1、高考资源网（） 您身边的高考专家2019届新疆维吾尔自治区高三年级第三次毕业诊断及模拟测试理科数学试题一选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.1.( )A. iB. -iC. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算，即得解.【详解】化简：故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2.已知集合,集合,那么集合( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由交集的定义即得解.【详解】集合,集合,由交集的定义：故选：D【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3.双曲
2、线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线，求得，再由离心率的公式，即可求解【详解】由双曲线，可得，则，所以双曲线的离心率为，故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质求解，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.已知数列是等差数列,其前5项和,则为( )A. 14B. 15C. 11D. 24【答案】C【解析】【分析】由等差中项，可求得，前n项和公式可求得，可得解d，即得解.【详解】数列是等差数列,故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质及前n项和，考查了学生概念
3、理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.5.运行如图所示的程序框图若输出的s的值为55则在内应填入( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的循环条件，依次计算，即得解【详解】初始： ；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足输出条件；故选：C【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.6.函数图象可能为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数定义域，函数为奇函数，结合分析即得解.【详解】函数定义域：，在无定义，
4、排除C，由于，故函数为奇函数，关于原点对称，排除B，且，故排除D故选：A【点睛】本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.7.已知,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式，以及二倍角公式，即得解.【详解】由诱导公式：，再由二倍角公式：故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.8.已知等比数列的各项均为正数,且,则( )A. 6B. 9C. 18D. 81【答案】C【解析】【分析】由对数运算律：，可得解，由等比中项的性质，即得解.详解
5、】由于由等比中项的性质，故选：C【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9.若展开式的常数项等于-80，则（ ）A. -2B. 2C. -4D. 4【答案】A【解析】【分析】用展开式中的常数项（此式中没有此项）乘以2加上展开式中的系数乘以1即得已知式展开式的常数项【详解】由题意，解得故选A【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则10.已知抛物线的焦点为F准线为1,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,且Q位于第四象限,过Q作l的垂线QE,垂足为E,若PF的倾斜角为60,则的面积是( )A. B
6、. C. D. 【答案】A【解析】【分析】表示PF方程为,与抛物线方程联立，求解Q点坐标，求解面积.【详解】由已知条件抛物线准线为，焦点为,直线PF倾斜角为60,故斜率，方程为：代入抛物线方程可得：解得：由于Q在第四象限故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11.某几何体的三视图如图所示,网格纸上的小正方形边长为1,则此几何体的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可还原得到三棱锥，三棱锥可放在如图底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E，F为棱中点，设O为三棱锥外接球的球心，分别为点Q在平面ABC
7、D，平面ECD的投影.由于都为等腰三角形，故分别在中线FG，EG上.构造直角三角形可求解得到，结合即得解.【详解】由题设中的三视图，可得该几何体为如下图所示的三棱锥，放在底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E，F为棱中点，取G为CD中点，连接GF，GE.设O为三棱锥外接球的球心，分别为点O在平面ABCD，平面ECD的投影.由于都为等腰三角形，故分别在中线FG，EG上.由于，在中，设；同理在中，设，外接球半径故外接球的表面积故选：B【点睛】本题考查了三视图和三棱锥的外接球，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.12.已知函数,若与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直
8、线对称,则实数k的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称，即，等价于，数形结合求解.【详解】由于与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则，即所以指数函数与在恒有交点当直线与相切时，由于，设切点此时切线方程：过（0，0）因此：数形结合可知：或时，与有交点又要求在恒有交点，由图像，当时，当时，综上：解得故选：D【点睛】本题考查了函数的对称性问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.二填空题13.已知向量,且,则_.【答案】【解析】【分析】由向量平行的坐标表示，计算即得解.【详解
9、】由于向量,且,由向量平行的坐标表示，故答案为：【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.若实数，满足，则的最小值为_.【答案】-3【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解【详解】由题意，画出不等式组所表示平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着
10、重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题15.如图所示,满足的点(x,y)围成的区域记为A,区城A内的两条曲线分别为函数,图象的部分曲线,若向区域A内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为_.【答案】【解析】【分析】利用定积分可求解区域中非阴影部分面积为，利用割补法即得，再利用面积比即得解.【详解】不妨设与交点为A，则，与x轴交点为B，则；曲线在与x轴所围的曲边梯形面积：故在与y轴所围的曲边梯形面积：由于，互为反函数，图像关于y=x对称，因此图象中两块非阴影部分面积相等，因此故：若向区域A内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为：故答案为：【点睛】本题考查了定积分与几何概
11、型综合，考查了学生数形集合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16.已知长方体，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作于点，作于点，则设，则，由此能求出的最小值【详解】解：作于点，作于点，线段平行于对角面，设，则，在直角梯形中，当时，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，属于中档题三解答题:解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.已知的三个内角，的对边分别为，且.（1）求；（2）若的周长为3，求的最小值.【
12、答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）由正弦定理把条件转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得的关系式，从而可得结论.（2）由余弦定理并代入可得，结合基本不等式可得的范围，从而得出的最小值及此时取值.【详解】（1）由已知及正弦定理得，即，.又，.（2），化简得，代入式得，即，解得或（舍），当且仅当时取“”.，即的最小值为1，此时，且为正三角形.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式的应用，解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.18.某校高三共有1000位学生,为了分析某次的数学考
13、试成绩,采取随机抽样的方法抽取了200位高三学生的成绩进行统计分析得到如图所示频率分布直方图:（1）计算这些学生成绩的平均值及样本方差(同组的数据用该组区间的中点值代替);（2）由频率分布直方图认为,这次成绩X近似服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.(i)求;(ii)从高三学生中抽取10位学生进行面批,记表示这10位学生成绩在的人数,利用(i)的结果,求数学期望.附:;若,则,.【答案】（1）,.（2）(i)(ii)【解析】【分析】（1）由频率分布直方图以及平均值及样本方差的定义即得解；（2）（i）借助可得解；（ii）根据二项分布的期望公式可得解.【详解】（1）由频率分布直方图
14、知:（2）(i)由（1）知,(ii)由题意知【点睛】本题考查了概率统计综合，考查了学生数据处理，概念理解，数学运算能力，属于中档题.19.如图1,在梯形ABCD中,过A,B分别作CD的垂线,垂足分别为E,F,已知,将梯形ABCD沿AE,BF同侧折起,使得平面平面ABFE,平面平面BCF,得到图2. （1）证明:平面ACD;（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）设,取AC中点M,连接OM，DM，可证明四边形DEOM为平行四边形 可得，即得证；（2）建立如图空间直角坐标系，求解平面ADF，平面ADC的法向量，由二面角的向量公式即得解.【详解】（1）设,取AC
15、中点M,连接OM，DM四边形ABFE为正方形 为AF中点 M为AC中点 平面平面ABFE平面平面 平面ABFE平面ADE又平面平面BCF 平面平面ABFE 同理,平面ABFE又, 四边形DEOM为平行四边形 平面ADC,平面ADC 平面ADC（2）由题意EA，EF，ED两两垂直，以EA为x轴,EF为y轴,ED为z轴建立空间直角坐标系, 设平面ADF的法向量为,设平面ADC的法向量为设二面角的平面角为,由图像得为锐角，【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.20.已知点，动点P到直线的距离与动点P到点F的距离之比为.（1）求动点P的轨迹C
16、的方程；（2）过点F作任一直线交曲线C于A,B两点，过点F作AB的垂线交直线于点N；求证：ON平分线段AB.【答案】（1）.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设，几何关系代数化，得到，化简即得解；（2）设AB的直线方程为，与椭圆联立得到M点坐标，表示直线ON方程，验证M在ON上即可.【详解】（1）设,则化简得（2）设AB的直线方程为则NF的直线方程为联立得直线ON的方程为联立得设,则设AB的中点为,则将点M坐标代入直线ON的方程点M在直线ON上 点M平分线段AB【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21.已知函数(且)（1）求在上的
17、最小值;（2）若,函数恰有两个不同的零点,求证:.【答案】（1）当时,的最小值为;当时,的最小值为（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导研究函数单调性，分类讨论极值点与边界点2的大小关系，分，两种情况讨论即得解；（2）转化为，其中，则，证明即得证.【详解】（1）定义域,由时,;时,若即时,在上单调递增,故在的最小值为;当时,在上单调递减,在单递增,故在最小值为综上,当时,在上的最小值为;当时,在的最小值为（2）当时,不妨设,得,故令,则,所以,故,令,而,所以在上单调递增又,所以,而,故【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.2
18、2.已知在极坐标系中,直线l的极坐标方程为,曲线C的极坐标方程为.以极点为原点极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系.（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程;（2）已知过点且与直线l平行的直线与曲线C交于P,Q两点,求的值.【答案】（1）;.（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化公式，即得解直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）表示直线l的参数方程与圆联立，利用t的几何意义，借助韦达定理即得解.【详解】（1）由于由于;（2）设过点且与直线l平行的直线的参数方程为(t为参数)由 得设P,Q两点分别对应的参数为则【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了极坐标与直角坐标互化，参
19、数方程的几何意义，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23.已知函数.（1）解不等式;（2）若恒成立,求实数a的取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）将f(x)分段表示，分段求解不等式即可；（2）令,表示过定点的一条直线,数形结合即得解a的范围.【详解】（1）当时原不等式可化为,解得,解集为当时,原不等式可化为,解得,解集为当时,原不等式可化为,解得,解集为综上所述,原不等式得解集为（2）令,表示过定点的一条直线,分别作出,的图象如下:由图象可知,a的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生综合分析，分类讨论，数形结合的能力，属于中档题.- 23 - 版权所有高考资源网
