1、第十六章 二次根式16.1 二次根式第1课时 二次根式的概念学习目标：1.理解二次根式的概念；2. 掌握二次根式有意义的条件；3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.自主学习一、知识链接1.什么叫做平方根？2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习1. 用带根号的式子填空:(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 m；若面积为S m2，则边长为_ m图图(2) 如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位
2、：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_2.自主归纳：（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “_”称为二次根号.（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为_数,二次根式的值为_数.三、自学自测1.下列各式中是二次根式的是（）A. B. C. D.2.二次根式有意义的条件是_. 四、我的疑惑_ 课堂探究一、 要点探究探究点1：二次根式的意义及有意义的条件问题1 分别表示什么意义？问题2 这些式子有什么共同特征？要点归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “”称为_.典例精析例1 下列各式中，哪些是二
3、次根式？哪些不是？方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：外貌特征：含有“”；内在特征：被开方数a0.例2 当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义?变式题1 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.针对训练1. 下列各式:一定是二次根式的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2. (1)若
4、式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_; (2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？ 问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a_0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知_0. 典例精析例3 若，求a-b+c的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例4 已知y=
5、,求3x+2y的算术平方根.【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长方法总结:若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.针对训练已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根二、课堂小结当堂检测1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）2. 式子有意义的条件是 （ ）A. x2 B.x2 C.x2 D.x23.当x=_时，二次根式取最小值，其最小值为_4. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？5. (1)若二次根式有意义，求m的取值范围(2) 无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围6.若x，y是实数，且y ,求的值.拓展提升7.先
6、阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)0，由乘法法则得解得x1 或x0.即当x1 或x0时，有意义.体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？参考答案自主学习一、知识链接问题1: 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2:如果 x2 = a (x0)，那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 表示.非负数. 二、新知预习(1) (2) (3)2.自主归纳：(1) (2)非负数，非负数三、自学自测1.B 2. x5合作探究一、要点探究探究点1：二次根式的概念及有意义的条件问题1: 分别表示 2，S，3， 的算术平方根问题2: 根指数都为 2;
7、 被开方数为非负数.归纳总结：二次根式例1：解：(1)(4)(6) 均是二次根式，其中 a2+1 属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (2)(3)(5)(7) 均不是二次根式.例2：解：由 x - 20，得x2.【变式题1】（1）解：由题意得 x-10， x1.（2）解： 被开方数需大于或等于零， 3 + x0， x-3. 分母不能等于零， x - 1 0， x 1. x-3 且 x 1.【变式题2】解：(1) 无论 x 为何实数，- x2 - 2x - 3 = -(x-1)20， 当 x = 1 时，在实数范围内有意义.(2) 无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x +
8、 1)2 - 20， 无论 x 为何实数， 在实数范围内都无意义.练一练：1.B 2. (1) x1 (2) x0 且 x2探究点1：二次根式的概念及有意义的条件问题1 : 前者 x 为全体实数；后者 x 为非负数. 问题2：当 a0 时，表示 a 的算术平方根，因此 0； 当 a = 0 时，表示 0 的算术平方根，因此= 0. 这就是说，当 a0 时，0.归纳总结：(1) ; (2).例3：解：由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0， 解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.例4：解：由题意得 x
9、 = 3. y = 8. 3x + 2y = 25. 25 的算术平方根为 5， 3x + 2y 的算术平方根为 5【变式题】解：由题意得 a = 3. b = 4.当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11练一练：解：由题意得 3x - y - 1 = 0 且 2x + y - 4 = 0解得 x = 1，y = 2 x + 4y = 1 + 24 = 9. x + 4y 的平方根为 3.当堂检测1. C 2. A 3. -1; 04. (1) a - 10, a1. (2) 2a + 30, a(3) - a0, a0. (4) 5 - a0, a5. 5. (1) 解：由题意得 m - 20 且 m2 - 4 0，解得 m2 且 m -2，m 2， m2(2)解：由题意得 x2 + 6x + m0，即 (x + 3 )2 + m- 90. (x + 3)20， m-90，即 m9.6. 解：根据题意得 x = 1. y ， y 7. 解：由题意得 则 解得 x2 或 x，即当 x2 或 x时，有意义
