1、北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用1、（昌平区2017届高三上学期期末）设函数，.（）若，求函数的单调区间；（）若曲线在点处的切线与直线平行.(i) 求的值；(ii)求实数的取值范围，使得对恒成立.2、（朝阳区2017届高三上学期期末）设函数，（）当时，求函数在点处的切线方程； （）若函数有两个零点，试求的取值范围；（）证明3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数，（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在上单调递减，试求的取值范围；（）若函数的最小值为，试求的值4、（东城区2017届高三上学期期末）设函数（）若为的极小值，求的值；（）若对恒成立，求的
2、最大值5、（丰台区2017届高三上学期期末）已知函数与函数的图象在点处有相同的切线.（）求a的值；（）设，求函数在上的最小值.6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知函数（）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；（）求的单调区间；（）设函数，求证：当时，在上存在极小值7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知函数，函数.（）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；（）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.8、（石景山区2017届高三上学期期末）已知函数，（）求函数的单调区间；（）若对任意，恒成立，求的取值范围9、（通州区2017届高三上学期期末）设函数（）当k1时，求曲线在
3、点处的切线方程；（）设函数，证明：当x时，0.10、（西城区2017届高三上学期期末）已知函数，其中（）如果曲线在处的切线的斜率是，求的值；（）如果在区间上为增函数，求的取值范围11、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）已知函数，其中.（）若，求的单调区间；（）若的最小值为1，求的取值范围.12、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）设函数，曲线在点处的切线方程为.（）求；（）设，求的最大值；（）证明函数的图象与直线没有公共点.参考答案1、解：（）当时，则.当时，；当时，；所以的单调增区间为，单调减区间为. 4分（）(i)因为，所以.依题设有 即解得. 8分(i i)所以. 对恒成立
4、，即对恒成立.令则有 当时，当时，所以在上单调递增.所以，即当时，；当时，当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，不恒成立.综上， 13分2、解：（）函数的定义域是， 当时， ， 所以函数在点处的切线方程为 即 4分（）函数的定义域为，由已知得当时，函数只有一个零点；当，因为，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增又，因为，所以，所以，所以取，显然且所以，由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点当时，由，得，或) 当，则当变化时，变化情况如下表：+ 注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意) 当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意若，则当变化时，变化情况如下表：
5、+ 注意到当时，所以函数至多有一个零点，不符合题意综上，的取值范围是 9分（）证明：设，其定义域为，则证明即可因为，取，则，且又因为，所以函数在上单增所以有唯一的实根，且当时，；当时，所以函数的最小值为所以所以 14分3、解：由题意可知（）因为，则， 所以函数在点处的切线方程为 即 3分（）因为函数在上单调递减，所以当时，恒成立即当时，恒成立显然，当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增 所以要使得“当时，恒成立”， 等价于即所以 8分（）设，则当，即时，所以所以函数在单增，所以函数没有最小值当，即时，令得，解得随着变化时，和的变化情况如下：0极大值极小值当时，. 所以. 所以.又因为函数的最
6、小值为，所以函数的最小值只能在处取得.所以.所以.易得.解得 14分以下证明解的唯一性，仅供参考： 设因为，所以，设，则.设，则.当时，从而易知为减函数.当，；当，所以方程只有唯一解4、解：（）的定义域为因为，所以 因为为的极小值， 所以，即所以 此时， 当时，单调递减； 当时，单调递增 所以在处取得极小值， 所以 5分（）由（）知当时，在上为单调递增函数， 所以，所以对恒成立因此，当时，对恒成立当时，所以，当时，因为在上单调递减，所以 所以当时，并非对恒成立 综上，的最大值为 13分5、解：（）因为，所以. .2分因为，所以. .4分 因为与的图象在（0,0）处有相同的切线，所以，所以. .
7、5分（）由（）知, , 令，则 .6分 (1)当时，所以在1,2上是增函数， 故的最小值为； .7分 (2)当时，由得， .8分 若，即，则，所以在1,2上是增函数， 故的最小值为. .9分 若，即，则， 所以在上是减函数，在上是增函数， 故的最小值为； .11分 若，即，则，所以在上是减函数， 故的最小值为. .12分 综上所述，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 当时，的最小值为. .13分6、解：（）由得.由已知曲线存在斜率为的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数的取值范围. （）由，可得当时，所以函数的增区间为；当时，若，若，所以此时函数的
8、增区间为，减区间为.（）由及题设得，由可得，由()可知函数在上递增，所以，取，显然，所以存在满足，即存在满足，所以在区间上的情况如下：0极小所以当时，在上存在极小值.（本题所取的特殊值不唯一，注意到），因此只需要即可）7、解析：8、解：（）函数的定义域为，2分当变化时，的变化情况如下表：所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，5分（）依题意，“对于任意，恒成立”等价于 “对于任意，成立”由（）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以函数的最小值为所以应满足7分因为，所以8分因为，令得，（）当，即时，在上，所以函数在上单调递增，所以函数由得，所以 11分（）当，即时, 在上，在上，所以
9、函数在上单调递增，在上单调递减，所以由得，所以 13分综上所述，的取值范围是 14分9、解：()，.1分将x=0分别代入f(x)和f(x)得，f(0)=1， f(0)=0.3分所以曲线在点(0, f(0)处的切线方程为：y=x. .4分().6分令，则.8分，.10分g(x)在上单调递增，g(x)g(0)=0即，.11分F(x)在上单调递增，F(x)F(0)=0.13分10、解：（）函数的定义域是，1分导函数为2分因为曲线在处的切线的斜率是，所以，即，3分所以4分（）因为在区间上为增函数，所以对于任意，都有6分因为时，所以8分令，所以10分因为时，所以时，在区间上单调递增，所以12分所以即的取值范围是13分11、解:定义域为.（）若，则，令，得（舍）.10极小值所以时，的单调增区间为，减区间为.（）， 当时，在区间在单调递增，所以当时，由所以在处取得最小值，注意到，所以不满足综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是12、 解： （）.（）又于是函数的图象与直线没有公共点等价于。由（）知
