1、1前 n 项和公式(1)若 q1，则 Sn_；(2)若 q1，则 Sn_.2性质(1)若 pqSt，则_aSat；(2)设 Sn 是等比数列的前 n 项和，则 Sn，_，S3nS2n也成等比数列(Sn0)na1a11qn1qa1anq1qapaqS2nSn考点一等比数列的前 n 项和公式示范1(2011 四川)已知数列an是以 a 为首项、q 为公比的等比数列，Sn 为它的前 n 项和，(1)当 S1，S3，S4 成等差数列时，求 q 的值；(2)当 Sm，Sn，Sl 成等差数列时，求证：对任意自然数 k，amk，ank，alk 也成等差数列解析(1)由已知，anaqn1，因此 S1a(1qq
2、2)，S4a(1qq2q3)当 S1、S3、S4 成等差数列时，S1S42S3，可得 aq3aqaq2.化简得 q2q10，解得 q1 52.(2)证明：若 q1，则an的每项 ana，此时 amk、ank、alk 显然成等差数列若 q1，由 Sm、Sn、Sl 成等差数列可得 SmSl2Sn，即aqm1q1aql1q1 2aqn1q1.整理得 qmql2qn.因此，amkalkaqk1(qmql)2aqnk12ank.所以，amk、ank、alk 也成等差数列展示1 已知数列an的前 n 项和为 Sn2n1，则 a21a22a2n为()A(2n1)2 B.13(2n1)2C4n1 D.13(4
3、n1)【答案】D【分析】由 Sn 求出 an.【解析】由 Sn2n1，可得 an2n1.所以 a2n4n1.故 a21a22a2n14n14 13(4n1)点评 若数列an是等比数列，则数列a2n，an，1an 都是等比数列方法点拨：等比数列的前 n 项和公式及其推导过程，运用到了错位相减法、方程思想、分类讨论思想等方法且有一定的运算量.考点二等比数列的综合问题示范2 已知数列an，bn满足：a11，a2P(P 为常数)，bnanan1，其中 n1,2,3，(1)若数列an是等比数列，求数列bn的前 n 项和 Sn；(2)若数列bn是等比数列，甲同学说数列an也一定是等比数列；乙同学说数列an
4、一定不是等比数列你认为这两种说法对吗？为什么？解析(1)an等比，a11，a2P，anPn1，又 bnanan1，bn1bn an1an2anan1 an2an P2，而 b1a1a2P，bn是首项为 P，公比为 P2 的等比数列(2)甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：设bn公比为 q，则bn1bn an1an2anan1 an2an q，且 q0.又 a11，a2P，a1，a3，a5，a2n1，是以 1 为首项，q 为公比的等比数列a2，a4，a6，a2n，是首项为 P，公比为 q 的等比数列即有an为：1，P，q，Pq，q2，.当 qP2 时，an为等比数列；当 qP2 时，an不是
5、等比数列说明：也可以举反例展示2 已知等比数列an的公比 q1，其第 17 项的平方等于第 24 项，求使不等式 a1a2an 1a1 1a2 1an成立的自然数 n 的取值范围【解析】设首项为 a1，则(a1q16)2a1q23.a1q91.又数列1an 是以 1a1为首项、1q为公比的等比数列，要使原不等式成立，则需a1qn1q11a111qn11q.q1，把 a21q18 代入整理，得q18(qn1)q1 1qn.qnq19.q1，n19.故能使不等式成立的自然数 n 的取值范围是n|n20，nN*点评 理解数列an与1an 的关系是解本题的关键展示3 已知函数 f(x)3x2x2，(1
6、)若数列an，bn满足a112，an1f(an)，bn1an1(n1)，求证：数列bn13 为等比数列；(2)求 bn；(3)记 Snb1b2bn，若关于 n 的不等式 1Snm 恒成立，求实数 m 的最小值【解析】(1)an1f(an)，an13an2an2.bn1an1，an 1bn1，an1 1bn11.1bn11341bn12.化简，得 4bn1bn1.4bn113 bn13.即bn113bn1314.数列bn13 是首项 b11313、公比为14的等比数列(2)bn131314n1，bn1314n113.(3)Sn131 14n114n3491 14n n3，1Sn1491 14n
7、n3 1S132.1Sn的最大值为32.1Snm，实数 m 的最小值为32.另解：bn131314n10，SnS1.1Sn 1S132.以下同上述解法点评 顺着题目已搭建的路前进方法点拨：等比数列的通项、前 n 项和的最值问题的常见解法是先判断单调性，进而求解，公比及项数的取值范围问题必须结合函数、不等式的知识进而求解.1正确理解等比数列的定义，本着化多为少的原则，解题时需抓住首项 a1 和公比 q.2证明数列an是等比数列有两个主要方法：(1)利用定义：an1an 为一常数；(2)利用等比中项：a2nan1an1(n2)3解决等比数列有关问题的常见思想方法：(1)方程的思想；(2)分类的思想
8、；(3)转化思想1(2010 全国 改编)已知 Sn 是数列an的前 n 项和且 Sn14an2(n1,2，)，a11，(1)设 bnan12an，求证：数列bn是等比数列；(2)设 cnan2n，求证：数列cn是等差数列【证明】(1)Sn14an2，Sn24an12.两式相减，得 Sn2Sn14an14an，即 an24an14an.an22an12(an12an)，即 bn12bn.b1a22a13，数列bn是首项为 3、公比为 2 的等比数列(2)cnan2n，cn1cnan12n1an2n bn2n1.由(1)，得 1cn34.又 c112，数列cn是首项为12、公差为34的等差数列2
9、(2011 江西)已知两个等比数列an，bn满足 a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33，(1)若 a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求实数 a 的值【解析】(1)当 a1 时，b11a2，b22a2，b33a3，又数列an，bn为等比数列，不妨设数列an的公比为 q1，由等比数列的性质，知 b22b1b3(2a2)22(3a3)同时又有a2a1q1，a3a1q21(2a1q1)22(3a1q21)(2q1)22(3q21)q12 2.所以 an(2 2)n1(n1)(2)数列an要唯一，当公比 q10 时，b11a2，b22a2，b33a3 且 b22b1b3(2
10、aq1)2(1a)(3aq21)aq214aq13a10，a0，关于 q1 的方程 aq214aq13a10 最少有一个根(有两个根时，保证仅有一个正根)，即(4a)24a(3a1)04a(a1)0，此时满足条件的 a 有无数多个，不符合当公比 q10 时，等比数列an的首项为 a，其余各项均为常数 0，唯一，此时由(2aq1)2(1a)(3aq21)aq214aq13a10，可推得 3a10，a13符合综上，a13.3(2010安徽理)设数列an是任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()AXZ2YBY(YX)Z(ZX)CY2XZDY(YX)X(ZX)【答案】D【解析】取等比数列1,2,4，令n1，得X1，Y3，Z7.代入验算，只有选项D满足
