1、高考调研 第1页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习第二章 函数与基本初等函数高考调研 第2页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习第3课时 函数的单调性和最值高考调研 第3页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习1理解函数的单调性及其几何意义2会运用函数图像理解和研究函数的性质3会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义请注意函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式高考调研 第4页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习课前自
2、助餐 授人以渔 自助餐 课外阅读 题组层级快练 高考调研 第5页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习课前自助餐 高考调研 第6页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习1单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数yf(x)，若对于D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间x1，x2高考调研 第7页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手利用定义证明单调性的一般步骤是
3、a.x1，x2D，且，b.计算并判断符号，c.结论设yf(x)在某区间内可导，若f(x)0，则 f(x)为 增 函数，若f(x)0，则f(x)为减函数x10，则函数f(x)在区间D上是增函数答案(1)(2)(3)(4)高考调研 第12页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习2(课本习题改编)已知f(x)2x2x，x1,3，则其单调递减区间为_；f(x)min_.答案 14，3，15高考调研 第13页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习答案(1)(，1)，(1，)(2)(1,13(1)函数 y1x1x的单调递减区间是_；(2)函数 y1x1x的单调递减区间是
4、_高考调研 第14页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习解析(1)y1x1x1 21x，当 1x0 或 1x0 时，此函数均为减函数，故减区间为(1，)，(，1)(2)由1x1x0，得 x(1,1，此即为递减区间高考调研 第15页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习4 函 数 f(x)log0.5(x2 2x 8)的 单 调 递 增 区 间_；单调递减区间_答案(，2)，(4，)解析 先求函数的定义域，令x22x80，得x4或x2，通过图像得函数ux22x8，在x4时，单调递增，在x2时递减，所以原函数f(x)log0.5(x22x8)在(4，)上递减，
5、在(，2)上递增高考调研 第16页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习讲评 求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，在定义域的基础上，划分单调增(减)区间，因此，函数的单调区间应是定义域的子集高考调研 第17页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习5已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若ab0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)0，ab，ba.f(a)f(b)，f(b)f(a)，选A.高考调研 第18页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习授人以渔 高考调研 第19页第
6、二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习题型一单调性的判断与证明例 1 已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数【解析】证明：设 x1，x2 是任意两个正数，且 0 x1x2，则 f(x1)f(x2)(x1ax1)(x2ax2)x1x2x1x2(x1x2a)高考调研 第20页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【答案】略当 0 x1x2 a时，0 x1x2a，又 x1x20，即 f(x1)f(x2)所以函数 f(x)在(0，a上是减函数；当 ax1a，又 x1x20，所以 f(x1)f(x2)0，
7、即 f(x1)0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围思考题1【解析】(1)证明 任设 x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)f(x)在(，2)上单调递增已知 f(x)xxa(xa)高考调研 第23页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【答案】(1)略(2)0a1(2)解 任设 1x10，x2x10，要使 f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0 恒成立，a1.综上所述知 0a1.高考调研 第24页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习例2 求下列函数的单调区间(1)f(x)x22|x|3；题型二求函数的单调区间(2)f(x)log
8、12(x24x5)；(3)yxlnx.【解析】(1)f(x)x22x3 x0，x22x3 x0，1x0.y11xx1x.x(0,1)1(1，)y0y高考调研 第28页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【答案】(1)单调递增区间为(，1，0,1 单调递减区间为1,0，1，)(2)单调递增区间为(2,5)，单调递减区间为(1,2(3)单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)高考调研 第29页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习探究2 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2
9、)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：求函数的定义域；求简单函数的单调区间；求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”(6)求函数单调区间，定义域优先高考调研 第30页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习求下列函数的单调区间(1)f(x)x|1x|；思考题2(2)f(x)132xx2；(3)y3x26lnx.【解析】(1)f(x)2x1x1，1x1，画图知单调递增区间为(，1高考调研
10、第31页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(2)32xx20，3x0，得 x1，单调递增区间为(1，)由 y0，得 0 x0 恒成立，试求实数 a的取值范围高考调研 第34页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【解析】(1)当 a12时，f(x)x 12x2，联想到 g(x)x1x的单调性，猜想到求 f(x)的最值可先证明 f(x)的单调性任取 1x1x2，则 f(x1)f(x2)(x1x2)(12x1 12x2)x1x22x1x212x1x2.高考调研 第35页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习1x11，2x1x210.又 x1
11、x20，f(x1)0.这样问题就转化为求g(x)的最小值(a)，从而得到关于a的不等式，解之即可(2)用等价变换和函数思想解题在区间1，)上，f(x)x22xax0 恒成立x22xa0 恒成立高考调研 第37页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习g(x)(x1)2a1，对称轴为x1，且开口向上所以g(x)在1，)上递增所以g(x)在1，)上的最小值为g(1)3a.由3a0，得a3.【答案】(1)72(2)a3高考调研 第38页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习探究3(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎
12、成为首选方法(2)函数的最值与单调性的关系：若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)高考调研 第39页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习思考题3求函数 f(x)x1x在1,3上的最值【解析】方法一：设 1x1x23，f(x2)f(x1)x21x2(x11x1)x2x11x11x2x2x1x2x1x1x2(x2x1)(1 1x1x2)，高考调研 第40页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习1x10.f(x)x1x在1,
13、3上为增函数最小值为 f(1)0，最大值为 f(3)83.方法二：在1,3上，yx 为增函数，y1x为减函数，yx1x为增函数，以下同方法一【答案】最小值为 f(1)0，最大值为 f(3)83高考调研 第41页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习例4(1)已知函数yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，则实数a的取值范围是_【解析】设u2ax，a0且a1，函数u在0,1上是减函数由题意可知函数ylogau在0,1上是增函数，a1.又u在0,1上要满足u0，题型四单调性的应用高考调研 第42页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【答案】(1,2)2a1
14、0，2a00，得 a2.综上得 1a2.高考调研 第43页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(2)已知f(x)的定义域为(0，)，且在其上为增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(2)1，试解不等式f(x)f(x2)3.【解析】f(2)f(2)f(4)，f(2)1，f(4)2.321f(4)f(2)f(8)f(x)f(x2)fx(x2)，原不等式为fx(x2)f(8)高考调研 第44页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习根据函数的定义域和单调性有【答案】x|2x4x0，x20，xx282x4.原不等式的解集为x|2x4高考调研 第45页第二章 函数
15、与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习探究4 已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点，主要体现对性质的应用高考调研 第46页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(1)已知函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(x22x3)0，x22x36.x22x30，3x1.【答案】3x1思考题4高考调研 第47页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(2)已知 f(x)2ax1，x0，a1，a2a11，解得 a 的取值范围是32a0)，单调递增区间：(，a，a，)；单调递减区间：a，0)，(0，a高考调研 第49页第二章 函数与基本初等函数新课
16、标版 数学（理）高三总复习4函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“”符号连接5若f(x)具有对称轴xa，则在xa两侧的对称区间上f(x)具有相反的单调性；若f(x)具有对称中心(a，b)，则在xa两侧的对称区间上f(x)具有相同的单调性6函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间高考调研 第50页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习自助餐 高考调研 第51页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习1(2014北京理)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()答案 AAy
17、x1 By(x1)2Cy2xDylog0.5(x1)高考调研 第52页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习解析 A 项，函数 y x1在1，)上为增函数，所以函数在(0，)上为增函数，故正确；B 项，函数 y(x1)2 在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故错误；C 项，函数 y2x12x 在 R 上为减函数，故错误；D项，函数 ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故错误高考调研 第53页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习2若函数yx2bxc(x0，)是单调函数，则实数b的取值范围是()Ab0Bb0Cb0Db0Ck0.高考调研 第55页第
18、二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数答案 A4设函数 f(x)2x1x1(x0)，则 f(x)()高考调研 第56页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习解析 当 x0，(2x1x)(2x)(1x)22x1x2 2，即 2x1x2 2，2x1x12 21，即 f(x)2 21，当且仅当2x1x，即 x 22 时取等号，此时函数 f(x)有最大值，选 A.高考调研 第57页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习答案 5给定函数yx12，ylog12(x1)，y|x1|，y2x1，其中在区间(0,1)上是
19、单调递减的函数的序号是_高考调研 第58页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习6若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.答案 6解析 画图知a6.高考调研 第59页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习7若函数 f(x)loga(x2ax12)有最小值，则实数 a 的取值范围是_答案(1，2)解析 当 a1 且 x2ax12有最小值时，f(x)才有最小值loga2a24，a1，01a2时，yminf(a)a22.高考调研 第63页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【讲评】利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值
20、范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决高考调研 第64页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习2换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值如可用三角代换解决形如a2b21及部分根式函数形式的最值问题高考调研 第65页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习例 2(1)函数 f(x)x2 1x的最大值为_【解析】设 1xt(t0)，x1
21、t2.yx2 1x1t22tt22t1(t1)22.当 t1 即 x0 时，ymax2.高考调研 第66页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习(2)求函数 yx 4x2的值域【解析】换元法：由 4x20，得2x2，设 x2cos(0，)，则 y2cos 44cos22cos2sin2 2cos(4)，44，54，cos(4)1，22，y2 2，2高考调研 第67页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习3不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法常常使用的基本不等式有以下几种：a2b22ab(a，b 为实数)；ab2 ab(a0，
22、b0)；ab(ab2)2a2b22(a，b 为实数)高考调研 第68页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【思路】先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值例 3 设 x，y，z 为正实数，x2y3z0，则y2xz的最小值为_高考调研 第69页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【解析】因为 x2y3z0，所以 yx3z2，所以y2xzx29z26xz4xz.又 x，z 为正实数，所以由基本不等式，得y2xz6xz6xz4xz3.当且仅当 x3z 时取“”故y2xz的最小值为 3.故填 3.高考调研 第70页第二章 函数与基本初等函数新课
23、标版 数学（理）高三总复习【讲评】本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误高考调研 第71页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习4函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现高考调研 第72页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【思路】先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的
24、最值，然后利用条件求得参数a的值例 4 设 a1，函数 f(x)logax 在区间a,2a上的最大值与最小值之差为12，则 a_.【解析】a1，函数 f(x)logax 在区间a,2a上是增函数，函数在区间a,2a上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa1.loga212，a4.故填 4.高考调研 第73页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【讲评】解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性，这是问题的关键高考调研 第74页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习5导数法设函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x
25、)在a，b上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)，f(b)中的最大值和最小值利用这种方法求函数最值的方法就是导数法例5 函数f(x)x312x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是_【思路】先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值高考调研 第75页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【解析】因为f(x)3x212，所以令f(x)0，得x2或x2(舍去)又f(3)10，f(2)17，f(0)1，比较得，f(x)的最大值为17，最小值为1.【讲评】利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函
26、数值f(a)，f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点高考调研 第76页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习6平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题例 6 已知函数 y 1x x3的最大值为 M，最小值为 m，则mM的值为()A.14 B.12C.22D.32高考调研 第77页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【思路】本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即
27、可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决高考调研 第78页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【解析】由题意，得1x0，x30.所以函数的定义域为x|3x1两边平方，得 y242 1x x342 1xx3.所以当 x1 时，y 取得最大值 M2 2；当 x3 或 1 时，y 取得最小值 m2，选 C.高考调研 第79页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【讲评】对于形如 y acx cxb的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数 y2(ab)2 acxcxb的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得高考调研 第80页第二章 函
28、数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习7数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法【思路】本题实质上是一个分段函数的最值问题先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解例 7 对 a，bR，记 max|a，b|a，ab，b，ab，函数 f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_高考调研 第81页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【解析】由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2.所以 x12.高考调研 第82页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习所以 f(x)|x1|，x
29、12，|x2|，x12.其图像如图所示由图形易知，当 x12时，函数有最小值，所以 f(x)minf(12)|121|32.高考调研 第83页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习8线性规划法线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：由条件写出约束条件；画出可行域，并求最优解；根据目标函数及最优解，求出最值例8 已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：xy4，yx，x1，如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等于_，最大值等于_【思路】本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值高考调研 第84页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习【解析】由题意，得点 P(x，y)的坐标满足xy4，yx，x1.高考调研 第85页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习画出可行域，如图所示由条件，得 A(2,2)，|OA|2 2；B(1,3)，|OB|10；C(1,1)，|OC|2.故|OP|的最大值为 10，最小值为 2.高考调研 第86页第二章 函数与基本初等函数新课标版 数学（理）高三总复习题组层级快练
