1、第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知 识 梳 理 且1.简单的逻辑联结词(1)命题中的_、_、_叫做逻辑联结词.(2)命题pq，pq，綈p的真假判断 或非p q pq pq 綈p 真 真 _ 真 _ 真 假 _ _ 假 假 真 假 _ _ 假 假 _ 假 _ 真假假真真真假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“_”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存
2、在量词，用符号“_”表示.3.全称命题和特称命题 名称 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 简记 _ _ 否定 x0M，綈p(x0)_，綈p(x)xM，p(x)x0M，p(x0)xM常用结论与微点提醒 1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：pq见真即真，pq见假即假，p与綈p真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“pq”的否定是“(綈p)(綈q)”，“pq”的否定是“(綈p)(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊 断 自
3、 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)命题“56或52”是假命题.()(2)命题綈(pq)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)x0M，p(x0)与xM，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题pq中，p，q有一真则真.(2)错误.pq是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材选修21P18A1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，pq，pq中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4 解析 p和q显然都是真
4、命题，所以綈p，綈q都是假命题，pq，pq都是真命题.答案 B 3.(新教材必修第一册P29习题1.5T3(3)改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是_.答案 有些表面积相等的三棱锥体积不相等 A.xR，x24x60B.xR，x24x60 C.xR，x24x60D.xR，x24x60 解析 依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.答案 A 4.(2020成都诊断)已知命题 p：x0R，x204x06|b|，则a2b2；命题q：m，n是直线，为平面，若m，n，则mn.下列命题为真命题的是()A.pqB.p(綈q)C.(綈p)qD.(綈p)(綈q)解析(1)取ac(1，0)
5、，b(0，1)，显然ab0，bc0，但ac10，p是假命题.又a，b，c是非零向量，由ab知axb(xR)，由bc知byc(yR)，axyc，ac，q是真命题.综上知pq是真命题，pq是假命题.綈p为真命题，綈q为假命题.(綈p)(綈q)，p(綈q)都是假命题.(2)对于命题p，由a|b|两边平方，可得到a2b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线m，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p(綈q)为真命题.答案(1)A(2)B 规律方法 1.“pq”、“pq”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形
6、式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“pq”“pq”“綈p”形式命题的真假.2.pq形式是“一假必假，全真才真”，pq形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.【训练1】(1)若命题“pq”与命题“綈p”都是真命题，则()A.命题p与命题q都是真命题 B.命题p与命题q都是假命题 C.命题p是真命题，命题q是假命题 D.命题p是假命题，命题q是真命题(2)(2020衡水中学检测)命题p：若向量ab0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cos cos 1，则sin()0.下列命题为真命题的是()A.pB.綈qC.pqD.pq 解析(1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又
7、pq为真命题，所以q为真命题.(2)当a，b方向相反时，ab0，但夹角是180，不是钝角，命题p是假命题；若cos cos 1，则cos cos 1或cos cos 1，所以sin sin 0，从而sin()0，命题q是真命题，所以pq是真命题.答案(1)D(2)D 考点二 全称量词与存在量词 多维探究 角度1 含有量词命题的否定【例21】(2020河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：f(x)A，|f(x)|B，则綈p为()A.f(x)A，|f(x)|BB.f(x)A，|f(x)|B C.f(x)A，|f(x)|BD.f(x)A，|f(x)|B 解析 全称命题的
8、否定为特称命题：改写量词，否定结论.綈p：f(x)A，|f(x)|B.答案 C 角度2 全称(特称)命题的真假判断【例22】(1)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.xR，f(x)f(x)B.xR，f(x)f(x)C.x0R，f(x0)f(x0)D.x0R，f(x0)f(x0)A.pqB.(綈p)q C.p(綈q)D.(綈p)(綈q)(2)(2020衡水检测)已知命题 p：xN*，12x13x，命题 q：xR，2x21x2 2，则下列命题中是真命题的是()解析(1)定义域为R的函数f(x)不是偶函数，xR，f(x)f(x)为假命题，x0R，f(x0)f(x
9、0)为真命题.答案(1)C(2)A(2)因为 yxn(nN*)在(0，)上递增.xN*，12x13x成立，p 为真命题.又2x21x2 2x21x2 2，当且仅当 2x21x，即 x12时，上式取等号，则 q 为真命题.因此 pq 为真命题.规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个xx0，使p(
10、x0)成立即可.【训练2】(1)(角度1)命题“x0R，1f(x0)2”的否定形式是()A.xR，1f(x)2 B.x0R，12 D.xR，f(x)1或f(x)2(2)(角度2)(2020株洲模拟)已知命题p：x0，exx1，命题q：x(0，)，ln xx，则下列命题正确的是()A.pqB.(綈p)q C.p(綈q)D.(綈p)(綈q)解析(1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1或f(x)2”.(2)令f(x)exx1，则f(x)ex1，当x0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)0，即exx1，命题p真；令 g(x)ln xx，x0，则
11、 g(x)1x11xx，当x(0，1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0，即当x1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)maxg(1)10，g(x)0在(0，)上恒成立，则命题q假，因此綈q为真，故p(綈q)为真.答案(1)D(2)C 考点三 由命题的真假求参数 典例迁移【例 3】(1)已知命题 p：“x0，1，aex”；命题 q：“x0R，使得 x204x0a0”.若命题“pq”是真命题，则实数 a 的取值范围为_.(2)(经典母题)已知 f(x)ln(x21)，g(x)12xm，若对x10，3，x21，2，使得 f(x1)g(x2)，则实数 m 的取值范围是_.解析(1)
12、若命题“pq”是真命题，那么命题 p，q 都是真命题.由x0，1，aex，得 ae；由x0R，使 x204x0a0，得 164a0，则 a4，因此 ea4.则实数 a 的取值范围为e，4.(2)当 x0，3时，f(x)minf(0)0，当 x1，2时，g(x)ming(2)14m，由f(x)ming(x)min，得 014m，所以 m14.答案(1)e，4(2)14，【迁移】本例(2)中，若将“x21，2”改为“x21，2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_.解析 当 x1，2时，g(x)maxg(1)12m，对x10，3，x21，2使得 f(x1)g(x2)等价于 f(x)ming(x)
13、max，得 012m，m12.答案 12，规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】已知命题p：xR，2x3x，命题q：xR，x22x，若命题(綈p)q为真命题，则x的值为()由 2x3x，得23x1，所以 x0.A.1B.1C.2D.2解析 因为綈p：xR，2x3x，要使(綈p)q为真，所以綈p与q同时为真.由x22x，得x1或x2.由知x2.答案 D 逻辑推理突破双变量“
14、存在性或任意性”问题 逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1 形如“对任意x1A，都存在x2B，使得g(x2)f(x1)成立”的问题【例 1】已知函数 f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)196 x13，若对任意 x11，1，总存在 x20，2，使得 f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数 a 的取值范围.解 由题意知，g(x)在0，2上的值域为13，6.令h(x)f(x
15、)2ax3x22xa(a2)，则 h(x)6x2，由 h(x)0 得 x13.当 x1，13 时，h(x)0，所以h(x)minh13 a22a13.又由题意可知，h(x)的值域是13，6 的子集，所以h（1）6，a22a1313，h（1）6，解得实数 a 的取值范围是2，0.思维升华 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.类型2 形如“存在x1A及x2B，使得f(x1)g(x2)成立”的问题【例 2】已知函数 f(x)2x3x1，x12，1，13
16、x16，x0，12，函数 g(x)ksinx6 2k2(k0)，若存在 x10，1及 x20，1，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 k 的取值范围.解 由题意，易得函数 f(x)的值域为0，1，g(x)的值域为22k，23k2，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即 22k1 或 232k0，解得 k43，所以，要使两个值域有公共部分，k 的取值范围是12，43.思维升华 本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相
17、等”来求解参数的取值范围.类型3 形如“对任意x1A，都存在x2B，使得f(x1)g(x2)成立”的问题【例 3】已知函数 f(x)x4x，g(x)2xa，若x112，1，x22，3，使得 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围是_.解析 依题意知f(x)maxg(x)max.f(x)x4x在12，1 上是减函数，f(x)maxf12 172.又g(x)2xa在2，3上是增函数，g(x)max8a，因此172 8a，则 a12.答案 12，思维升华 理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)maxg(x)max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式，求得a的取值范围.思考1：在例3中，若把“x22，3”变为“x22，3”时，其它条件不变，则a的取值范围是_.问题“等价转化”为f(x)maxg(x)min，请读者完成.思考 2：在例 3中，若将“x112，1”改为“x112，1”，其它条件不变，则a 的取值范围是_.问题“等价转化”为 f(x)ming(x)max，请读者自行求解.
