1、考 点 串 串 讲1平行截割定理常用结论(1)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边(2)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰(3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(4)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用2相似三角形(1)相似三角形的判定与性质相似三角形的判定定理：()对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简述为：两角对应相等，两三角形相似)；()对于任意两个三角形，如果一个
2、三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)；()对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简述为：三边对应成比例，两三角形相似)相似三角形的性质定理：()相似三角形的对应角相等；()相似三角形的对应边成比例；()相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；()相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比；()相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方(2)对于相似三角形需注意以下几点 相 似 三 角
3、形 的 传 递 性：如 果 ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C2.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形相似的判定定理：()直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似()如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似3圆的有关性质结论(1)圆内接四边形的性质定理与判定定理(2)圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(3)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)如果四边形的一个外角等于它的内
4、角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(5)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(6)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(7)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项(8)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角(9)圆弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(10)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径(11)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必
5、经过圆心(12)圆的切线直线与圆的位置关系当直线与圆有 2 个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆只有 1 个公共点时，直线与圆相切，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时经过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心(13)弦切角定理弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等4几何证明中的思想方法(1)分类思想方法所谓分类思想方法就是依据一定的标准，按照既不重复也不遗漏的原则，将所要研究的对象划分为若干类别，然后通过对每一类别的研究达到对事物整体研究的目的例如，按角的关系分类，可以将三角形分
6、为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，每种类型的三角形有自身的一些特性，如果不作分类讨论，那么就很难找出这些特性另一方面，对一些问题的讨论，必须通过分类才能举全各个方面，使得到的结论具有一般性要结合圆周角定理、四点共圆判定定理和弦切角定理的证明，认真对分类思想方法加以体会(2)运动变化思想运动变化思想具体体现为图形的运动变化几何中的许多问题源于相同的模型，尽管图形中某些要素的位置关系有差异，但其本质是相同的要结合相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理之间的关系领悟运动变化思想在数学探究中的作用(3)猜想与证明数学中的许多定理都是先对一定的典型事例进行观察、实验、类比和归纳后，发现一定的规
7、律性，并提出一个猜想，然后再对猜想进行严格的证明得来的猜想和证明既是数学研究的常用方法，同时又是训练思维的重要工具.典 例 对 对 碰题型一 平行截割定理例 1 如图所示，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点，AE 交 BC 于 F，则BFFC的值为_解析 过点 D 作 DMAF 交 BC 于点 M.点 E 是 BD 的中点，在BDM 中，BFFM，点 D 是AC 的中点，在CAF 中，CMMF，BFFCBFFMMC12.答案 12变式迁移 1如图所示，等边DEF 内接于ABC，且 DEBC，已知AHBC 于点 H，BC4，AH 3，则DEF 的边长为_答案 43解析 如题
8、图所示，设 DEx，AH 交 DE 于 M，则DEBCAMAHAHMHAH，x43 32 x32x2，解得 x43.题型二 射影定理例 2 如图所示，已知 BD、CE 是ABC 的两条高，过点 D 的直线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H，交 CE 于 F，且HBCF.求证：GD2GFGH.证明 CEAB，HHFE90.又BCFH，HFECFG，BCFCFG90.FGGC，BGHFGC.BGGFGHGC，即 BGGCGFGH.又DG2BGGC(射影定理)，DG2GFGH.变式迁移 2在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，CD2，BD3，则 AC 的长为_答案 2 133解析
9、如图所示，由射影定理得 CD2ADBD，CD2，BD3，AD43，得 ABADBD133.又 AC2ADAB43133，AC2 133.题型三 相似三角形的判定定理的应用例 3 如图所示，AE、AF 分别为ABC 的内、外角平分线，O为 EF 的中点求证：OB：OCAB2：AC2.分析 OB：OC 等于ABO 与ACO 的面积之比(高相等)，自然想到证明ABOACO.证明 AE，AF 为ABC 的内、外角平分线，AEAF，又O 为 EF 的中点，OEAOAE.OAECAEOAC，OEABBAE，而BAECAE，OACB.AOB 为公共角，OACOBA.SOBA：SOACAB2：AC2.又OAB
10、 与OCA 有一个公共边 OA.SOBA：SOACOB：OC，OB：OCAB2：AC2.点评 利用三角形相似的判定定理来证明三角形相似，然后由面积比等于相似比的平方这一性质来解题所以并非见到内外角平分线，就用角平分线定理.变式迁移 3如图所示，已知 AD、BE 分别是ABC 中 BC 边和 AC 边上的高，H 是 AD，BE 的交点，求证：(1)ADBCBEAC；(2)AHHDBHHE.证明(1)在 RtADC 和 RtBEC 中，C 为公共角RtADCRtBEC，ADBEACBC，ADBCBEAC.(2)在 RtBHD 和 RtAHE 中，BHDAHE，RtBHDRtAHE，BHAHHDHE
11、.AHHDBHHE.题型四 相似三角形的性质定理的应用例 4 在 RtABC 中，C90，求证：AC2BC2AB2.分析 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，从而得出线段的比例关系，进而得到勾股定理证明 如图所示，设 CD 是斜边 AB 上的高，由ABCD，BACD，可得ABCACDCBD.于是SACDSABCAC2AB2，SCBDSABCBC2AB2，和两边相加，得AC2BC2AB2SACDSCBDSABC1，所以 AC2BC2AB2.变式迁移 4已知在ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 ADAC，DEBC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F.(1)求证：AB
12、CFCD；(2)若 SFCD5，BC10，求 DE 的长解析(1)证明：DEBC，D 是 BC 的中点，EBEC，B1.又ADAC，2ACB.ABCFCD.(2)过点 A 作 AMBC，垂足为点 M.ABCFCD，BC2CD，SABCSFCDBCCD2，又SFCD5，SABC20.SABC12BCAM，BC10，201210AM，AM4.又DEAM，DEAMBDBM，DM12DC52，BMBDDM，BD12BC5，DE4 5552，DE83.题型五 圆的切线例 5 如图所示，AB 是O 的直径，C，F 为O 上的点，CA是BAF 的角平分线，过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于 D 点
13、，作 CMAB，垂足为点 M.(1)求证：DC 是O 的切线；(2)求证：AMMBDFDA.分析 证明圆的切线可以借助切线的判定定理证明(1)如图所示，连结 OC，所以OACOCA.又因为 CA 是BAF 的角平分线，所以OACFAC.所以FACOCA.所以 OCAD.因为 CDAD，所以 CDOC，即 CD 是O 的切线(2)连结 BC，则在 RtACB 中，CM2AMMB.因为 CD 是O 的切线，所以 CD2DFDA.又 RtAMCRtADC，所以 CMCD，所以 AMMBDFDA.点评 判断圆的切线除了用切线的判定定理外，还可以利用圆心到直线的距离等于半径.变式迁移 5如图所示，已知
14、AB 是O 的直径，ED 切O 于 D，过圆心 O作 AD 的平行线交 ED 于 C.求证：CB 是O 的切线证明 如图所示，连结 BD，交 OC 于 F，连结 OD.由于 AB 是O 的直径，所以 ADBD.又因为 ADOC，所以 BDOC.又因为 OAOB，所以 DFFB.所以DFCBFC，所以DCOBCO.又因为 ODOB，OCOC.所以CDOCBO，所以OBCODC90，即 OBCB，所以 CB 是O 的切线题型六 圆的切割定理例 6 如图所示，O 和O相交于 A、B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C、D.求证：AB 是 BC 和 BD 的比例中项分析 要证 AB2BCBD.
15、即ABBCBDAB，即证ACBDAB.证明 因为 AC、AD 分别是两圆的切线，所以C2，1D，所以ACBDAB.所以BCABABBD，所以 AB2BCBD，所以 AB 是 BC 和 BD 的比例中项点评 在证明线段比例关系时，要找出线段所在的三角形，通过三角形相似解题如果线段不在两个三角形中时，考虑圆的相交弦定理或切割线定理，通过转化思想得到问题答案.变式迁移 6如图所示，线段 AB 经过圆心 O，交O 于点 A、C，B30，直线 BD 与O 切于点 D，求ADB 的大小解析 连结 CD，由弦切角可知BDCDAC，AC 为直径，ADC90.由三角形内角和可知DACABDADB180，即 2D
16、AC9030180，DAC30，ADB180302120.题型七 相交弦定理例 7 如图所示，已知O1 和O2 相交于点 A、B，过点 A 作O1的切线交O2 于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交O1、O2于点 D、E，DE 与 AC 相交于点 P.(1)求证：ADEC；(2)若 AD 是O2 的切线，且 PA6，PC2，BD9，求 AD的长分析 本题综合运用了弦切角定理、相交弦定理、切割线定理和平行线分线段成比例定理，综合性较强在这里应强调的是利用代数方法解决几何问题，特别是利用方程进行计算、求值等，要提高运用数形结合思想解题的能力解析(1)证明：连结 AB.AC 为O1 的切线，BAC
17、D.又BACE，DE，ADEC.(2)设 BPx，PEy，PA6，PC2，xy12.ADEC，DPPEAPPC，即9xy62，9x3y.解由组成的方程组得x3y4 或x12y1(舍去)DE9xy16.AD 是O2 的切线，AD2DBDE916，AD12.变式迁移 7如图所示，AB 是O 的直径，若弦 AC 和 DB 都延长交于圆外一点 E.求证：AB2AEACBEBD.证明 过 E 作 EFAB 交 AB 的延长线于 F，连结 BC，则 B、C、E、F 四点共圆，ABAFACAE，连结 AD，则 A、D、F、E 四点共圆，ABBFBEBD，两式相减得 ABAFABBFACAEBEBD即 AB2
18、ACAEBEBD方 法 路 路 通1三角形的内角平分线对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比在用该定理时要分清角平分线所分的对边两段与夹角两边的对应顺序，不要颠倒2圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程3圆的切线的性质定理及推论有如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个：垂直于切线；过切点；过圆心于是在利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线4判定切线通常有三种方法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和半径
19、垂直的直线是圆的切线5圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及其与所对、所夹的弧的关系6与圆有关的比例线段证明要诀：圆切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比值作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效7与圆有关的比例线段问题的一般思考方法(1)直接应用相交弦，切割线定理及其推论；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式比例式中间比相似三角形8与圆有关的常用辅助线(1)有弦，可作弦心距；(2)有直径，可作直径所对的圆周角；(3
20、)有切点，可作过切点的半径；(4)两圆相交，可作公共弦；(5)两圆相切，可作公切线；(6)两半圆，可作整圆正 误 题 题 辨例已知O1 和O2 的半径分别为 2 和 3，两圆相交于 A、B，且 AB2，则 O1O2_.错解 设 O1O2 交 AB 于 C，则 O1O2AB，且 ACBCAC1在 RtAO2C 中，O2C O2A2AC2 32122 2在 RtAO1C 中，O1C O1A2AC2 2212 3O1O22 2 3.点击 此题考查“两圆相交时，连心线垂直于公共弦”的应用注意：在圆中不要漏解，因为圆是轴对称图形，符合本题条件的两圆有两种情形正解 当两圆心在 AB 的两侧时，设 O1O2 交 AB 于 C，则 O1O2AB，且 ACBCAC1在 RtAO2C 中，O2C O2A2AC2 32122 2在 RtAO1C 中，O1C O1A2AC2 2212 3O1O22 2 3当两圆心在 AB 的同侧时，同理可求得O2C2 2O1C 3O1O22 2 3O1O22 2 3.答案 2 2 3THANKS
