1、2016-2017学年甘肃省嘉峪关一中高二（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合A=x|12x+13，则AB=（）Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2Dx|0x12函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A（，1）B（，）C（0，）D（1，+）3函数f（x）=x3x21有零点的区间是（）A（0，1）B（1，0）C（1，2）D（2，3）4已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A90B120C150D1805设f（x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，f（2）=0，
2、则f（x）0的解集为（）A（2，0）（2，+）B（2，0）（0，2）C（2，0）D（，2）（0，2）6如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中面积最小的面的面积为（）A4B4C4D87设函数f（x）=，则f（6）+f（log25）=（）A3B6C9D158已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A36B64C144D2569函数f（x）=ln（4+3xx2）的单调递减区间是（）A（，+）B（3，+）C，4D，4）10已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=CD=4，EF=2，则EF与A
3、B所成的角为（）A30B45C60D9011若f（x）=（m2）x2+2mx+1是偶函数，则f（1），f（0），f（2）从小到大的顺序是（）Af（0）f（2）f（1）Bf（1）f（2）f（0）Cf（2）f（1）f（0）Df（0）f（1）f（2）12给出下列四个命题，其中假命题的序号是（）垂直于同一条直线的两条直线互相平行两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内若一个平面内有两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x2x则f（
4、1）= 14函数y=loga（x3）+3（a0且a1）恒过定点 152log32log3+log383log55= 16已知菱形ABCD中，AB=2，A=120，沿对角线AC折起，使二面角BACD为60，则点B到ACD所在平面的距离为 三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD（）求证：AD平面PBC（）求证：AC平面PDB18（12分）已知函数f（x）=（x2）（）判断函数f（x）在区间2，+）上的单调性，并利用定义证明你的结论；（）求函数f（x）的值域19（12分）设函数f（x）=，求不等式
5、f（x）1的解集20（12分）设A=x|x2+4x=0，B=x|x2+2（a+1）x+a21=0，其中xR，如果AB=B，则实数a的取值范围 21（12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是AB的中点（1）证明：BD1平面A1DE（2）证明：D1EA1D（3）求二面角D1ECD的正切值22（12分）已知二次函数f（x）=x2+ax+b，且方程f（x）=17有两个实根2，4（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式f（x）x在区间2，4上恒成立，试求实数的取值范围2016-2017学年甘肃省嘉峪关一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一
6、、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合A=x|12x+13，则AB=（）Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2Dx|0x1【考点】1E：交集及其运算【分析】根据已知条件我们分别计算出集合A，B，然后根据交集运算的定义易得到AB的值【解答】解：A=x|12x+13=x|1x1，=x|0x2故AB=x|0x1，故选B【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据已知条件求出集合A，B是解答本题的关键2函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A（，1）B（，）C（0，）D（1，+）【考点】33：函数的定义域及其求法【分析】
7、函数f（x）=+lg（3x+1）有意义，只需3x+10，且1x0，解不等式组，即可得到所求定义域【解答】解：函数f（x）=+lg（3x+1）有意义，只需3x+10，且1x0，即有x且x1，可得x1，即定义域为（，1）故选：A【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于0，分式的分母不为0和根式的被开方数非负，考查运算能力，属于基础题3函数f（x）=x3x21有零点的区间是（）A（0，1）B（1，0）C（1，2）D（2，3）【考点】52：函数零点的判定定理【分析】利用零点判定定理转化求解即可【解答】解：函数f（x）=x3x21是连续函数，f（1）=111=10，f（2）=841=3
8、0，f（1）f（2）0，所以函数的零点的区间是（1，2）故选：C【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力4已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A90B120C150D180【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】圆锥的侧面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，求出侧面展开图扇形的弧长，可求其圆心角【解答】解：圆锥的侧面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为3，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为3，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：，即120故选：B【点评】本题考查圆锥的侧面展
9、开图，及其面积等知识，考查空间想象能力，是基础题5设f（x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，f（2）=0，则f（x）0的解集为（）A（2，0）（2，+）B（2，0）（0，2）C（2，0）D（，2）（0，2）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得函数在（，0）上为增函数，且f（2）=0，分x0与x0两种情况讨论，分析f（x）0的解集，综合即可得答案【解答】解：根据题意，由于函数f（x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，则函数在（，0）上为增函数，又由f（2）=0，则f（2）=f（2）=0，当x（0，+），函数为增函数，且f（2）=0，f（x）0的解集为（
10、0，2），当x（，0），函数为增函数，且f（2）=0，f（x）0的解集为（，2），综合可得：f（x）0的解集为（，2）（0，2）；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是充分利用函数的奇偶性6如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中面积最小的面的面积为（）A4B4C4D8【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】作出直观图，根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然SPCDSABC由三视图特征可知PA平面ABC，DB平面ABC，ABAC，PA=AB=AC=4，DB=2，BC=4，SABC=8，SPAC=8，SBCD=
11、4S梯形PABD=12BCD的面积最小故选B【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，多面体的面积计算，属于基础题7设函数f（x）=，则f（6）+f（log25）=（）A3B6C9D15【考点】3T：函数的值【分析】由分段函数，结合对数的运算性质和对数恒等式，计算即可得到所求和【解答】解：函数f（x）=，可得f（6）=1+log2（2+6）=1+3=4，f（log25）=2=5，即有f（6）+f（log25）=4+5=9故选：C【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查指数和对数的运算法则，考查运算能力，属于基础题8已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三
12、棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A36B64C144D256【考点】LG：球的体积和表面积【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，利用三棱锥OABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABC=VCAOB=36，故R=6，则球O的表面积为4R2=144，故选C【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大是关键9函数f（x）=ln（4+3xx2）的单调递
13、减区间是（）A（，+）B（3，+）C，4D，4）【考点】3G：复合函数的单调性【分析】由对数式的真数大于0求出函数的定义域，然后求出内函数二次函数的减区间，结合复合函数的单调性求得复合函数的减区间【解答】解：令t=4+3xx2=x2+3x+4，由t0，解得1x4函数f（x）=ln（4+3xx2）的定义域为（1，4）内函数t=x2+3x+4的对称轴方程为x=，在，4）上为减函数，而外函数y=lnt是增函数，函数f（x）=ln（4+3xx2）的单调递减区间是，4）故选：D【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层
14、函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题10已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=CD=4，EF=2，则EF与AB所成的角为（）A30B45C60D90【考点】LM：异面直线及其所成的角【分析】取CD的中点G，连接FG，EG，又E为AC的中点利用三角形的中位线定理可得，FEG即为异面直线EF与AB所成的角或其补角同理可得FG=BC=2，可得EFG为等边三角形进而得出【解答】解：如图所示，取CB的中点G，连接FG，EG，又E为AC的中点FEG即为异面直线EF与AB所成的角或其补角F为BD的中点，同理可得FG=BCEF=FG=EGEFG为
15、等边三角形FEG=60即异面直线EF与AB所成的角为60故选：C【点评】本题考查了异面直线所成的夹角、三角形的中位线定理、等边三角形的定义及其性质，考查了推理能力和计算能力，考查了空间想象能力11若f（x）=（m2）x2+2mx+1是偶函数，则f（1），f（0），f（2）从小到大的顺序是（）Af（0）f（2）f（1）Bf（1）f（2）f（0）Cf（2）f（1）f（0）Df（0）f（1）f（2）【考点】3L：函数奇偶性的性质【分析】根据题意，由二次函数和偶函数的性质分析可得m=0，即可得函数的解析式，分析可得其在区间0，+）上为减函数，比较可得0|1|2|，结合函数的单调性即可得答案【解答】解：
16、根据题意，若f（x）=（m2）x2+2mx+1是偶函数，则其对称轴x=0，即m=0，则函数f（x）=2x2+1，在区间0，+）上为减函数，又由0|1|2|，则f（2）f（1）f（0）；故选：C【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键是求出m的值，确定函数单调性及单调区间12给出下列四个命题，其中假命题的序号是（）垂直于同一条直线的两条直线互相平行两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内若一个平面内有两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线ABCD【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】，在空间垂直于同一条直线的两条直线不一定互相平行；，利用
17、直线与平面的基本性质判断A的正误；，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行，根据空间两条直线的位置关系分别判断即可【解答】解；对于，在同一平面垂直于同一条直线的两条直线互相平行，在空间垂直于同一条直线的两条直线不一定互相平行，故错对于，如图：ab=A，bc=B，ac=C，由两条相交直线a、b确定一个平面，不妨记为，a，b；又Ca，Bb，B，C；又Bc，Cc，c；a、b、c三条直线共面所以正确对于，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行，故错对于：如图（1）a、b是异面直线，c、d与a、b都相交，但是cd是相交直线，所以A不正确；如图（
18、2）c、d是异面直线，所以C不正确；如果c、d 平行则c、d确定唯一平面，所以a、b都在这个平面内，与a、b是异面直线矛盾，所以不正确故选：A【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系，异面直线的判断，考查空间想象能力属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x2x则f（1）=3【考点】3L：函数奇偶性的性质【分析】将x0的解析式中的x用1代替，求出f（1）；利用奇函数的定义得到f（1）与f（1）的关系，求出f（1）【解答】解：f（1）=2+1=3f（x）是定义在R上的奇函数f（1）=f（1）f（1）=3故答案为：3【
19、点评】本题考查奇函数的定义：对任意的x都有f（x）=f（x）14函数y=loga（x3）+3（a0且a1）恒过定点（4，3）【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点【分析】根据对数函数的图象恒过定点（1，0），求出该题的答案即可【解答】解：当x3=1，即x=4时，y=loga（x3）+3=0+3=3，函数y=2loga（x3）+3的图象恒过定点（4，3）故答案为：（4，3）【点评】本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题目152log32log3+log383log55=1【考点】4H：对数的运算性质【分析】利用对数的性质及运算法则直接求解【解答】解：2log32log3+log383
20、log55=log34+log383=3=log393=23=1故答案为：1【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质及运算法则的合理运用16已知菱形ABCD中，AB=2，A=120，沿对角线AC折起，使二面角BACD为60，则点B到ACD所在平面的距离为【考点】MK：点、线、面间的距离计算【分析】由题意画出图形，利用折叠前后的量的关系可得BGD为二面角BACD的平面角，在平面BGD中，过B作BODG，垂足为O，由面面垂直的性质可得BO为B到ACD所在平面的距离然后求解直角三角形得答案【解答】解：如图1，菱形ABCD中，AB=2，A=120，连接AC，BD，交于
21、G，则BGAC，DGAC，且BG=AG=沿对角线AC折起，使二面角BACD为60，如图2，由BGAC，DGAC，可知BGD为二面角BACD的平面角等于60且AC平面BGD，又AC平面ACD，则平面BGD平面ADC，平面BGD平面ADC=DG，在平面BGD中，过B作BODG，垂足为O，则BO平面ADC，即BO为B到ACD所在平面的距离在RtBOG中，由BG=，BGO=60，得BO=故答案为：【点评】本题考查空间中点线面间距离的计算，考查空间想象能力与思维能力，关键是明确折叠问题折叠前后的变量与不变量，是中档题三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）（2
22、017春嘉峪关校级期中）如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD（）求证：AD平面PBC（）求证：AC平面PDB【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定【分析】（）利用线面平行的判定定理，由线线平行线面平行（）由线面垂直得ACPD，由正方形性质得ACBD，由此能证明AC平面PBD【解答】解：（）证明：底面ABCD为正方形，ADBC，又AD平面PBC，BC平面PBC，AD平面PBC（）证明：PD底面ABCD，AC底面ABCD，ACPD，又底面ABCD为正方形，ACBD，而PD与BD交于点D，AC平面PBD，【点评】本题考查了线线垂直、线面垂直，解题时要认真
23、审题，注意空间思维能力的培养属于中档题18（12分）（2017春嘉峪关校级期中）已知函数f（x）=（x2）（）判断函数f（x）在区间2，+）上的单调性，并利用定义证明你的结论；（）求函数f（x）的值域【考点】3E：函数单调性的判断与证明；34：函数的值域【分析】（）根据题意，由作差法证明：设x1x22，化简f（x）的解析式，求出并分析f（x1）f（x2）的符号，由函数单调性的定义即可得答案；（）由（）的结论，分析可得f（x）f（2），又由函数的解析式分析可得f（x）3，综合即可得答案【解答】解：（）函数f（x）=在区间2，+）为增函数，证明如下：设x1x22，f（x）=+3，则f（x1）f（x
24、2）=（+3）（+3）=，又由x1x22，则有f（x1）f（x2）0，故函数f（x）=在区间2，+）为增函数，（）由（）可得：函数f（x）=在区间2，+）为增函数，则有f（x）f（2）=，又由f（x）=+33，则有f（x）3，即函数f（x）的值域为，3）【点评】本题考查函数单调性的判定及应用，注意题干中x的取值范围19（12分）（2017春嘉峪关校级期中）设函数f（x）=，求不等式f（x）1的解集【考点】7E：其他不等式的解法【分析】分别求出各个区间上的x的范围，取并集即可【解答】解：若log4x1，解得：x4，故x1，4，若2x1，解得：x0，故x0，1），综上，不等式的解集是0，4【点评】
25、本题考查了分段函数问题，考查对数函数以及指数函数的转化，是一道基础题20（12分）（2017春嘉峪关校级期中）设A=x|x2+4x=0，B=x|x2+2（a+1）x+a21=0，其中xR，如果AB=B，则实数a的取值范围（，11【考点】1E：交集及其运算【分析】求出A中方程的解确定出A，根据A与B的交集为B，得到B为A的子集，分B为空集与B不为空集两种情况求出a的范围即可【解答】解：由A中方程变形得：x（x+4）=0，解得：x=0或x=4，即A=4，0，由B=x|x2+2（a+1）x+a21=0，其中xR，且AB=B，分两种情况考虑：若B=时，=4（a+1）24（a21）=8a+80，即a1，
26、满足题意；若B时，=4（a+1）24（a21）=8a+80，即a1，此时把x=4代入得：168a8+a21=0，即a=1或a=7（舍去）；把x=0代入得：a=1或1，综上，a的范围为（，11故答案为：（，11【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键21（12分）（2017春嘉峪关校级期中）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是AB的中点（1）证明：BD1平面A1DE（2）证明：D1EA1D（3）求二面角D1ECD的正切值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定；LX：直线与平面垂直的性质【分析】（1）连结AD1交
27、A1D于O，连结EO，由三角形中位线定理，可得OEBD1，进而可由线面平行的判定定理，可得BD1平面A1DE（2）根据正方形的几何特征，可得A1DAD1，由AB平面ADD1A1结合线面垂直的性质可得ABAD1，进而由线面垂直的判定定理可得A1D平面AD1E，再由线面垂直的性质可得D1EA1D（3）由勾股定理可得CEDE，进而由线面垂直的性质可得CED1D，由线面垂直的判定定理得到CE平面D1DE，结合D1E平面D1DE，可得D1ED是二面角D1EDD的一个平面角解三角形D1ED可得二面角D1EDD的正切值【解答】证明：（1）连结AD1交A1D于O，连结EO，则O为AD1的中点，又因为E是AB的
28、中点，所以OEBD1又OE平面A1DE，BD1平面A1DEBD1平面A1DE （4分）（2）由题可知：四边形ADD1A1是正方形A1DAD1 又AB平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1ABAD1 又AB平面AD1E，AD1平面A D1E，ABAD1=AA1D平面AD1E又D1E平面AD1EA1DD1E （8分）解：（3）在CED中，CD=2，CD2=CE2+DE2CEDE又D1D平面ABCD，CE平面ABCDCED1D又D1D平面D1DE，DE平面D1DE，D1DDE=DCE平面D1DE又D1E平面D1DE，CED1ED1ED是二面角D1EDD的一个平面角在D1ED中，D1DE=90，D1
29、D=1，DE=二面角D1EDD的正切值是（12分）【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，解答（1）（2）的关键是熟练掌握空间线面关系判定的判定定理，性质和几何特征，解答（3）的关键是判断出D1ED是二面角D1EDD的一个平面角22（12分）（2017春嘉峪关校级期中）已知二次函数f（x）=x2+ax+b，且方程f（x）=17有两个实根2，4（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式f（x）x在区间2，4上恒成立，试求实数的取值范围【考点】3W：二次函数的性质；3R：函数恒成立问题【分析】（1）由题意可得2，4是x2+ax+b1
30、7=0的两根，运用韦达定理，可得a，b，进而得到f（x）的解析式；（2）运用参数分离可得x+2在2，4的最大值，由对勾函数的单调性，求得最大值，即可得到所求实数的范围【解答】解：（1）方程f（x）=17有两个实根2，4，即为2，4是x2+ax+b17=0的两根，可得2+4=a，24=b17，解得a=2，b=9，则f（x）=x22x+9；（2）若关于x的不等式f（x）x在区间2，4上恒成立，即为=x+2在2，4的最大值，由y=x+2在2，3递减，在3，4递增，可得ymin=3+32=4，x=2时，y=；x=4时，y=即有y的最大值为则的取值范围是，+）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用韦达定理，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性解决，考查运算能力，属于中档题
