1、第9课时抛物线的标准方程 教学过程一、 问题情境回顾椭圆、双曲线标准方程的推导过程,结合抛物线的定义,提出问题: 如何建立直角坐标系来推导抛物线的方程?二、 数学建构1.回顾抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.注:(1) 定点F不在这条定直线l上;(2) 若定点F在这条定直线l上,则点的轨迹是什么?2.推导抛物线的标准方程 (图1)如图1,建立直角坐标系,设KF=p(p0),那么焦点F的坐标为,准线l的方程为x=-.设抛物线上的点M(x,y),则有=,化简得 y2=2px(p0).方程y2
2、=2px(p0)叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点是F,准线方程是x=- .一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,如图,分别建立直角坐标系.设出KF=p(p0),则图象对应的抛物线标准方程依次如下: (图2) (图3) (图4)如图2,x2=2py(p0),焦点:F,准线l:y=-;如图3,y2=-2px(p0),焦点:F,准线l:x=;如图4,x2=-2py(p0),焦点:F,准线l:y=.不同学生会有不同的坐标系的建立方法,因此也可以将四种不同的坐标系的建立方法都写出后,分别请同学上黑板完成方程的推导.(图5)由第一个图得到焦点在x轴正半轴上的抛物
3、线的标准方程为y2=2px;由第二个图得到焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为y2=-2px;由第三个图得到焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为x2=2py;由第四个图得到焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为x2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下:图形标准方程焦点坐标准线方程图1y2=2px(p0)x=-图3y2=-2px(p0)x=图2x2=2py(p0)y=-图4x2=-2py(p0)y=问题1这四个方程都是抛物线的标准方程,那么根据方程能否区分焦点的位置?(在x轴上,还是y轴上?在正半轴上,还是负半轴上?)引导学生得出结论:一次定轴(焦点所在的坐
4、标轴),符号定向.(1)焦点在x轴上时,标准方程为y2=2mx,焦点坐标为,准线方程为x=-;(2)焦点在y轴上时,标准方程为x2=2my,焦点坐标为,准线方程为y=-.m中含有“符号”,|m|表示焦点到准线的距离.三、 数学运用【例1】已知抛物线的方程为y=2ax2(a0),写出它的焦点坐标及准线方程.1(见学生用书P31)处理建议先引导学生将抛物线的一般方程化为标准方程,再让学生根据定义自主求解.规范板书解将抛物线方程变形为x2=,因为a0),即2p=-,得=-,故其焦点坐标为,准线方程为y=-.题后反思解题时,应首先检查所给方程是否为标准形式,只有将方程化为标准形式之后,才能顺利确定相关
5、的基本量.【例2】若抛物线的焦点F在x轴上,点A(m,-3)在抛物线上,且AF=5,求该抛物线的标准方程.2(见学生用书P32)处理建议引导学生先用待定系数法设出抛物线的方程,再根据其定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离,最后由点在抛物线上,联立方程求解.规范板书解设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p0).当y2=2px(p0)时,由点A(m,-3)在抛物线上,得(-3)2=2pm,即m=.再由抛物线的定义,得m+=5.联立方程,得+=5,即p2-10p+9=0,解得p=1或9,此时抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.同理可求得y2=-2x或y2=-18x.故所求抛物线
6、的标准方程为y2=2x或y2=-2x或y2=18x或y2=-18x.题后反思本例采用待定系数法来求抛物线的标准方程,需熟练掌握.【例3】已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是抛物线上两点,且AF+BF=3,求线段AB的中点M到y轴的距离.(见学生用书P32)处理建议引导学生利用抛物线的定义将与焦点有关的线段长度问题进行转化,再结合图形求解.(例3)规范板书解因为y2=x,所以p=.如图,过点M作MM1准线l于点M1,交y轴于点N,过点A作AA1准线l于点A1,过点B作BB1准线l于点B1.于是有MN=MM1-=(AA1+BB1)-=(AF+BF)-=3-=.题后反思部分与抛物线焦点有关的线段长
7、度问题利用定义转化后,才能顺利建立关系式.*【例4】平面上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.处理建议先让学生根据题意直接求解,再根据抛物线的定义引导学生用定义法求解.规范板书解法一(直译法)设点P(x,y),则由题意可得-|x|=1,化简整理得y2=2|x|+2x.当x0时,y=0;当x0时,y2=4x.综上,动点P的轨迹方程为y2=4x和y=0(x0).解法二(定义法)由题意可得平面上的动点P到定点F(1,0)的距离与P到x=-1的距离相等,再根据抛物线的定义可知,动点P的轨迹方程为y2=4x;射线y=0(x0)上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到
8、y轴的距离大1,也符合题意.综上,动点P的轨迹方程为y2=4x和y=0(x0).题后反思采用定义法求轨迹方程时,往往需要兼顾曲线的一般性与特殊性,否则极易漏解.画草图来帮助分析不失为好的解题策略.变式动点P到点A(0,8)的距离比到直线l:y=-7的距离大1,求动点P的轨迹方程.规范板书解由题意可得动点P到点A(0,8)的距离与到直线l:y=-8的距离相等,因此点P的轨迹为以A为焦点,直线y=-8为准线的抛物线,故所求的轨迹方程为x2=32y.四、 课堂练习1.抛物线x=4ay2的焦点坐标是.2.已知抛物线经过点P(4,-2),则其标准方程为y2=x或 x2=-8y .提示焦点在x轴上,设抛物
9、线的方程为y2=mx,将点的坐标代入方程得到m=1;焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=my,将点的坐标代入方程得到m=-8.3.与椭圆4x2+5y2=20有相同的焦点,且顶点在坐标原点的抛物线的方程是y2=4x .4. 已知抛物线的顶点在坐标原点O,焦点F在x轴上,过F作垂直于x轴的直线l与抛物线交于A,B两点.若OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.解当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的方程为y2=2px(p0),易得FA=FB=p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x;同理,当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,抛物线的方程为y2=-4x.故所求抛物线的方程为y2=4x.五、 课堂小结1.抛物线的四种形式,及其分别对应的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程.2.抛物线的标准方程的求法是“先定型,后计算”.所谓“定型”是指确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程;“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p的值.
