1、求数列的前 n 项和 Sn，通常要掌握以下解法：(1)公式法：直接由_求和，注意等比时 q1 的论证；(2)倒序相加法：把数列正着写和倒着写再_(即等差数列求和公式的推导过程的推广)，配对；等差数列、等比数列的求和公式相加(3)分组求和法：通过_，化归为等差、等比数列求和(4)裂项相消法：把数列的通项拆成_剩下首尾若干项分组两项之差求和，正负相消示范1已知数列an与bn满足bn1anbnan1(2)n1，bn31n12(nN*)且a12，(1)设cna2n1a2n1，求cn；(2)求通项an；(3)求数列an的前2n项和S2n.【解析】(1)bn2，n奇，1，n偶.a2n12a2n22n11，
2、2a2na2n122n1得：a2n1a2n122n22n1322n1，cn322n1(2)a12且a2n1a2n122n122na2k1221222322k122k22k1将a2k122k1代入得a2k122k2，an2n，n奇，12n2，n偶.(3)S2n(a1a3a5a2n1)(a2a4a2nn.展示1已知在等比数列an中，S27，S691，则S4()A28 B32 C35 D49【答案】A【解析】法一 由S27，S691，易知q1.由a11q7，a11q61q91，得q23.故S4a11q41qa1(1q)(1q2)7428.法二 数列an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列
3、，即7，S47,91S4也成等比数列(S47)27(91S4)解得S428或21.S4a1a2a3a4a1a2q2(a1a2)(a1a2)(1q2)S2(1q2)S2.S428.考点二分组求和示范2(1)求数列an的前 10 项和；(2)求数列an的前 2k 项和解析(1)只求前 10 项和，列举易得：6,2,16,4,26,8,36,16,46,32，S10(616263646)(2481632)192.(2)S2k(a1a3a5a2k1)(a2a4a6a2k)，由于 a2k1a2k310，a1，a3，a2k1 等差又 a2ka2k2 2k2k12，a2，a4，a2k 等比所以 S2k5k2
4、k2k12.展示2 已知 a11，anan13n1(nN*)，(1)写出数列an的前 6 项；(2)求 S100 的值【解析】(1)1,3,4,6,7,9.(2)由(1)，可猜想奇数项 1,4,7，为等差数列，偶数项3,6,9，也为等差数列于是 anan13n1，an1an23n4，两式相减得 an2an3，a11，a23，于是可证数列an的奇数项 1,4,7，是首项为 1、公差为 3 的等差数列，偶数项3,6，是首项为 3、公差为 3 的等差数列从而 S1005045049267 550.方法点拨：对于既非等差又非等比数列的一类数列，若将这样的数列进行适当地拆分，可分成等差、等比或常数列，然
5、后求和，这种求和方法称为分组求和法，一般适用于解决形如anbn类型的数列.考点三裂项相消法求和示范3 求下列数列an的前 n 项和 Sn：(1)an1nn1；(2)an1nn2；(3)an 12n 12n1.解析(1)an1n 1n1，Sn112 1213 1n 1n1 nn1.(2)an121n 1n2，Sn12113121413151n 1n2121121n 1314 1n212112 1n1 1n23412n212n4.(3)an 12n 12n1，Sn12 122 122 123 12n 12n112 12n1.展示3(2011 全国)已知等比数列an的各项均为正数且 2a13a21，
6、a239a2a6，(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog3a1log3a2log3an，求数列1bn 的前 n 项和 Sn.【解析】(1)设数列an的公比为 q，由 a239a2a6，得 a339a24.所以 q219.由条件，可知 q0.故 q13.由 2a13a21，得 2a13a1q1.所以 a113.故数列an的通项公式为 an 13n.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n)nn12，故 1bn2nn121n 1n1，Sn 1b1 1b2 1bn2112 1213 1n 1n1 2nn1.所以数列1bn 的前 n 项和为 Sn 2nn1.展示4 设函数f(x
7、)1x1，点A0(0,0)，An(n，f(n)向量 anA0A1 A1A2 An1An，n是向量 an 与 i 的夹角(i(1,0)，设Sntan 1tan 2tan n，求Sn.【解析】anA0A1 A1A2 An1AnA0An(n，f(n)n，1n1，而i(1,0)，cos nnn1n2n121，sin n1n2n121.tan n1nn1.Sn 112 1231nn1 nn1.展示5(2012广州一模)已知等比数列an的各项均为正数，2a4，a3,4a5成等差数列且a32a22，(1)求an；(2)设bn2n52n12n3an，求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)an12n；(2)b
8、n2n52n12n3 12n12n12n112n32n，Sn13 152 1521722 12n12n112n32n 1312n32n.求和的关键是观察数列的前 n 项，选取适当的方法求解列举是敲门砖一般方法：1题目已知等差或等比数列，直接用公式；2分段函数形式给出递推公式的数列求和，一般应考虑分组求和或分段求和；3形如1anan1 类型的数列求和一般可简单裂项相消事实上所有数列均可裂项相消，即 anSnSn1.1(2012东莞一模)己知在数列an中，a13，a25，其前n项和Sn满足SnSn22Sn12n1(n3)，令bn1anan1，(1)求数列an的通项公式；(2)若f(x)2x1，求证
9、：Tnb1f(1)b2f(2)bnf(n)16(n1)【解析】(1)由题意，知SnSn1Sn1Sn22n1(n3)，即anan12n1(n3)an(anan1)(an1an2)(a3a2)a22n12n22252n12n2222122n1(n3)检验知n1,2时，结论也成立故an2n1.(2)由于bnf(n)12n12n112n1122n112n12n12n11 1212n112n11，故Tnb1f(1)b2f(2)bnf(n)12 112 1122 11221123 12n112n111211212n11 12 11216.2(2010广东)已知Pn 12n，14n，设m与k为两个给定的不同
10、的正整数，xn，yn为Pn的横、纵坐标，求证：n1sm1xn2 k1yn ms ks(s1,2，)【证明】n1sm1xn2 k1yn n1sm1 k12 n n1s|mk|2 n m1 k1 n1s|mk|2 n m k|m k|n1s12 n，又 n1s12 n0.则lgxn112 2lgxn12.数列lgxn12 是以lg56为首项、2为公比的等比数列(2)由(1)，知lgxn12 lg56 2n1.化简，得xn1256 2n1.0562(k1)当nk1时，结论也成立综合，知xn56n12对nN*都成立(3)当a0时，xn1x2nxnxn(xn1)，1xn11xnxn11xn1xn1，即1xn11xn 1xn1.n12 0111xn1 1x11x2 1x21x3 1x2 011 1x2 012 1x1 1x2 0123 1x2 012.又x113，x2134349，x349139 5281，x4528113381 1，xn1xnx2n0，数列xn单调递增0 1x2 0121.23 1x2 0123，即 n12 011 1xn1的值在2与3之间
