1、三等差数列的定义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知an为等差数列,a2+a8=12,则a5等于()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选C.a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12,所以a1+4d=6,所以a5=6.2.在等差数列an中,a3=0,a7-2a4=-1,则公差d等于()A.-2 B.- C. D.2【解析】选B.由题意,得解得3.由a1=2,d=3确定的等差数列,当an=299时,序号n等于()A.99 B.100 C.96 D.101【解析】选B.因为a1=2,d=3,所以an=2
2、+3=3n-1,若an=299=3n-1,则n=100.4.在等差数列an中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于()A.-9 B.-8 C.-7 D.-4【解析】选B.由an=am+(n-m)d(m,nN*),得d=.所以d=3.所以a1=a2-d=-8.5.已知数列是等差数列,数列分别满足下列各式,其中数列必为等差数列的是()A.bn=|an| B.bn=C.bn= D.bn=-【解析】选D.设数列的公差为d,选项A,B,C,都不满足bn-bn-1=同一常数,所以三个选项都是错误的;对于选项D,bn-bn-1=-+=-,所以数列必为等差数列.6.(多选题)若数列an满足a1=1,3an+
3、1=3an+1,nN*,则数列an是()A.公差为1的等差数列B.公差为的等差数列C.通项公式为an=+的等差数列D.通项公式为an=+1的等差数列【解析】选BC.由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即an+1-an=.所以数列an是公差为的等差数列. 又因为a1=1,得到an=1+=+,故选BC.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在等差数列an中,若a1=5,d=2,则a10=_;若已知a1=3,d=4,an=59,则n=_.【解析】a10=a1+(10-1)d=5+92=23.因为an=a1+(n-1)d,所以59=3+4(n-1),解得n=15.答案:23158.等差
4、数列1,-1,-3,-5,-89的项数为_.【解析】因为a1=1,d=-1-1=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+3.由-2n+3=-89,得n=46.答案:46三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等差数列满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求首项及公差;(2)求的通项公式.【解析】(1)设等差数列的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. (2)由(1)可知an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,).10.已知等差数列an:3,7,11,15,.(1)135,4m+19(mN*)是数列an中的项吗?试
5、说明理由;(2)若ap,aq(p,qN*)是数列an中的项,则2ap+3aq是数列an中的项吗?并说明你的理由.【解析】因为a1=3,d=4,所以an=a1+(n-1)d=4n-1.(1)令an=4n-1=135,所以n=34,所以135是数列an中的第34项.令an=4n-1=4m+19,则n=m+5N*.所以4m+19是an中的第m+5项.(2)因为ap,aq是an中的项,所以ap=4p-1,aq=4q-1.所以2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q-1)=8p+12q-5=4(2p+3q-1)-1,因为2p+3q-1N*,所以2ap+3aq是an中的第2p+3q-1项.(35分钟70分
6、)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.我国古代著名的周髀算经中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷(gu)长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分;且“冬至”时日影长度最大,为1 350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为()A.953分 B.1 052分C.1 151分 D.1 250分【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分,且“冬至”时日影长度最大,为1 350分;“夏至”时日影长度最小,为16
7、0分.从“冬至”到“立春”有:“小寒”和“大寒”,且日影长变短,所以“立春”时日影长度为:1 350+3=1 052(分).2.若锐角三角形的三边长成公差为2的等差数列,且各边长为整数,则此三角形周长的最小值为()A.9B.12C.24D.27【解析】选D.设此三角形的三边长分别为a,a+2,a+4,因为其为锐角三角形,所以a2+(a+2)2-(a+4)20,解得a6,由题意a为整数,且能构成三角形,故当周长取最小值时a=7,此时周长为27.3.在数列an中,a1=1,an+1=an+1,则a2 020等于()A.2 018B.2 019C.2 020 D.2 021【解析】选C.由于an+1
8、-an=1,则数列an是等差数列,且公差d=1,则an=a1+(n-1)d=n,故a2 020=2 020.4.(多选题)等差数列an的首项为a,公差为1,数列bn满足bn=.若对任意nN*,bnb6,则实数a的可能取值是()A.-7B.-6.5C.-6.3D.-6【解析】选BC.因为an是首项为a,公差为1的等差数列,所以an=n+a-1.所以bn=1-.又因为对任意的nN*,都有bnb6成立,可知,又因为数列an是递增数列,则必有7+a-10,所以-7a-6.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知an为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=_.【解析】因为an为等差数
9、列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,所以,解得a1=-10,d=3,所以a3=a1+2d=-10+6=-4.答案:-46.已知数列an中,a3=2,a7=1,且数列为等差数列,则a5=_.【解析】由数列为等差数列,设公差为d.则有-=2d=-,可解得a5=.答案:7.数列满足:log2an+1=1+log2an,若a3=10,则a8=_.【解析】log2an+1=1+log2an,所以log2an+1-log2an=1,所以为等差数列,公差为1,第三项为log210,所以log2a8=log210+5,所以a8=320.答案:3208.在等差数列an中,若a1+a2=3,a3+a4=5,则
10、a7+a8等于_.【解析】设公差为d,则因为a1+a2=3,a3+a4=5,所以2a1+d=3,2a1+5d=5,所以d=,即得a1=,所以a7+a8=2a1+13d=2+13=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知f(x)=,在数列xn中,x1=,xn=f(xn-1)(n2,nN*),试说明数列是等差数列,并求x95的值.【解析】因为当n2时,xn=f(xn-1),所以xn=(n2),即xnxn-1+2xn=2xn-1(n2),得=1(n2),即-=(n2).又=3,所以数列是以3为首项,为公差的等差数列,所以=3+(n-1)=,所以xn=,所以x95=.10.数列an满足
11、a1=1,an+1=(n2+n-)an(n=1,2,),是常数.(1)当a2=-1时,求及a3的值;(2)是否存在实数使数列an为等差数列?若存在,求出及数列an的通项公式;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由于an+1=(n2+n-)an(n=1,2,),且a1=1.所以当a2=-1时,得-1=2-,故=3.从而a3=(22+2-3)(-1)=-3.(2)数列an不可能为等差数列,证明如下:由a1=1,an+1=(n2+n-)an,得a2=2-,a3=(6-)(2-),a4=(12-)(6-)(2-),若存在使an为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-)(2-)=1-,解得=3.于
12、是a2-a1=1-=-2,a4-a3=(11-)(6-)(2-)=-24.这与an为等差数列矛盾.所以,不存在使an是等差数列.11.已知数列an满足a1=3,anan-1=2an-1-1.(1)求a2,a3, a4;(2)求证:数列是等差数列,并求出an的通项公式.【解析】(1)因为anan-1=2an-1-1,a1=3,所以a2=,a3=,a4=.(2)证明:易知an-10,an=2-.当n2时,-=-=-=-=1,所以是以=为首项,以1为公差的等差数列,=+(n-1)1=n-,所以an=+1=.【补偿训练】 已知数列an满足:a1=10,a2=5,an-an+2=2(nN*).求数列an的通项公式.【解析】因为a1=10,a2=5,an-an+2=2(nN*),所以数列an的奇数项、偶数项均是以-2为公差的等差数列.当n为奇数时,an=a1+(-2)=11-n,当n为偶数时,an=a2+(-2)=7-n,所以an=
