1、第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上_都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是_两点所有的点经过这个公共点的一条直线公理3：经过_，有且只有一个平面推论1：经过_，有且只有一个平面推论2：经过_，有且只有一个平面推论3：经过_，有且只有一个平面两条平行直线不在同一直线上的三点一条直线和这条直线外一点两条相交直线2.空间两条直线的位置关系 位置关系共面情况公共点个数相交在同一个平面内_平行_没有异面不同在任何一个平面内没有在同一个平面内有且只有一个3.平行直线的公
2、理及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线_(2)等 角 定 理：如 果 一 个 角 的 两 边 和 另 一 个 角 的 两 边_，那么这两个角_互相平行分别平行并且方向相同相等4.异面直线所成的角如果a，b是两条异面直线，那么经过空间任意一点O，作直线aa，bb，直线a和b所成的_叫做异面直线a，b所成的角锐角(或直角)基础达标1.(必修2P22练习2改编)用符号表示“点A在直线l上，直线l在平面内”为_Al，la2.下列命题中不正确的是_(只填序号)三点确定一个平面；两条直线确定一个平面；两两相交的三条直线一定在同一平面内；过同一点的三条直线不一定在同一平面内解析：根据公理3及其
3、推论知不正确，中两两相交的三条直线若交于三点则一定在同一平面内，若交于一点则可能在同一平面内，也可能不在同一平面内，是正确的3.(必修2P27练习6改编)设直线a，b，c，则下列命题正确的是_(只填序号)若ab，bc，则ac；若ab，ca，则cb；若ac，bc则ab；若ac，bc，则ab.4.(必修2P27习题7改编)如果a，b是两条异面直线，点A，Ba，点C，Db，则AC与BD的位置关系是_解析：由平行公理知是正确的；在中ca即c与a所成角是90，由ab得b与c所成角也是90，即有cb，故正确；在平面中是正确的，但在空间中是不正确的；中可能为相交、异面或平行，故不正确异面解析：若AC与BD共
4、面，则点A，B，C，D共面，则AB与CD共面，即直线a，b共面，与题意矛盾，故AC与BD异面5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，设AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角的大小为_90解析：如图，取AA1中点P，连结PB，PN，则NP与BC平行且相等，则四边形NPBC为平行四边形，从而PBNC，易证在正方形AA1B1B中PBB1M，则 NCB1M，故异面直线B1M与CN所成的角为90.经典例题题型一 点线面的位置关系【例1】下列命题：空间不同三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；梯形是平面图形；四边形是平面图形；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条
5、相交；两组对边分别相等的四边形是平行四边形其中正确的命题是_(填写所有正确命题的序号)分析：根据公理及其推论来作出判断 解：由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以均错；根据两条平行直线确定一个平面知是正确；四个点可能不共面，所以四边形不一定是平面图形，故错；在平面中，这个结论是正确的，但是在空间中，一条直线和两平行线中的一条相交，与另一条可能相交，也可能异面，故错；两组对边相等的四边形不一定是平面图形，故错综上，只有是正确的题型二 共面问题【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形分析：依据公理3的推论来证明证
6、明：E，F分别是AB，BC的中点，EFAC.H，G分别是AD，CD的中点，HGAC，EFHG，四边形EFGH是平行四边形1212变式21 已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，判断四边形EFGH的形状CFCBCGCD23解：如图，因为E，H分别是AB，AD的中点，所以EHBD，且EH=BD，又=，所以FGBD且FG=BD，所以EHGF，EHFG，所以四边形EFGH为梯形12CFCBCGCD2323题型三 三点共线问题【例3】如图，在四面体ABCD中，作截面PQR.若PQ、RQ、RP和CB、DB、DC的延长线分别交于M、N、K，求证：M
7、、N、K三点共线分析：依据公理2证明证明：MPQ，PQ平面PQR，M平面PQR.MBC，BC平面BCD，M平面BCD.M是平面PQR与平面BCD的公共点题型四 三线共点问题【例4】如图所示，在四面体ABCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有，求证：EF、GH、BD交于一点O.DFFCDHHA14分析：先证明GH，EF交于一点O，再证明O也在BD上.证明：E、G分别BC、AB的中点，EGAC.=，HFAC，EGHF，但EGHF，E、F、H、G四点共面且四边形EFHG是梯形，EF与GH相交于点O，OGH，OEF.12DFFCDHHA1415又GH平面ABD，EF平面BC
8、D，O平面ABD，O平面BCD.又平面ABD平面BCD=BD，OBD，即EF、GH、BD交于一点O.变式41如图，已知平面，两两相交有三条交线a，b，c，若abP，证明直线c也过P点.证明：ab=P，Pa，Pb.又b=a，a=b，则ab，ba，则Pa，Pb，又ab=c，Pc.(2010全国)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_知识准备：1.知道异面直线所成角的定义；2.能够通过平移直线的办法将异面直线所成的角转化成平面角链接高考60解析：如图，延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B或其邻补角就是异面直线BA1与AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形，DA1B=60，故填60.
