1、第一课时 椭圆的简单几何性质 【课标要求】1.理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长.2.掌握椭圆的离心率及 a，b，c 的几何意义.3.会应用椭圆的简单几何性质解题.|新知预习|椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 对称性对称轴，对称中心 x 轴和 y 轴(0,0)范围xa，a，yb，bxb，b，ya，a 顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴|B1B2|2b，长轴|A1A2|2a 焦点F1(c,
2、0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c 离心率eca(0eb0)的长轴长等于 a()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 ac()(3)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆()答案：(1)(2)(3)2经过点 P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A.x29y241 B.y29x241C.x29y241 D.y29x241解析：由题易知点 P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在 x 轴上，所以 a3，b2，故椭圆的标准方程为x29y241.答案：A3椭圆x216y281 的离心率为()A.13 B.12C.33 D.22
3、解析：由x216y281 可得 a216，b28，c2a2b28，e2c2a212，e 22.答案：D4椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A(13,0)B(0，10)C(0，13)D(0，69)解析：由题意知椭圆焦点在 y 轴上，且 a13，b10，则 c a2b2 69，故焦点坐标为(0，69)答案：D5若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，焦距为 6，则椭圆的标准方程为_解析：由题意知，2a2b18,2c6，ab9c3a2b2c2a225b216 对称轴为坐标轴 焦点在 x 轴上或在 y 轴上 答案：x225y2161
4、 或y225x2161课堂探究 互动讲练类型一 由标准方程研究几何性质例 1 求椭圆 4x29y236 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率【解析】椭圆方程变形为x29y241，a3，b2，c a2b2 94 5.椭圆的长轴长和焦距分别为 2a6,2c2 5，焦点坐标为 F1(5，0)，F2(5，0)，顶点坐标为 A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，离心率 eca 53.方法归纳求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出 a，b 的数值，进而求出 c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质.跟踪训练 1
5、 已知椭圆 C1：x2100y2641，设椭圆 C2 与椭圆C1 的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆 C2 的焦点在 y 轴上(1)求椭圆 C1 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆 C2 的方程，并研究其性质解析：(1)由椭圆 C1：x2100y2641 可得其长半轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率 e35.(2)椭圆 C2：y2100 x2641，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e35.类型
6、二 利用几何性质求标准方程例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是 10，离心率是45；(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)由已知得 2a10，a5.又eca45，c4.b2a2c225169.椭圆方程为x225y291 或y225x291.(2)依题意可设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)如图所示，A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，则 cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为x218y2
7、91.方法归纳根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，应根据题意求出a，b 的值，然后确定焦点所在的坐标轴，若焦点位置不确定需分类讨论.跟踪训练 2 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分求椭圆的标准方程解析：设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意知 2a18,2a6c，所以解得 a9，c3，故 b2a2c272，所以椭圆 C 的方程是x281y2721.类型三 椭圆的离心率例 3(导学号：07264113)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，点 M(a，b)满足 MF2 平分F1MA
8、，那么椭圆的离心率为_【解析】依题意，点 F2(c,0)到直线 F1M：bx(ac)ybc0 的距离等于|F2A|ac，即|bc0bc|b2ac2ac，所以 4b2c2(ac)2b2(ac)2，因为 b2c2a2，所以(ac)2b2(ac)22a(ac)2(ac)2ab2(ac)，所以 2c2a(ac)，两边同除以 a2，得 2e2e10，解得 e12(舍去 e1)【答案】12方法归纳求椭圆的离心率的思路 一是先求 a，c，再计算 e；二是依据条件的信息，结合有关知识和 a，b，c，e 的关系，构造关于 e 的方程，再求解，求解时应注意离心率 e 的范围是(0,1).跟踪训练 3 一个圆的圆心
9、为椭圆的右焦点 F，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点 P，直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆的切线，则椭圆的离心率为()A.12 B.22C.32D.31解析：依题意可知 PFPF1，且|PF|c，所以|PF1|F1F|2|PF|2 3c，又|PF|PF1|2a，所以 c 3c2a，所以ca231 31.答案：D|素养提升|1椭圆的范围椭圆的范围决定了椭圆的大小，它位于四条直线 xa，yb 围成的矩形内，即axa，byb.椭圆的范围在解决与椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时，常常涉及2椭圆方程x2a2y2b21(ab0)中 a，b，c 的几何意义在方程x2a2y2b21(ab0)中，a，
10、b，c 的几何意义如图所示，即 a，b，c 正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形3椭圆的离心率特别提醒：椭圆的焦点一定在长轴上|巩固提升|1已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23y221 B.x23y21C.x212y281 D.x212y241解析：由题意及椭圆的定义知 4a4 3，则 a 3，又ca c3 33，所以 c1，所以 b22，所以 C 的方程为x23y221.故选 A.答案：A2若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.12 B.32C.34 D.64解析：依题意，BF1F2 是正三角形，在 RtOBF2 中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，cos60ca12，即椭圆的离心率 e12，故选 A.答案：A3 椭 圆 x225 y29 1的 面 积S_60.(用“”“”“”填空)解析：椭圆x225y291 位于直线 x5 和 y3 所围成的矩形区域内，而该矩形面积为(55)(33)60.所以椭圆的面积S60.答案：
