1、函数零点个数与参数的取值范围的问题，解决问题的主要方法有数形结合法、判定方法、分类讨论等，以二次函数问题为核心，结合其他问题考点一 由函数零点个数求参数的取值范围示范1 已知函数 f(x)x22mx2m1，(1)若函数 f(x)的两个零点 x1，x2 满足 x1(1,0)，x2(1,2)，求实数 m 的取值范围；(2)若关于 x 的方程 f(x)0 的两根均在区间(0,1)内，求实数m 的取值范围分析 本题是二次函数问题，可考虑二次函数图象解析(1)根据 f(x)的图象得f02m10，f120，f14m20，f26m50，化简得56m12.(2)f00，f10，0，m1，m12，m12，m1
2、2或m1 2，1m0，12m1 2.【点评】二次函数的零点分布问题，一般要结合二次函数的图象来求解，要考虑图象的对称轴，图象的开口方向，图象与 x 轴的交点与区间的关系，从而列出相应的不等式组展示1(2009 广东)已知二次函数 yg(x)的导函数的图象与直线 y2x 平行且函数 yg(x)在 x1 处取得最小值 m1(m0)，设函数 f(x)gxx，(1)若曲线 yf(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为2，求实数 m 的值；(2)k(kR)如何取值时，函数 yf(x)kx 存在零点，并求出零点【解析】(1)设 g(x)ax2bxc，则 g(x)2axb.又函数 g(x)的图象
3、与直线 y2x 平行，2a2，a1.又函数 g(x)在 x1 取极小值，b21，b2.g(1)abc12cm1，cm.f(x)gxx xmx2，设 P(x0，y0)，|PQ|2x20(y02)2x20 x0mx022x20m2x202m2 2m22m.2 2m22m2，m 21.(2)由 yf(x)kx(1k)xmx20，得(1k)x22xm0.(*)当 k1 时，方程(*)有一解 xm2，函数 yf(x)kx 有一零点 xm2；当 k1 时，方程(*)有两解44m(1k)0，若 m0，k11m，函数 yf(x)kx 有两个零点，x2 44m1k21k1 1m1kk1；若 m0，k0，xlnx
4、，x0)，(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 g(x)的单调区间；(3)研究函数 g(x)在区间(0,1)上的零点个数【分析】本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识，考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识【解析】(1)f(0)0，c0.对于任意 xR 都有 f12x f12x，函数 f(x)的图象的对称轴为 x12，即 b2a12，即 ab.又 f(x)x，即 ax2(b1)x0 对于任意 xR 都成立，a0 且(b1)20.(b1)20，b1，a1.f(x)x2x.(2)g(x)f(x)|x1|x21x
5、1，x1，x21x1，x1，当 x1时，函数 g(x)x2(1)x1 的图象的对称轴为 x12，若12 1，即 01，即 2，函数 g(x)在区间12，上单调递增，在区间1，12上单调递减；当 x1时，函数 g(x)x2(1)x1 的图象的对称轴为 x12 1，则 函 数 g(x)在 区 间12，1 上 单 调 递 增，在 区 间，12上单调递减综 上，当 02 时，函数 g(x)的单调递增区间为12，1 和12，单调递减区间为，12和1，12.(3)当 02 时，由(2)，知函数 g(x)在区间(0,1)上单调递增又 g(0)10，故函数 g(x)在区间(0,1)上只有一个零点当 2 时，1
6、121，而 g(0)10，g(1)2|1|，若 23，由于13，由于12 1，g(1)2|1|0，此时函数 g(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点综上，当 03 时，函数 g(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点方法点拨：函数零点综合问题，主要是关于方程根的分布问题、不等式问题.注意数形结合、等价转化、分类讨论、函数与方程等思想的应用.本课主要围绕函数零点的个数问题，求参数的取值范围问题是常常考查的主要问题，解决问题的主要方法有数形结合法、分类讨论、函数与方程思想等1(2011 湖北)设函数 f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中 xR，a，b 为常数，已知曲线 yf(x)
7、与 yg(x)在点(2,0)处有相同的切线 l，(1)求实数 a，b 的值，并写出切线 l 的方程；(2)若关于x的方程f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根0，x1，x2，其中 x1x2 且对任意的 xx1，x2，关于 x 的不等式 f(x)g(x)0，即 m14.又对任意的 xx1，x2，关于 x 的不等式 f(x)g(x)m(x1)恒成立特别地，取 xx1 时，f(x1)g(x1)mx1m 成立，得 m0.x1x22m0.故 0 x10.则 f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0.又 f(x1)g(x1)mx10，所以函数 f(x)g(x)mx 在 xx1，x2上的最大值为 0.于是当 m0 时，对任意的 xx1，x2，关于 x 的不等式 f(x)g(x)0，0 k2m0.因为f(0)2，所以 f(1)mk20.故抛物线开口向上于是m0,0k0，得 k3.则 mk232.所以 m 至少为 2.但 k28m0，故 k5.则 mk252.所以 m 至少为 3.又由 mk252，所以 m 至少为 4以此类推，发现当 m6，k7 时，m，k 首次满足所有条件，故 mk 的最小值为 13.
