(x1，x2
18、，x3)，则利用所给的三个坐标条件可以列出三个方程组，解此关于 x1、x2、x3 的方程组，即可求出向量 a.a 在平面 yOz 上，可设 a(0，x2，x3)由条件、可得1，2，40，x2，x30，x22x2310，即2x24x30，x22x23100，解此方程组得x24 5，x32 5，或x24 5，x32 5.a(0,4 5，2 5)，或 a(0，4 5，2 5).题型七 与垂直有关的坐标运算例 7 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 B1B、DC 的中点，求证：AE平面 A1D1F.证明 设正方体的棱长为 1，且设 DAi，DCj，DD1k，以 i、j、k
19、 为坐标向量建立空间直角坐标系 Dxyz.则 A(1,0,0)，E(1,1，12)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F(0，12，0)，AE(0,1，12)，A1D1(1,0,0)，D1F(0，12，1)AE A1D1(0,1，12)(1,0,0)0，AE D1F(0,1，12)(0，12，1)12120，AE A1D1，AE D1F.即 AEA1D1，AED1F.又 A1D1D1FD1，AE平面 A1D1F.变式迁移 7已知 a(3,1,5)，b(1,2，3)，若 ac9，bc4，且 c 垂直于 Oz 轴，试求 c.解析 由 cOz 轴，可设 c(x，y,0)ac9，bc4，3xy9
20、x2y4 x225，y215，c(225，215，0).题型八 空间向量求长度例 8 在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 和 CD 成 60角，求 B、D 间的距离解析 ACD90，AC CD 0.同理BA AC 0.AB 和 CD 成 60角，BA，CD 60或 120.BD BA AC CD，|BD|2|BA|2|AC|2|CD|22BA AC 2BA CD 2AC CD|BA|2|AC|2|CD|22BA CD3211cosBA，CD 4 BA，CD 60，2 BA，CD 120.|BD|2 或 2，即 B、D 间的距离为 2 或 2.
21、点评 利用向量解几何题的一般方法是：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明，本题中主要运用向量的如下运算性质：(1)|a|2aa，(这是实现向量运算与实数运算转化的工具)；(2)ab|a|b|cosa，b对本题需注意向量的方向对两向量所成角的影响，本题有两种情况不要漏掉其中任何一种.变式迁移 8两根垂直立于平面 上的长为 8m 的竹杆 AC 和 BD，垂足相距10m，现因外力作用，杆 BD 倾斜与平面 成 60角，但保持了BDAB，如图所示求此时两杆顶端 C，D 之间的距离解析 由 AC 可知 ACAB，过点 D 作 DD 于 D，则DBD60，CA
22、，BD 150，|CD|2CD CD(CA AB BD)2|CA|2|AB|2|BD|22CA AB 2CA BD 2AB BD8210282282cos15022864 3.|CD|22864 3.故所求两杆顶端 C，D 之间的距离为 22864 3.【教师备课资源】题型九在空间坐标系中求点的坐标的方法例 9 如图所示，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N 为棱 CC1 的中点，分别以 AB、AD、AA1 所在的直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系(1)求点 A、B、C、D、A1、B1、C1、D1 的坐标；(2)求点 N 的坐标分析 本题主
23、要考查空间直角坐标系的概念和坐标解析(1)很明显 A(0,0,0)，由于点 B 在 x 轴的正半轴上，且|OB|4，所以 B(4,0,0)同理，可得 D(0,3,0)，A1(0,0,5)由于点 C 在坐标平面 xOy 内，BCAB，CDAD，则点 C(4,3,0)同理，可得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)，与 C 的坐标相比，点 C1 的坐标中只有 z 坐标不同，CC1AA15，则点 C1(4,3,5)(2)由(1)知 C(4,3,0)，C1(4,3,5)，则 C1C 的中点为(442，332，052)，即 N(4,3，52)点评 在空间直角坐标系中确定点的坐标时，依据坐标的定义，过此点
24、向坐标轴和坐标平面作垂线获得经常用到空间直角坐标系中点的坐标公式、坐标轴及坐标平面上点的坐标特征，应熟练掌握.变式迁移 9已知四面体 PABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，PAPB2，PC1，E 为 AB 的中点，试建立空间直角坐标系并写出 P、A、B、C、E 的坐标解析 如图 1 所示的四面体 PABC，以 P 为坐标原点，PA、PB、PC 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 2 所示的空间直角坐标系则 P(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,1)，E(1,1,0)题型十 中点坐标公式例 10 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是
25、BB1、D1B1 的中点，棱长为 1.求 E、F 点的坐标解析 解法一 E 点在 xOy 面上的射影为 B，则 B(1,1,0)，z 坐标为12.E(1,1，12)F 点在 xOy 面上的射影为 BD 的中点 G，z 坐标为1，F(12，12，1)解法二 B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，E 为 B1B 中点，F 为B1D1 中点，故 E 的坐标为(112，112，102)(1,1，12)，F 的坐标为(102，102，112)(12，12，1)点评(1)平面上中点坐标公式可推广到空间，即设 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则 AB 中点 P(x1x22
26、，y1y22，z1z22)(2)熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征.变式迁移 10已知四边形 ABCD 为平行四边形，且 A(3,1,5)，B(1，2,4)，C(0,3,7)，则点 D 的坐标为()A(4,2,1)B(4,6,8)C(2,3,1)D(5,13，8)答案 B解析 设 D(x，y，z)，由四边形 ABCD 为平行四边形知，AC与 BD 互相平分，即 AC 与 BD 的中点重合，所以x12 32y22 2z42 6，解得x4y6z8.题型十一 两点间距离公式例 11 已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)(1)求ABC
27、中最短边的边长；(2)求 AC 边上中线的长度分析 本题是考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可解析(1)由空间两点间距离公式得：|AB|1225322423，|BC|232312452 6，|AC|132512252 29.ABC 中最短边是|BC|，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为(2,3，72)AC 边上中线的长度为222332472212.点评 熟练运用距离公式求线段的长度，解决一些与长度有关的问题.变式迁移 11已知点 A(3,1,4)，则点 A 关于原点的对称点 B 的坐标为_；AB 的长为_答案(3，1，4)2 26解析 易知点 B 的坐标为
28、(3，1，4)，|AB|36464 1042 26.题型十二 垂直问题例 12 已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 中点，N 为 AC 中点，P 为 OA 中点，Q 为 OB 中点，若 ABOC，求证：PMQN.分析 欲证 PMQN，只要证明PM QN 0.证明 OM 12(OB OC)ON 12(OA OC)PM PO OM12(AO OB OC)12(OB OA OC)12(AB OC)QN QO ON12(BO OA OC)12(OA OB OC)12(BA OC)12(OC AB)PM QN12(AB OC)12(OC AB)14(OC2 AB2)14(|OC|2|AB|2)|
29、AB|OC|.PM QN 0，即PM QN，即 PMQN.点评 欲证 ab 只要把 a、b 用相同的几个向量表示出来，然后利用向量的数量积.变式迁移 12正方体 ABCDABCD的棱长为 a，求证：ABAC.证明 A BAB AA，AC AB AA AD A BAC(AB AA)(AB AA AD)AB 2AB AAAB AD AA AB AA 2AA AD由已知：|AB|AA|，AB 2AA 2，又AB AA AB AD AAAD 0.A BAC 0，AB AC 即 ABAC.题型十三 与平行(共线)有关的坐标运算例 13 已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(3，1,2)、B(1,2，1
30、)、C(1,1，3)、D(3，5,3)试证明：它是一个梯形证明 AB(1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，CD(3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)CD(4，6,6)2(2,3，3)2AB，AB 与CD 共线又由CD 2AB 知|CD|2|AB|，|CD|AB|，AB 与 CD 平行，且|AB|CD|.又AD(3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，BC(1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)，AD 与BC 不平行，四边形 ABCD 为梯形点评 要证明四边形 ABCD 为梯形必须证明一对对边平行且一对对边不平行如本例若仅证明 ABCD，且|AB|CD|，并不能说明 ABCD 为梯
31、形，因为可能会出现 A、B、C、D 四点共线的情况.变式迁移 13已知 A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动求当QA QB 取最小值时，点 Q 的坐标解析 设OQ OP(，2)，则QA(1，2，32)，QB(2，1，22)QA QB(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106(43)223.当 43时，QA QB 取最小值23.此时，OQ(43，43，83)，即 Q(43，43，83).方 法 路 路 通1求空间直角坐标系中的点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标2点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内的两个坐
32、标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数3空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系4两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加5证向量共线、向量共面关键是找到实数 或实数对(x，y)6空间向量基本定理为解题寻找基底提供了理论依据，在解题时，应仔细体会7两非零向量的数量积为 0，是证两直线垂直的重要方法，或用一组基底表示出两直线对应的向量或建立空间坐标系进行坐标运算8求距离或某线段的长，可将线段用向量表示，然后用|a|2aa
33、来解决，或者利用模长公式9运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证，计算，最后转化为几何结论要注意长方体、直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体建立空间坐标系的规律10运用公式 cosa，b ab|a|b|求角时，应注意 a 和 b 的方向11空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，为解决立体几何问题提供有力的工具；夹角公式可求解立体几何中“线线”“线面”成角问题；空间两点间距离公式可计算空间线段的长度；ab，ab 为证明线线平行、线线垂直等问题带来了方便.正 误 题 题 辨例已知点 P 在 z 轴上，且满足|OP|1(O 为坐标原点)，则点 P到点 A(1,1,1)的距离为_错解 设点 P 的坐标为(0,0，z)，|OP|1，z1，P(0,0,1)所以|PA|102102112 2.点击 在 z 轴上满足|OP|1 的点有两个，即(0,0,1)和(0,0，1)，此处丢掉了 z1 的情况正解 设 P 点坐标为(0,0，z)，由|OP|1 得 z21，z1 或 z1，P(0,0,1)或 P(0,0，1)，因此|PA|102102112 2，或|PA|102102112 6.答案 2或 6THANKS
