1、1线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直2面面垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直3线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的_相互平行4面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面_两条相交直线一条垂线两条直线垂直考点一线线垂直、线面垂直的判定和性质示范1(2009 北京)如下图所示，已知在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点 D，E 分别在棱 PB，PC 上且 DEBC，(1)求证：BC平面 PAC；(2)当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面PAC 所成的角
2、的大小的正弦值解析(1)证明：PA底面 ABC，PABC.又BCA90，ACBC.BC平面 PAC.(2)D 为 PB 的中点，DEBC，DE12BC，又由(1)知，BC平面 PAC，DE平面 PAC，垂足为点 E.DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角，PA底面 ABC，PAAB，又 PAAB，ABP 为等腰直角三角形，AD 12AB，在 RtABC 中，ABC60，BC12AB.在 RtADE 中，sinDAEDEAD BC2AD 24，AD 与平面 PAC 所成的角的大小的正弦值为 24.展示1 如图所示，已知在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60
3、，PAABBC，E是 PC 的中点，(1)求证：CDAE；(2)求证：PD平面 ABE.【解析】(1)在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面 PAC.AE平面 PAC，CDAE.(2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.由(1)，知 AECD.PCCDC.AE平面 PCD.PD平面 PCD，AEPD.PA底面 ABCD，PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD，ABAD，ABPD.ABAEA，PD平面 ABE.【点评】线线垂直线面垂直方法点拨：立体几何中垂直关系的证明，必须牢牢抓住“转
4、化”这一武器考点二面面垂直的判定与性质示范2 如图所示，已知在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F分别是 A1B，A1C 的中点，点 D 在 B1C1 上，A1DB1C，求证：(1)EF平面 ABC；(2)平面 A1FD平面 BB1C1C.解析 证明：(1)因为 E，F 分别是 A1B，A1C 的中点，所以 EFBC，BC平面 ABC，所以 EF平面 ABC；(2)因为直三棱柱 ABCA1B1C1，所以 BB1平面 A1B1C1，BB1A1D，又 A1DB1C，所以 A1D平面 BB1C1C，又 A1D平面 A1FD，所以平面 A1FD平面 BB1C1C.【点评】欲证线面平行，先证线线平行
5、；欲证面面垂直，先证线面垂直.展示2 如图所示，已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E是 CC1 的中点，求证：平面 BDE平面 A1BD.【解析】连接 AC 交 BD 于 O，连接 A1O，OE.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1平面 ABCD，BD平面 ABCD，AA1BD.BDAC，ACAA1A，BD平面 AA1O.A1O平面 A1AO，BDA1O.连接 A1C1，A1E，设正方体棱长为 a，则在 RtA1AO，RtECO，RtA1C1E 中，A1O 62 a，EO 32 a，A1E32a.在A1OE 中，A1O2OE262 a 232 a 294a2，A1E232a
6、 294a2，A1O2OE2A1E2.A1OE90，A1OOE.A1OBD，BDOE0，A1O平面 BDE.A1O平面 A1BD，平面 A1BD平面 BDE.方法点拨：要证面面垂直，关键是找到面的垂线证明线面垂直的关键是证明线垂直于面内两条相交直线，证明面面垂直的关键是在现有直线中寻找平面的垂线线线垂直可通过线面垂直来证明1(2011 山东)如下图所示，已知在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，D1D平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60，(1)求证：AA1BD；(2)求证：CC1平面 A1BD.【解析】(1)法一 因为 D1D平面 ABCD 且 B
7、D平面 ABCD，所以 D1DBD.又 AB2AD，BAD60，在ABD 中，由余弦定理，得BD2AD2AB22ADABcos 603AD2.所以 AD2BD2AB2.因此 ADBD.又 ADD1DD，所以 BD平面 ADD1A1.又 AA1平面 ADD1A1，故 AA1BD.法二 因为 D1D平面 ABCD 且 BD平面 ABCD，所以 BDD1D.取 AB 的中点 G，连接 DG，在ABD 中，由 AB2AD，得 AGAD.又BAD60，所以ADG 为等边三角形因此 GDGB.则DBGGDB.又AGD60，所以GDB30.则 ADB ADG GDB 60 30 90.所 以BDAD.又 A
8、DD1DD，所以 BD平面 ADD1A1.又 AA1平面 ADD1A1，则 AA1BD.(2)取 AB 的中点 G，连接 AG，A1C1，设 ACBDE，连接 EA1，因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 EC12AC.由棱台定义及 AB2AD2A1B1，知A1C1EC 且 A1C1EC.所以四边形 A1ECC1 为平行四边形因此 CC1EA1.又 EA1平面 A1BD，CC1平面 A1BD，所以 CC1平面 A1BD.【点评】本题主要考查空间线面位置关系，尤其是平行、垂直的判定定理和性质定理等基础知识同时考查空间想象能力和逻辑推理能力较好的空间想象力和逻辑推理能力是解好本题的关键属中等难
9、度题2(2011 江苏)如下图所示，已知在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E，F 分别是 AP，AD 的中点，求证：(1)EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD.【解析】(1)因为在PAD 中，E，F 分别为 AP，AD 的中点，所以EFPD.又 EF平面 PCD，PD平面 PCD，所以 EF平面 PCD.(2)连接 BD，因为 ABAD，BAD60，所以ABD 为正三角形因为 F 是 AD 的中点，所以 BFAD.因为平面 PAD平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 BF平面 PAD.又 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面PAD.【点评】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定、性质，对考生的文字或符号表达能力、空间想象能力、推理论证能力均有较高要求，难度中等偏难
