1、第九章 解析几何第九节 直线与圆锥曲线的综合问题第二课时 最值、范围、证明问题栏目导航12课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测最新考纲考情分析核心素养掌握最值、范围、证明问题.最值、范围、证明问题一直是命题热点，主要在解答题中考查，最值、范围问题也常在选择题、填空题中考查，分数均为 12 分.1.逻辑推理2.数学运算 课 堂 考 点 突 破1考点一 最值问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值，以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些问题对于最值问题，一般可以用数形结合的方法或转化为函数的最值问题加
2、以解决；解决最值范围问题时，应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方程的代数特征在解题中的作用【例 1】(2020 届成都摸底)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1(3，0)，F2(3，0)，经过点 A3，12.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 B(4，0)作一条斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，记点 P 关于 x 轴对称的点为 P，若直线 PQ 与 x 轴相交于点 D，求DPQ 面积的最大值解(1)由椭圆的定义，可知 2a|AF1|AF2|（2 3）2122124，解得 a2.又 b2a2(3)21，椭圆 C 的标准方程为x24y21
3、.(2)由题意，设直线 l 的方程为 xmy4，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 P(x1，y1)由xmy4，x24y21消去 x 可得，(m24)y28my120.16(m212)0，m212.且 y1y2 8mm24，y1y2 12m24.kPQy2y1x2x1y2y1m（y2y1），直线 PQ 的方程为 yy1y2y1m（y2y1）(xx1)，令 y0，可得 xm（y2y1）y1y1y2my14.x2my1y2y1y242m 12m248mm244 24m8m41，D(1，0)SDPQ|SBDQSBDP|12|BD|y1y2|32（y1y2）24y1y26 m212m24.令 t
4、m212，t(0，)，则 SDPQ6tt2166t16t34，当且仅当 t4，即 m2 7时等号成立，DPQ 面积的最大值为34.名师点津最值问题的 3 个求解方法(1)建立函数模型利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值(2)建立不等式模型利用基本不等式求最值(3)数形结合利用相切、相交的几何性质求最值|跟踪训练|1已知椭圆 E：y2a2x21(a1)的离心率为 32，若圆 A：x2(ya)2r2(r0)与椭圆E 相交于 B，C 两点(1)求ABAC的最小值；(2)若 F1，F2 分别是椭圆 E 的上、下焦点，经过点 F1 的直线 l 与椭圆 E 交于 M，N两点，求当OF2N
5、 与OF2M(O 为坐标原点)的面积之和取得最大值时，直线 l 的方程解：(1)因为 eca a21a 32，所以 a2，所以椭圆 E 的方程为y24x21，所以圆心 A 的坐标为(0，2)设 B(x0，y0)，由对称性得 C(x0，y0)，且y204x201，所以ABAC(x0，y02)(x0，y02)(y02)2x20(y02)21y204 54y204y0354y085215.由题意得2y00，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x22 3k4k2，x1x214k2，所以OF2N 与OF2M 的面积之和S12 3|x1x2|32 （x1x2）24x1x2 32 2 3k4k2
6、 244k2 32 16k216（4k2）22 31k2（4k2）2.令 t1k2，则 t1，所以 S2 31k2（4k2）22 3t（t3）22 31t9t61，当且仅当 t3，即 k 2时等号成立，所以当 k 2时，OF2N 与OF2M 的面积之和取得最大值，此时直线 l 的方程为2xy 30 或2xy 30.考点二 范围问题 圆锥曲线中常见范围问题(1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线
7、中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为因变量，另一个元作为自变量求解【例 2】(2019 届郑州市第二次质量预测)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，A 为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，AF1F2 的周长为 42 3，且面积的最大值为 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 B 是椭圆上一动点，线段 AB 的中点为 P，OA，OB(O 为坐标原点)的斜率分别为 k1，k2，且 k1k214，求|OP|的取值范围解(1)由椭圆的定义及AF1F2 的周长为 42 3，可得 2(ac)42 3，ac2 3，当 A 在上(或下)顶点时，AF1F2 的面积
8、取得最大值，即 bc 3，由及 a2c2b2，得 a2，b1，c 3，椭圆 C 的方程为x24y21.(2)当直线 AB 的斜率不存在时，k1k2，k1k214，k112，不妨取 k112，则直线 OA 的方程为 y12x，不妨取点 A2，22，则 B2，22，P(2，0)，|OP|2.当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykxm，x24y24 可得(14k2)x28kmx4m240，64k2m24(4k21)(4m24)16(4k21m2)0，x1x28km14k2，x1x24m2414k2.k1k214，4y1y2x1x20，
9、4(kx1m)(kx2m)x1x2(4k21)x1x24km(x1x2)4m24m2432k2m214k24m20，化简得 2m214k2(满足式)，m212.设 P(x0，y0)，则 x0 x1x224km14k22km，y0kx0m 12m，|OP|2x20y204k2m2 14m22 34m212，2，|OP|22，2.综上，|OP|的取值范围为22，2.名师点津求参数范围的 4 个常用方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式 求
10、参数的范围(4)数形法方程：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解|跟踪训练|2(2019 届石家庄市一模)已知抛物线 C：y22px(p0)上一点 P(x0，2)到焦点 F 的距离|PF|2x0.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 P 引圆 M：(x3)2y2r2(00，解得p2，x01，所以抛物线 C 的方程为 y24x.(2)由题意知，过点 P 引圆(x3)2y2r2(02，所以 9b0)，由题意知122ab2 3，a2，解得a2，b 3，故椭圆 C 的方程为x24y231.(2)证明：易知直线 AP 的斜率存在且不为 0，设直线 AP 的方程为 yk(x2)(k0)，则点
11、 D 的坐标为(2，4k)，记线段 BD 的中点为 E，则 E 的坐标为(2，2k)由yk（x2），x24y231得(34k2)x216k2x16k2120.设点 P 的坐标为(x0，y0)，则2x016k21234k2，x068k234k2，y0k(x02)12k34k2.由(1)知点 F 的坐标为(1，0)，当 k12时，点 P 的坐标为1，32，直线 PFx 轴，点 D 的坐标为(2，2)，此时以 BD 为直径的圆(x2)2(y1)21 与直线 PF 相切当 k12时，直线 PF 的斜率 kPF y0 x014k14k2，直线 PF 的方程为 y4k14k2(x1)，点 E 到直线 PF
12、 的距离d4k14k22k16k2（14k2）212k8k314k214k2|14k2|2|k|.又|BD|4|k|，d12|BD|，以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切综上，当点 P 在椭圆 C 上运动时，以 BD 为直径的圆与直线 PF 恒相切名师点津圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法|跟踪训练|3(2020 届合肥调研)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，左、右顶点分别是 A1，A2，上顶点为 B(0，b)，A1A2B
13、 的面积等于 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 Q(1，0)，P(4，m)，直线 PA1，PA2 分别交椭圆于点 M，N，证明：M，Q，N三点共线解：(1)由椭圆的离心率为 32 得，ca 32，由A1A2B 的面积为 2 得，ab2，a2b2c2，联立，解得 a2，b1，椭圆 C 的方程为x24y21.(2)证明：设点 M，N 的坐标分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)A1(2，0)，直线 PA1 的方程为 ym6(x2)，与椭圆x24y21 联立并整理得(m29)x24m2x4m2360，由2x14m2m29得 x1182m2m29，代入直线 PA1 的方程得y1 6mm29，即 M182m2m29，6mm29.同理可得 N2m22m21，2mm21.Q(1，0)，QM 93m2m29，6mm29，QN m23m21，2mm21，由93m2m29 2mm21m23m21 6mm29知，M，Q，N 三点共线.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测2谢 谢 观 看 THANKS
