1、9.4 空间向量及其运算(B)考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 9.4 空间向量及其运算(B)双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理1共线向量、共面向量、空间向量三定理辨析(1)共线向量基本定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是_.存在实数，使ab推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，满足等式OP OA ta，其中向量a 叫做直线 l 的方向向量，如图线段 AB 的中点公式为(其中 P 是 AB 的中点)OP 12(OA OB)(2)共面向量基本定理如果两个向量 a，b 不共线
2、，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x，y 使_.推论 1 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x，y，使MP xMA yMB，或对空间任一定点 O，有OP OM xMA yMB.在平面 MAB 内，点 P 对应的实数对(x，y)是唯一的，式叫做平面 MAB 的向量表示式pxayb推论 2 对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足向量关系式OP xOA yOB zOC(其中 xyz1)的四点 P、A、B、C 共面(当且仅当 xyz1时)(3)空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量p，存 在 一 个 唯
3、一 的 有 序 实 数 组 x，y，z，使_.pxaybzc如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是p|pxaybzc，x、y、zR，这个集合可看作是由向量 a、b、c 生成的，所以我们把_叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量，(x，y，z)叫做 p 对基底a，b，c下的坐标推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个序数 x，y，z，使OP xOAyOB zOC.a，b，c2两向量的数量积(1)空间两个向量的夹角如图，已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，
4、记作a，b0a，b，并且a，bb，a(2)若a，b2，则称 a 与 b 互相垂直，并记作ab.(3)已知空间两个向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a，b 的数量积，记作 ab，即 ab_(4)已知向量AB a 和轴 l，e 是 l 上与 l 同方向的单位向量(如图)作点 A 在 l 上的射影 A，作点 B在 l 上的射影 B，则AB叫做向量AB 在轴 l上或在 e 方向上的正射影，简称射影，可以证明AB|AB|cosa，eae.|a|b|cosa，b(5)性质ae|a|cosa，eabab0.|a|2aa.cosa，b ab|a|b|.(6)运算律(a)b_abba(交换律)a(
5、bc)abac(分配律)(ab)3空间直角坐标系(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫做原点，向量i，j，k叫做_，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面坐标向量(2)坐标在空间直角坐标系 Oxyz 中，对空间任一点 A，对应一个向量OA，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使_，则数组(x，y，z)叫做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标OA xiyjzk(3)空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1
6、，b2，b3)，则ab_；ab _；a _；ab _；aba1b1，a2b2，a3b3(R)；ab _.(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)(R)a1b1a2b2a3b3a1b1a2b2a3b30提示：不是向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或在平面内两种情况因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内1向量 AB平面 与直线 AB平面 是同一概念吗？思考感悟2在空间直角坐标系中：P(x，y，z)关于x轴、y轴、z轴的对称点如何？P(x，y，z)关于原点的对称点如何？P(x，y，z)关于xOy平面、yOz平面、zOx
7、平面的对称点如何？记忆方法如何？提示：(1)P(x，y，z)关于x轴的对称点为P1(x，y，z)，关于y轴的对称点为P2(x，y，z)，关于z轴的对称点为P3(x，y，z)(2)P(x，y，z)关于原点的对称点为P4(x，y，z)(3)P(x，y，z)关于xOy平面的对称点为P5(x，y，z)，关于xOz平面的对称点为P6(x，y，z)，关于yOz平面的对称点为P7(x，y，z)上述结论的记忆方法为：关于谁对称谁就不变，其余符号相反例如：关于x轴的对称点横坐标不变，而纵坐标、竖坐标分别变为原来的相反数课前热身1 (教 材 例 1 改 编)在平 行 六 面体 ABCDABCD中，向量AB DD
8、BC()A.AC B.ACC.BDD.AC答案：B2已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是()Aac，bcBab，acCac，abDab，bc答案：C答案：B3已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a，点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点，则四个数量积：2 BA AC；2AD BD；2FG AC；2EF CB 中，结果为 a2 的共有()A1 个B2 个C3 个D4 个4在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A(3，1,2)，其中心M(0,1,2)，则该正方体的棱长为_答案：2 3935已知2ab(0，5,10)
9、，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则b，c_.答案：120考点探究挑战高考 考点突破 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算可类比平面向量的线性运算，其依据是空间向量基本定理、平行四边形法则、三角形法则，参考教材例1.已知 ABCDABCD是平行六面体化简12AA BC 23A B，并在图中标出其结果例1【思路分析】尽可能使第二个向量的起点与第一个向量的终点相结合，再使第三个向量的起点与第二个向量的终点相结合【解】先在图中标出12AA，为此可取 AA的中点 E，则12AA EA，又 BCAD，A BDC，又为了标出23A B，可在 DC上取点 F，使 DF23DC，因此23A B23DC
10、DF，从而12AA BC23A BEA ADDF E F.向量 EF如图所示【名师点评】本题实际是以AA，A B，AD为基底来表示EF 的逆向思维空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，解决此类问题的关键是熟练应用公式，准确计算，参考教材例2.空间向量的坐标运算 在棱长为 1的正方体中，以 D为原点，DA，DC，DD1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1)求底面中心 O 的坐标；(2)求AC1 的坐标；(3)求D1A 与D1C 的夹角例2【思路分析】根据坐标的概念，首先寻找各点坐标，再求对应向量坐标【解】(1)DB(1,1,0)，DO12D B(12，12，0)，O(12
11、，12，0)(2)A(1,0,0)，C1(0,1,1)，AC1(0,1,1)(1,0,0)(1,1,1)，(3)D1(0,0,1)，D1A(1,0,0)(0,0,1)(1,0，1)D1C(0,1,0)(0,0,1)(0,1，1)，D1A D1C(1,0，1)(0,1，1)0011，cosD1A，D1C D1A D1C|D1A|D1C|12 212，D1A，D1C 0，D1A 与D1C 的夹角为3.【思维总结】在空间直角坐标系中，无论是点还是向量，其坐标是三个实数组成的一组数，它们的运算也应是三个坐标的结果互动探究 在本例的正方体中，若a垂直平面D1AC，则称a为平面D1AC的法向量，求平面D1
12、AC的单位法向量的坐标解：a(x，y，z)且x2y2z21.a平面 D1AC，aD1A，aD1C(x，y，z)(1,0，1)0 xz0(x，y，z)(0,1，1)0yz0 xyz3x21，x 33 a(33，33，33)利用向量证明平行，转化为向量共线，证明垂直转化为数量积为0.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2AD2，点E、F分别为C1D1、A1B的中点(1)求证：EF面BB1C1C；(2)求证：DF面A1BE.利用向量证明平行或垂直 例3【证明】根据题意，以D为原点，棱DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，B
13、1(1,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，B(1，2,0)，C(0,2,0)【思路分析】(1)以 D 为原点建系写出 A1、B1、C1、D1，A、B、C 各点坐标求EF EF 与面 B1BCC1平行，(2)由各点坐标DF DF A1E，DF A1B.(1)E、F 分别为 C1D1、A1B 的中点，E(0,1,2，)，F(1,1,1)则EF(1,0，1)，C1B(1,0，2)，CC1(0,0,2)，EF C1B 12CC1，又 EF 平 面BB1C1C，EF 在平面 BB1C1C 内有一条平行线，EF平面 BB1C1C.(2)由(1)得DF(1,1,1)，A1E
14、(0,1,2)(1,0,2)(1,1,0)，A1B(1,2,0)(1,0,2)(0,2，2)，DF A1E(1,1,1)(1,1,0)0，DF A1B(1,1,1)(0,2，2)0，DF A1E，DF A1B，且 A1EA1BA1，DF平面 A1BE.【思维总结】解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量法，把证明直线与平面平行的问题转化为计算向量的问题；把求线面垂直转化为数量积的计算方法技巧1空间向量的加法、减法、数乘运算以及两个空间向量的数量积的定义、运算律与性质均与平面向量完全一样2选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则
15、和公式等，表示出所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求，如例1.方法感悟3证明空间四点共面的方法对空间四点 P，M，A，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)MP xMA yMB；(2)对空间任一点 O，OP OM xMA yMB；(3)对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB(xyz1)；(4)PM AB(或PAMB 或PBAM)4利用空间向量证明线面平行，只要在平面内找到一条直线的方向向量为b，已知直线的方向向量为a，证明ab即可如例3.5利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线上各取一个向量a，b，只要证明ab
16、，即ab0即可6证明线面垂直：直线l，平面，要证l，只要在l上取一个非零向量p，在内取两个不共线的向量a、b，问题转化为证明pa且pb，也就是ap0且bp0.如例3.1用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键如例1.2共线向量不具备传递性，除去零向量时共线向量才具备传递性3要用共线向量定理证明向量a，b所在的直线平行，除证明ab外，还需证明某条直线上必有一点在另一条直线外失误防范考向瞭望把脉高考 考情分析从近两年的高考试题来看，常以解答题的形式考查有关平行、垂直的证明及夹角和距离的求法，由于空间向量仅作为解决问题的一种工具，因此考查的难度一般都不大考查的热点在于利用空间
17、向量的坐标运算将复杂的立体几何问题“代数化”，从而使问题化难为易2010年的高考中，只有广东理第10题单纯地考查空间向量的坐标运算，其余各省市考题都是在解答题中以空间几何体为载体，恰当地建空间直角坐标系，灵活运用向量夹角公式求线线角、线面角、二面角，利用数量积解决线面、面面的垂直问题预测2012年高考仍将以解答题的形式考查空间向量及其运算，难度一般都不大，尤其要重视恰当的空间坐标系的建立和准确的计算垂直关系、线面角、二面角的考查仍会是重点(本题满分13分)(2010年高考安徽卷)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC
18、的中点(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小规范解答例【解】四边形 ABCD 为正方形，ABBC.又 EFAB，EFBC.又 EFFB，EF平面 BFC.EFFH，ABFH.又 BFFC，H 为 BC 的中点，FHBC.FH平面 ABC.2 分以 H 为坐标原点，HB 为 x 轴正方向，HF 为 z 轴正方向，建立如图所示的坐标系设 BH1，则 A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1).4 分(1)证明：设 AC 与 BD 的交点为 G，连接 GE，GH，则 G(0，1,0)，GE(
19、0,0,1)又HF(0,0,1)，HF GE.6 分又 GE平面 EDB，HF平面 EDB，FH平面EBD.(2)证明：AC(2,2,0)，GE(0,0,1)，AC GE 0，ACGE.又 ACBD，EGBDG，AC平面 EDB.8 分(3)BE(1，1,1)，BD(2，2,0)设平面 BDE 的法向量为 n1(1，y1，z1)，则BE n11y1z10，BD n122y10，y11，z10，即 n1(1，1,0)，CD(0，2,0)，CE(1，1,1)设平面 CDE 的法向量为 n2(1，y2，z2)，则 n2CD0，y20，n2CE 0,1y2z20，z21，故 n2(1,0，1).10
20、分cosn1，n2 n1n2|n1|n|212 212，n1，n260，即二面角 BDEC 为 60.13分【名师点评】本题重点考查了线面平行，线面垂直，面面垂直的判断与证明以及二面角的求法本题的向量解法，计算量并不大，推理易于理解，但空间坐标系的建立并不轻松，有的考生并没有证明出FH面ABC，就直接以H为原点建立了坐标系，这是不完备的另外个别考生把其中一个平面的法向量找错得出n1，n2120时，没有根据图形得到BDEC的大小，正确结果，而得出120的大小如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA12，底面ABCD是菱形，AB2，ABC60，P为侧棱BB1上不同于点B、B1的动点(1)
21、求证：D1PAC；(2)当二面角D1ACP的大小为120时，求BP的长名师预测解：设四棱柱上、下底面的对角线的交点分别为O1，O，则 ACBD，OO1平面 ABCD.如图，以 OD、OC、OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.(1)证明：由上知 A(0，1,0)，C(0,1,0)，D1(3，0,2)设 P(3，0，x)(0 x2)，则AC(0,2,0)，D1P(2 3，0，x2)，AC D1P 0，D1P AC，即 D1PAC.(2)连结 OD1，OP，又 O(0,0,0)，OD1(3，0,2)，OP(3，0，x)，OD1 AC 0，OP AC 0，OD1 AC，OP AC，D1OP 就是二面角 D1ACP 的平面角，cosD1OP OD1 OP|OD1|OP|2x373x212.解得 x13或 x5(舍去)，BP13.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
