1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）能力测试试题卷（宁大附中第三次模拟考试） 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分）1、已知集合，则( )A. B.C.D.2、已知复数z满足,则z的虚部是( )A.2B.-2C.D.3、已知等差数列的前n项和为，则( )A.3B.6C.9D.124、在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，下图是各国公布的2020年第二季度国内生产总值（GDP）同比增长率，现从
2、不包含日本的另外7个国家中任取1个国家，则这个国家和日本相比增长率差的绝对值大于5%的概率为（ ）ABCD5、若直线的倾斜角为，则的值为（ ）A. B. C. D. 6、设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A.B.C. D. 7、若满足约束条件,则目标函数的最大值为( )A.B.C.6D.88、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A.若，且，则B.若，且，则C.若，且，则D.若，且，则9、已知双曲线为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为.若为直角三角形，则( )A.B.3C.D.410、元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首
3、诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的，则一开始输入的x的值为（ ）A.B.C.D.11、已知奇函数在R上是增函数，.若， 则的大小关系为（ ）A. B.C.D.12、已知是椭圆上的动点，过点作圆的两条切线分别与圆相切于点，直线与轴、轴分别相交于两点，则(为坐标原点)面积的最小值为( )A.1B.C.D.二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分）13、已知与的夹角为，则的值为_.14、在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“
4、丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”.四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_.15、已知数列的通项公式为，记数列的前项和为.若，则数列的通项公式为_.16、如图，在三棱锥中，是边长为1的等边三角形，点分别在棱上，平面平面，若，则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为 .三、解答题：（本大题共6个小题，共计70分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）（一）必考题：共60分17、（12分）在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角；
5、(2)若，求的最小值.18、（12分）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费.对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次数第1次第2次第3次第4次5次收费比例10.950.900.850.80该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数1次2次3次4次5次频数60201055假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元根据所给数据，解答下列问题：（1）以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率
6、.（2）某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润.（3）以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取2人进一步了解情况，求抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次的概率.19、（12分）如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点E是的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积.20、（12分）已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上(1)若,求抛物线的标准方程；(2)若直线与抛物线C交于两点,点N的坐标为,且满足,原点O到直线的距离不小于,求p的取值范围.21、（12分）已知.（1）若，求的极值.
7、（2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分22、（10分）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线M的参数方程为（为参数），过原点O且倾斜角为的直线l交M于两点（1）求l和M的极坐标方程；（2）当时，求的取值范围23、（10分）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若的最大值为m,正数满足,求证：.高三第三次模拟考试数学（文科）答案一、 选择题15：C B B C A 610：D C B B C 11-12：C D二、填空题13、 4 14、 甲15、 n 16、 三、解答题17.答案：(1)中，由正弦定理知，.(2) 由(1)及
8、得，(3) 当且仅当时取等号，故的最小值为.18.答案：（1）随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有(位)，所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率.（2）第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为(元)，第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为(元)，第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为(元)，第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为(元)，第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为(元)所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为(元).（3）由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人，这6人中，将消费3次的会员分别记为，消费4次的会员分别记为.从6人
9、中随机抽取2人的情况有，共15种.设“抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次”为事件A，则事件A包含的情况有，共8种.根据古典概型的概率计算公式可得，.,19.答案：（1）连接，设，连接.因为四边形是菱形，所以点是的中点.又因为是的中点，所以是三角形的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为四边形是菱形，且，所以.又因为，所以三角形是正三角形.取的中点，连接，则.又平面平面，平面，平面平面，所以平面.在等边三角形中，.而的面积.所以. 20.答案：(1)由题意及抛物线的定义得,又点在抛物线C上,所以由解得或。所以抛物线的标准方程为或(2)联立方程得,消去y,整理得。设，由根与系数的关
10、系可得因为,所以又,所以,得由原点O到直线的距离不小于，得,即(舍去)或因为,函数在上单调递增所以,即p的取值范围为21.答案：（1）由题意得，所以.令，得，解得.当时，；当时，；当时，.所以在区间上单调递减；在区间上单调递增.所以的极小值为，极大值为.（2）由，得.令，则.令，得(舍去).当时，；当时，.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.故有极大值，为.而，且，所以实数的取值范围为.22.答案：（1）由题意可得，直线的极坐标方程为曲线M的普通方程为，因为，所以极坐标方程为（2） 设，且，均为正数，将代入，得，当时，所以，根据极坐标的几何意义，分别是点的极径从而当时，故的取值范围是23、答案：（1）当时，由，得，解得，此时；当时，由，得，解得，此时；当时，此时不等式无解.综上所述，不等式的解集为；（2）由1可知.当时，；当时，；当时，.所以，函数的最大值为，则.由柯西不等式可得，即，即，当且仅当时，等号成立.因此，。
