1、第3课时空间向量与空间角学 习 目 标核 心 素 养1会用向量法求线线、线面、面面的夹角(重点、难点)2正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系(易错点)通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角设l1与l2的方向向量为a，b，则cos 直线l与平面所成的角设l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin 二面角l的平面角设平面，的法向量为n1，n2，则|cos |0，思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？(2)二面角与二
2、面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？提示(1)设n为平面的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面所成的角为，则(2)条件平面，的法向量分别为u，所构成的二面角的大小为，u，图形关系计算cos cos cos cos 1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是()A等于90B小于90 C大于90 D不确定AA1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，则()0，MPMN，即PMN902已知二面角l等于，异面直线a，b满足a，b，且al，bl，则a，b所成的角等于()A BC D或D应考虑0与两种情
3、况3已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60C150 D120B设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，60，应选B4正方体ABCDABCD中，M，N分别是棱BB和BC的中点，则异面直线MN与AD所成角的大小为_45以，为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，M，N，(1,0,0)，cos，45，即MN和AD所成角的大小为45求两条异面直线所成的角 【例1】如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1
4、所成角的余弦值的大小解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)|cos，异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为1几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可2由于两异面直线夹角的范围是，而两向量夹角的范围是0，故应有cos |cos |，求解时要特别注意1如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD与平面D1C1CD垂直，且D1DC，
5、DCDD12，DA，ADC，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，D1(0,1，)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，由得A1(，1，)因为(，1，)，(，1，)所以cos，所以异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值思路探究：(1)线面平行的判定定理MN平面PAB(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角直线AN
6、与平面PMN所成角的正弦值解(1)证明：由已知得AMAD2如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)如图，取BC的中点E，连接AE由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|所以直线AN与平面PMN所成角
7、的正弦值为若直线l与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下：2如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值解(1)证明：由已知可得，BFPF，BFEF，又PF平面PEF，EF平面PEF，且PFEFF，所以BF平面PEF又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD(2)作PHEF，垂足为H由(1)得，PH平面ABFD以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz由(1)可得，DEPE又DP2，DE1，所以PE
8、又PF1，EF2，PF2PE2EF2，故PEPF可得PH，EH则H(0,0,0)，P，D，为平面ABFD的法向量设DP与平面ABFD所成角为，则sin 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为求二面角 探究问题1建立空间直角坐标系时，如何寻找共点的两两垂直的三条直线？提示应充分利用题目给出的条件，如线面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出适当的辅助线然后证明它们两两垂直，再建系2如何确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系？提示法一：观察法，通过观察图形，观察二面角是大于，还是小于法二：在二面角所含的区域内取一点P，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时
9、指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等【例3】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值思路探究：(1)先证线面垂直，再证面面垂直；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD因为ABCD，所以ABPD又APDPP，所以AB平面PAD因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD(2)在平面PAD内作PFAD，垂足为点F由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF，又ADA
10、BA，可得PF平面ABCD以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz由(1)及已知可得A，P，B，C，所以，(，0,0)，(0,1,0)设n(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则即所以可取n(0，1，)设m(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则即所以可取m(1,0,1)，则cosn，m所以二面角APBC的余弦值为利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图用坐标法解题的步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个
11、平面的法向量n1，n2(3)计算：设n1与n2所成锐角，cos (4)定值：若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为3如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC的中点，且PBAM(1)求BC；(2)求二面角APMB的正弦值解(1)因为PD平面ABCD，所以PDAD，PDDC在矩形ABCD中，ADDC，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设BCt，则A(t,0,0)，B(t,1,0)，M，P(0,0,1)，所以(t,1，1)，因为PBAM，所以10，得t，所以BC(2)易知C(0,1,0)，由(1)可得(，0,1)，(，0,0)，(，1，1)设平面AP
12、M的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令x1，则z12，y11，所以平面APM的一个法向量为n1(，1,2)设平面PMB的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即得x20，令y21，则z21，所以平面PMB的一个法向量为n2(0,1,1)cosn1，n2，所以二面角APMB的正弦值为利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为两个向量夹角的关系，解决方法一般有两种，即坐标法和基向量法，当题目中有明显的线面垂直关系时，尽量建立空间直角坐标系，用坐标法解决需要注意的是要理清所求角与向量夹角之间的关系，以防求错结果1如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD
13、1所成角的余弦值为()ABC DD以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB1则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，(0,1，2)，(1,0,2)，cos，异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为2正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A BC DB设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)(1,0,1)，(1，1,0)设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，令
14、x1，n(1,1,1)，又(0,0,1)，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为3在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_设a(0，1,3)，b(2,2,4)，则cosa，b，又因为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为4如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1，BCA90，点F1是A1C1的中点，BCCA2，CC11(1)求异面直线AF1与CB1所成角的余弦值；(2)求直线AF1与平面BCC1B1所成的角解(1)如图所示，分别以，为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，由BCCA2，CC11，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,1)，A1(2,0,1)，B1(0,2,1)因为F1为A1C1的中点，所以F1(1,0,1)所以(0,2,1)，(1,0,1)所以cos，即异面直线AF1与CB1所成角的余弦值为(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面ABC，AC平面ABC，所以BB1AC因为BCA90，所以BCAC，因为BCBB1B，BC，BB1平面BCC1B1，所以AC平面BCC1B1，所以(2,0,0)是平面BCC1B1的一个法向量设直线AF1与平面BCC1B1所成的角为，则sin |cos，|，所以，所以直线AF1与平面BCC1B1所成的角为
