1、高考资源网（ ），您身边的高考专家江苏省常熟市2018-2019学年高二学生暑期自主学习调查数学试题一、选择题（本大题共12小题）1. 若集合A=x|x-1，B=x|-3x1，则AB=（）A. B. C. D. 2. 半径为2的扇形OAB中，已知弦AB的长为2，则的长为（）A. B. C. D. 3. 过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（）A. B. C. D. 4. 为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节元宵节清明节、端午节、中秋节这五个节日中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节被选中的概率是（）A. B. C. D. 5.
2、已知sin+cos=，则sin2（-）=（）A. B. C. D. 6. 设b、c表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则7. 已知函数y=f（x）的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A. B. C. D. 8. 在ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若=2，且=+，则=（ ）A. B. C. D. 9. 设为锐角，则直线xsin2+ycos2-2=0与两坐标轴围成的三角形面积的最小值是（）A. 10B. 8C. 4D. 210. 已知单位向量，满足=0若点C在AOB内，且AOC=60，（m，nR），
3、则下列式子定成立的是（）A. B. C. D. 11. 在ABC中，已知AB=2，AC=1，A的平分线AD=1，则ABC的面积（）A. B. C. D. 12. 已知函数f（x）=sinx|cosx|，x，有以下结论：f（x）的图象关于直线y轴对称；f（x）在区间上单调递减；f（x）的一个对称中心是（，0）；f（x）的最大值为其中正确的序号为（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，在从这10000人中再用分层抽样方法抽
4、出100人作进一步调查，则在（2500，3500元/月）收入段应抽出_人14. 已知=（5，4），=（3，2），则与2-3同向的单位向量为_15. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长均等于2，则其外接球的体积为_16. 设f（x），g（x）是定义在R上的两个函数，f（x）=k（x-1），g（x）的周期为3，当x（-1，2时，g（x）=若在区间（0，+）上，关于x的方程f（x）=g（x）有3个不同的实数根，则实数k的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题）17. 已知集合A=，B=x|m+1x2m-1，且满足BA，求实数m的取值范围18. 某公司的销售部门共有10名员工，他们某年的收入如表：员工编
5、号12345678910年薪（万元）33.5455.56.577.5810（1）从该销售部门中年薪高于6万元的人中任取2人，求此2人年薪高于7万元的概率；（2）已知员工年薪与工作年限呈正线性相关关系，若某员工工作第-年至第四年的年薪分别为3万元，4.2万元，5.6万元，7.2万元，预测该员工第七年的年薪为多少？（附：线性回归方程=bx+a中，b=，其中，为样本平均数）19. 在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA=2，M为OA的中点（1）求四棱锥O-ABCD的体积；（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小20. 如图在四边形ABCD中，ABC=，A
6、BAD，AB=（1）若AC=，求ABC的面积；（2）若ADC=，CD=4，求AD的长21. 如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B两点（1）若直线l的斜率为，求OAB的面积；（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由22. 设A=-1，1，B=，函数f（x）=2x2+mx-1（1）设不等式f（x）0的解集为C，当C（AB）时，求实数m的取值范围；（2）若对任意的实数m，总存在x1，2，使得不等式|f（x）|
7、tx，求实数t的取值范围答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A=x|x-1，B=x|-3x1，AB=x|x-3故选：B利用并集定义、不等式性质直接求解本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】C【解析】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为（rad），半径为r，半径为2的扇形OAB中，弦AB的长为2，=则l=2=故选：C由已知可求圆心角的大小，根据弧长公式即可计算得解本题主要考查了弧长公式的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题3.【答案】D【解析】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y-
8、2=0上验证D选项，不成立故选D先求AB的中垂线方程，它和直线x+y-2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法是基础题目4.【答案】C【解析】解：某中学广播站在中国传统节日：春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节，这五个节日中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，基本事件总数n=10，春节被选中包含的基本事件个数m=6，春节被选中的概率p=0.6故选：C这五个节日中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，基本事件总数n=10，春节被选中包含的基本事件个数m=6，由此能求出春节被选中的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运
9、算求解能力，是基础题5.【答案】B【解析】解：sin+cos=，则1+2sincos=，2sincos=-sin2（-）=（1-2sincos）=（1+）=，故选：B由条件求得2sincos=-，再根据sin2（-）=（1-2sincos），计算求得结果本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题6.【答案】D【解析】解：A选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；B选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；C选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；D选项正确，因为线与面平
10、行，线垂直于另一面，可证得两面垂直故选：D由题设条件，对四个选项逐一判断即可，A选项用线线平行的条件进行判断；B选项用线面平行的条件判断；C选项用线面垂直的条件进行判断；D选项用面面垂直的条件进行判断，本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，求解本题关键是有较好的空间想像能力，对空间中点线面的位置关系可以准确判断，再就是熟练掌握点线面位置关系判断的定理与条件7.【答案】B【解析】解：根据图象看出，f（x）为偶函数，且定义域为R，在0，+）上单调递增，选项A的函数为奇函数，选项D的函数定义域为x|x0，选项A，D都错误，选项B，C的函数都是偶函数，选项C的函数在0，+）上显然不是增函数故选：B根
11、据图象可看出f（x）是偶函数，并且定义域为R，在0，+）上是增函数，从而可排除选项A，C，D，只能选B考查偶函数的定义及判断，偶函数图象的对称性，对数函数的定义域，增函数的定义8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出【解答】解：=（+）=+=+（-）=-+，=-.故选A9.【答案】B【解析】解：为锐角，则直线xsin2+ycos2-2=0在x轴、y轴上的截距分别为，则它与两坐标轴围成的三角形面积为=，故当2=90时，三角形的面积取得最小值为8，故选：B由题意根据直线方程的
12、截距式，求出它正弦函数的值域，在x轴、y轴上的截距，可得它两坐标轴围成的三角形面积，再利用正弦函数的值域，求出它的最小值本题主要考查直线方程的截距式，正弦函数的值域，属于基础题10.【答案】D【解析】解：=0可得建立直角坐标系，如图所示，则=（1，0），=（0，1），=（m，n），tan60=，解得n=m，所以故选：D根据题意得=0因此建立如图所示直角坐标系，可得A、B、C点的坐标，再利用正切的定义结合AOC=60建立关于m、n的等式，即可解出的值对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到答
13、案本题若没有已知给定图形的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向60角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错11.【答案】D【解析】解：因为AD是A的平分线，所以=，不妨设BD=2x，CD=x，结合已知得cosBAD=cosCAD，由余弦定理得：=，解得x=，负值舍去，所以BC=3x=所以cosA=，可得sinA=，所以SABC=ABACsinA=故选：D根据角平线的性质，可设BD=2x，CD=x，然后结合余弦定理列方程解之即可得解BC的值，由余弦定理可求cosA的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，根据三角形的面积公式即可求解本题考查了解三角形的有关知识和方法，解题的关键
14、是角平分线的性质以及利用两个角相等结合余弦定理列出方程求解，属于中档题12.【答案】C【解析】解：当x-，时，f（x）=sinx|cosx|=sinxcosx=sin2x，当x（，时，f（x）=sinx|cosx|=-sinxcosx=-sin2x，作出函数f（x）的图象如图：则函数关于y轴不对称，故错误，区间，的中点坐标为，区间，的中点坐标为，则f（x）在区间上单调递减，故正确，由图象知f（x）关于x=对称；故错误，当当x-，时，2x-，当2x=时，f（x）取得最大值，故正确，故正确的是，故选：C根据条件结合绝对值以及三角函数的倍角公式进行化简，作出函数的图象，利用数形结合分别进行判断即可本
15、题主要考查命题的真假判断，结合绝对值以及三角函数的倍角公式，利用数形结合是解决本题的关键13.【答案】40【解析】解：由图（2500，3500元/月）收入段的频率是0.0005500+0.0003500=0.4 故用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3500元/月）收入段应抽出人数为0.4100=40 故答案为40先有频率分布直方图求出在（2500，3500元/月）收入段的频率，根据分层抽样的规则，用此频率乘以样本容量计算出应抽人数本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数14.【答
16、案】【解析】解：a=（5，4），b=（3，2），2a-3b=（1，2）设与2a-3b平行的单位向量为=（x，y），则2-3=，|=1（1，2）=（x，y）；x2+y2=1解之故答案为先用坐标运算求2a-3b的坐标，用待定系数法，据共线向量的充要条件和模的坐标公式列方程解本题考查共线向量的充要条件和模的坐标公式待定系数法是常用方法15.【答案】【解析】解：如图，正三棱锥A-BCD中，底面边长为，CD边上的高BE=，则底面三角形外接圆的半径为BG=1，又侧棱长为2，高，O为正三棱锥的外接球的球心，设OB=OA=R，则在RtBOG中，解得R=，外接球的体积为故答案为：可以画出正三棱锥A-BCD，结合
17、图形，通过直角三角形的边的关系以及正三棱锥外接球的球心到A，B的距离相等即可求出外接球的半径，根据球的体积公式即可求出外接球的体积本题考查了正三棱锥的定义，直观想象能力，直角三角形边的关系，球的体积公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题16.【答案】（，）-，-）【解析】解：在区间（0，+）上，关于x的方程f（x）=g（x）有3个不同的实数根，f（x）和g（x）有三个不同的交点f（x）=k（x-1），f（x）=k（x-1）过顶点（1，0），g（x）的周期为3，当x（-1，2时，g（x）=作出f（x），g（x）在（0，+）的图象如下：由图可知：当k0时，f（x）分别与圆（x-6）2+y2=1
18、，（x-3）2+y2=1相切=1，=1；k0解得k=或；k（，），当k0时，f（8）=g（8）=-2且f（11）=g（11）=-2，k=-，k=-；k-，-）故答案为：k（，）-，-）本题利用数形结合思想，画出g（x）在（0，+）的图象，通过图象分析找到临界状态，求出k的范围本题考查了转化思想和数形结合思想，需要学生有较强的逻辑分析能力难度较大，属于中档题17.【答案】解：由得-2x5，当B=时，则m+12m-1，所以m2，BA成立当B时，由BA则有解方程组得2m3综上所述：m（-，3【解析】由条件解得集合A，根据BA，分为B=和B两种情况讨论即可解得m的取值范围本题考查了集合的子集关系，注意
19、分类讨论和数形结合，属于基础题18.【答案】解：（1）记“此2人年薪高于7万元”为事件A，从该销售部门中年薪高于6万元的人中任取2人有种选法，此2人年薪高于7万元的有种选法，P（A）=；（2）设xi，yi（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则，=（-1.5）（-2）+（-0.5）（-0.8）+0.50.6+1.52.2=7，线性回归方程为取x=7，得故可预测该员工第七年的年薪为11.3万元【解析】（1）分别求出从该销售部门中年薪高于6万元的人中任取2人与此2人年薪高于7万元的选法种数，再由古典概型概率计算公式求解；（2）由已知求得与的值，得到线性回归方程，取x=7求得y值即可本题
20、考查古典概型概率与线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题19.【答案】解：（1）由题意，四棱锥的底面积是22=4，高为2，故其体积为42=；（2）连接AC，BD交于一点N，连接MN，ND，由于N，M是中点，可得MNOC，NMD即为异面直线OC和MD所成角（或补角），由已知OA底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，可得MAD，MAN，MND均为直角三角形，又由题设可得AM=1，DN=AN=，在RtMAN中，可得MN=，故tanNMD=，即异面直线OC和MD所成角的正切值大小为【解析】（1）四棱锥O-ABCD的底面是边长为2的正方形，高为2，由公式即可求得体积；（2）根据异面直线所成角
21、的定义，作出OC和MD所成角，求解三角形即可得出所求的正切值本题考查异面直线所成的角，考查棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题20.【答案】解：（1）ABC=，AC=，AB=，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB，可得BC2+2BC-3=0，解得BC=1，SABC=ABBCsinABC=（2）设BAC=（0），AC=x，则CAD=-，在ABC中，由正弦定理=，可得x=，在ACD中，由正弦定理=，可得x=，所以=，化简可得tan=，所以sinCAD=cos=，所以AC=x=，cosCAD=，在ACD中，由余弦定理CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD
22、，可得AD2-2AD-22=0，解得AD=+2【解析】（1）在ABC中，AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSABC，解得BC，然后求解三角形的面积（2）设BAC=（0），AC=x，可求CAD=-，由正弦定理可求=，化简解得tan，利用同角三角函数基本关系式可求sinCAD=cos=，cosCAD，可求AC的值，进而在在ACD中，由余弦定理即可解得AD的值本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，是中档题21.【答案】解：（1）因为直线l的斜率为，所以直线l，则点O到直线l的距离，（2分）所以弦AB的长度，所以（4分）（2）因为直线l的斜率为0，所以可知、
23、，（6分）设点C（x，y），则x2+y2=1，又，（8分）所以CA2+CB2=4-2y，又y-1，1，所以CA2+CB2的取值范围是2，6（9分）（3）法一：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），因直线l不与y轴重合，设直线l，（10分）代入圆O得，所以（*）（12分）若PQ平分AQB，则根据角平分线的定义，AQ与BQ的斜率互为相反数有，又，化简可得，（14分）代入（*）式得，因为直线l任意，故，即t=2，即Q（0，2）（16分）解法二：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），
24、因直线l不与y轴重合，设直线l，（10分）代入圆O得，所以（*）（12分）若PQ平分AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d1，点B到y轴的距离d2满足，即，化简可得，（14分）代入（*）式得，因为直线l任意，故，即t=2，即Q（0，2）（16分）【解析】（1）因为直线l的斜率为，所以直线l，利用弦长、半径、弦心距的关系，求得弦长及OAB的高，即可求出面积（2）因为直线l的斜率为0，所以可知、，设点C（x，y），则x2+y2=1，又=4-2y，又y-1，1，即可得CA2+CB2的取值范围（3）法一：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（
25、x2，y2），因直线l不与y轴重合，设直线l，代入圆O得，所以（*）由AQ与BQ的斜率互为相反数，可得，即求得t；解法二：若PQ平分AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d1，点B到y轴的距离d2满足，即，化简可得，同时求得t本题考查了直线与圆的位置关系，考查了方程思想、转化思想、数形结合思想，考查了运算能力，属于中档题22.【答案】解：（1）因为A=-1，1，B=-，所以AB=-1，1，若C（AB），则这两个交点的横坐标x1，x2-1，1，因为二次函数f（x）=2x2+mx-1的图象开口向上，且=m2+80恒成立，所以解得-1m1，（2）当x1，2时，由|f（x）|tx，得|t，
26、设g（x）=2x-+m，对任意1x1x22成立，因为g（x2）-g（x1）=2x2-2x1-（-）=（x2-x1）（2+）0，所以g（x1）g（x2），所以函数g（x）在1，2上单调递增，从而g（x）max=g（2）=+m，g（x）min=g（1）=1+m，所以|g（x）|max=max|g（1）|，|g（2）|，当m-时，|g（2）|=|+m|g（1）|=|1+m|，问题转化为|+m|t对任意的m恒成立，因为关于m的函数y=|+m|在-，+）上单调递增，所以|-|t，即t，当m时，|g（2）|=|+m|g（1）|=|1+m|，问题转化为|1+m|t|对任意的m-恒成立，因为关于m的函数y=|1+m|在（-，）上单调递减，所以|1-|t，即t，综上所述，实数t的取值范围是（-，【解析】（1）AB=-1，1，二次函数f（x）=2x2+mx-1的图象开口向上，且=m2+80恒成立，所以进而求解；（2）设g（x）=2x-+m，g（x2）-g（x1）=（x2-x1）（2+）0，所以g（x1）g（x2），所以函数g（x）在1，2上单调递增，进而求解；（1）考查交并补集，二次函数与二次不等式的联系与应用；（2）考查转化思想，函数的增减性，最值问题，等价问题，分类讨论思想；欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
