1、课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用 基础巩固组1.(2019广东高考模拟)已知平面向量m,n均为单位向量,若向量m,n的夹角为2,则|3m+4n|=()A.25B.7C.5D.72.(2019北京,理7)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2019河北武邑中学调研二,11)已知平面向量a,b满足a(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b夹角的正弦值为()A.-12B.-32C.12D.324.(2019江西九江期末)已知|a|=1,|b|=2,且
2、a(a+b),则a在b方向上的投影为()A.-1B.1C.-12D.125.(2019河北重点高中期末联考)在ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x0),则当BC最小时,ACB=()A.90B.60C.45D.306.(2019黑龙江哈尔滨三中模拟)向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夹角为钝角,则t的取值范围是()A.t23C.t23且t-6D.t|BC|AB+AC|AB-AC|AB+AC|2|AB-AC|2ABAC0AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的充要条件,故选C.3.Da(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,
3、a2+ab=3,ab=-1,设向量a与b夹角为,0,cos =ab|a|b|=-12,sin =1-cos2=32,故选D.4.Ca(a+b),a(a+b)=0,即a2+ab=0,ab=-1,a在b方向上的投影为ab|b|=-12,故选C.5.A由题意BC=AC-AB=(-x-1,2x-2),|BC|=(-x-1)2+(2x-2)2=5x2-6x+5.令y=5x2-6x+5,x0,当x=35,ymin=165,此时BC最小,CA=35,-65,CB=85,45,CACB=3585-6545=0,CACB,即C=90,故选A.6.C因a,b的夹角为钝角,则ab0且不反向共线,ab=-2+3t0,
4、得t23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共线时,23+t=0,得t=-6.此时a=-2b.所以t23且t-6,故选C.7.DAB(AC+AE)=ABAC+ABAE,ABAC的值为|AB|与AC在AB方向投影的乘积.又AC在AB方向的投影为12AB=2,ABAC=42=8,同理ABAE=43=12,AB(AC+AE)=8+12=20,故选D.8.AOAOB=0,OAOB,又|OA|=|OB|=1,OAB为等腰直角三角形.E为OAB的外心,E为AB中点,|OE|=12|AB|=22且BOE=45.OD=12DA,OD=13OA,EDOB=(OD-OE)OB=13OAOB-OEOB=-|OE|
5、OB|cosBOE=-2222=-12.9.-4由题意得a+b=(1+m,-1).a(a+b),a(a+b)=0,即1+m+3=0,m=-4.10.1|a+b|=10,|a-b|=6,分别平方得a2+2ab+b2=10,a2-2ab+b2=6,两式相减得4ab=10-6=4,即ab=1.11.3由|a|=1,|b|=2,且ab=1,得cos=ab|a|b|=12,cos=60.设a=(1,0),b=(1,3),e=(cos ,sin ),(a-b)e=-3sin ,(a-b)e的最大值为3,故答案为3.12.Ba(a+b)=0,|a|=1,a2=-ab=1.向量a,b满足|a+b|=3,a2+
6、2ab+b2=3,b2=4.则|2a-b|=(2a-b)2=4a2-4ab+b2=4+4+4=23,故选B.13.A由已知得9ab=2a2=18ab=2,|2a-9b|=(2a-9b)2=35,得(2a-9b)b|2a-9b|b|=2ab-9b2351=-53,故选A.14.B如图,由AB=3,AD=4得BD=9+16=5,AE=ABADBD=125.又AEEC=AE(EO+OC)=AEEO+AEOC=AEEO+AEAO.AEBD,AEEO=0.又AEAO=|AE|AO|cosEAO=|AE|AO|AE|AO|=|AE|2=14425,AEEC=14425.故选B.15.1+7设D(x,y),
7、由|CD|=1,得(x-3)2+y2=1,向量OA+OB+OD=(x-1,y+3),故|OA+OB+OD|=(x-1)2+(y+3)2的最大值为圆(x-3)2+y2=1上的动点到点(1,-3)距离的最大值,其最大值为圆(x-3)2+y2=1的圆心(3,0)到点(1,-3)的距离加上圆的半径,即(3-1)2+(0+3)2+1=1+7.16.C联立y=x+m,x2+y2=1,消y可得2x2+2mx+m2-1=0.由题意知=-2m2+80,解得-2x2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=m2-12,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2
8、,AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1),AOAB=32,AOAB=x12-x1x2+y12-y1y2=1-m2-12-m2-12+m2-m2=2-m2=32,解得m=22.故选C.17.B以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.当点P的坐标为0,32时,PA(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.18.3如图,过点D作DFCE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.又ABAC=6AOEC=3AD(AC-AE)=32(AB+AC)AC-13AB=32ABAC-13AB2+AC2-13ABAC=3223ABAC-13AB2+AC2=ABAC-12AB2+32AC2,得12AB2=32AC2,即|AB|=3|AC|,故ABAC=3.9
