1、1617第二学期高二年级期中考试数学（理）试题命题人陈红丽一、选择题（每题5分，共60分）1.复数在复平面对应的点在第几象限（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不等式的解集为（ ）A.-2,1)4,7)B.(-2,1(4,7C.(-2,-14,7)D.(-2,14,7)3.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重点，则”,若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则（）A.1B.2C.3D.44.若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有,则P，A，B，C四
2、点（）A.不共面B.共面C.共线D.不共线5.有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果=0，那么是函数的极值点，因为=在处的导数值，所以是函数=的极值点，以上推理中（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确6.已知一个命题P（k），k=2n（nN），若n=1,2，1000时，P（k）成立，且当n=1000+1时它也成立，下列判断中，正确的是（ ）A.P（k）对k=2013成立B.P（k）对每一个自然数k成立C.P（k）对每一个正偶数k成立D.P（k）对某些偶数可能不成立7.已知函数的导函数为，且满足关系式=，则的值等于（ ）A.B.C.1D.-18.（1）已知p3
3、+q3=2，求证：p+q2.用反证法证明时，可假设p+q2；（2）已知a，bR，|a|+|b|1，求证：方程的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设；以下结论正确的是（ ）A.（1）与（2）的假设都错误B.（1）的假设正确；（2）的假设错误C.（1）与（2）的假设都正确D.（1）的假设错误；（2）的假设正确9.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2。给出以下结论：;，其中正确结论是（ ）A.B.C.D.10.函数的定义域为R，对任意，则的解集为（ ）A.（-1,1）B.（-1，）C.（-，-1）D.
4、（-，）11.右图是函数的导函数的图象，给出下列命题：-3势函数的极小值点；-1是函数的极小值点；在处切线的斜率小于零；在区间（-3,1）上单调递增，则正确命题的序号是（ ）A.B.C.D.12.若函数在（a，）上有最大值，则实数a的取值范围是（ ）A.（，-1）B.（，-1C.（，-2D.（，-2）二、填空题（每题5分，共20分）13.若，且为纯虚数，则实数的值等于 。14.计算定积分：= 。15.定义关于的不等式的解集称为A的B领域。若a+b-3的a+b领域是区间（-3,3），则的最小值是 。16.若函数在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 。三、解答题（17题10分，18，19，
5、20，21，22题各12分，共70分）17.已知。（1）当时，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围。18.如图，过点A（6,4）作曲线的切线；（1）求切线方程；（2）求切线、轴及曲线所围成的封闭图形的面积S。19.已知长方体中，棱AB=BC=1，棱，连接，过B点作的垂线交于E，交于F。（1）求证：平面EBD；（2）求点A到平面的距离；（3）求平面与直线DE所成角的正弦值。20.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC=，PA底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点，（1）证明MN平面PCD（2）求二面角PCDA的余弦值。21.已知函数（1）当
6、时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性。22.已知函数（1）求证：当时，；（2）设实数k使得对恒成立，求实数k的最大值。高二年级期中考试数学（理）试题参考答案1.D2.D3.C4.B5.A6.D7.D 8.D 9.D 10.B 11.A 12.C13.14.15.16.17.解：（1）当a=1时，解集为（1，+）（2）时，恒有，不等式的解集非空，。18.解：（1），切线方程为：，即。（2）令，则。令，则。=19.（1）以A为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、（0，0，2）、（1，0，2）、（1，1，2）、（0
7、，1，2），=(1，1，-2)，=(-1，1，0)，设E（1，1，z），则：=(0，1，z)，=(0，-1，2)，BEB1C=-1+2z=0，z=，E(1，1，)，=(0，1，)，=-1+1+0=0，=0+1-1=0，又BDBE=B平面EBD（2）连接，A到平面的距离，即三棱锥A-的高，设为h，（6分）SA1B1C=，=，由=得：，点A到平面的距离是。（3） 连接DF，BE，BE，=C，BE平面，DF是DE在平面上的射影，EDF是DE与平面所成的角，（11分）设F（1，y，z），那么=(0，y，z)，=(-1，y-1，z)，=(0，1，-2)，=0y-2z=0，z=2-2y由、得y=，z=，=
8、(1，0，)，=(0，-，-)在RtFDE中，DE=，EF=。sinEDF=，因此，DE与平面所成的角的正弦值是20.试题解析：做AFCD于F，建立如图坐标系，在RtAFD中，AF=FD；A（0，0，0），B（1，0，0），F（0，0），D（ ，0），P（0，0，2），M（0，0，1），N（1，0），（4分） =（1，0），（5分）设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z）则令，得（8分）=0MN平面PCD（10分）（2）由（1）平面PCD的法向量=，平面ADC的一个法向量为=（0,0,1）设二面角P-CD-A的平面角为，则即二面角P-CD-A的余弦值为21.【解析】试题分析（1）借助题设条件
9、运用导数与函数的单调性的关系求解：（2）依据题设运用分类整合分类探求。试题分析：（1）当时，=，定义域为，的导函数。当时，在（0，）上时减函数；当时，在上是增函数；当时，取得极小值为=，无极大值。（2） 当时，的定义域为，的导函数为=由得，（）当时，在（0，）上时减函数，在上是增函数，在上是减函数；（）当时，在（0，）上时减函数；（iii）当时，在上是减函数，在上是增函数，在上时减函数，综上所述当时，在，上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数；当时，在，上是减函数，在上是增函数；22.解：（1）令则在（0,1）上单调递增，时，（2）由（1）知，当时，对恒成立当时，令则当时，在上单调递减当时，=0即，并非对恒成交，综上可知，k的最大值为2.
