1、4用向量讨论垂直与平行知识点一线线垂直、线面垂直 填一填1用向量运算证明两直线垂直如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如图所示，设直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2，则有l1l2v1v2.由上述条件，证明空间两条直线l1l2，可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明v1v20.2线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直3面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行答一答求证：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直提示：如图，b，c是平面内的
2、两条相交直线，直线a满足ab，ac，设p是平面内任意一条直线，则只需证ap.设直线a，b，c，p的方向向量分别是a，b，c，p，只需证ap.因为直线b，c相交，所以b与c不共线由于直线b，c，p在同一平面内，根据平面向量基本定理，存在实数，使得pbc.则ap(ab)(ac)因为ab，ac，所以ab0，ac0，从而ap0，即ap.所以直线a垂直于平面.知识点二线面平行、面面垂直 填一填1用向量方法判断或证明直线与直线平行设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2(如图所示)，则由向量共线的条件，可得l1l2(或l1与l2重合)v1v2.这样在证明l1l2时，结合空间图形，分别在两直线上适当地选取
3、方向向量v1，v2，证明l1l2即可转化为证明v1v2，即证明v1xv2.2线面平行的判定定理(1)定理内容：如果平面外的一条直线平行于这个平面内的一条直线，则平面外的这条直线平行于这个平面(2)用向量法证明线面平行：证明线线平行、线面平行的关键是转化为证向量共线和共面问题，但要注意向量所在直线与所证直线或平面无公共点已知两个非零向量v1，v2与平面共面(如图所示)，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l或在内vv1(或v2)或存在两个实数x，y，使vxv1yv2.这样在证明直线l平面时，转化成证明直线l的一个方向向量v与平面共面的两个向量v1，v2之一平行，即vv1(或vv2
4、)或存在两个实数x，y，使vxv1yv2.3面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直答一答求证：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行提示：如图，已知a与b是平面1内两条相交的直线，且a2，b2.平面1，2的法向量分别是n1，n2，要证12，只需证n1n2.又由于a2，b2，故向量a2，b2，所以n2a，n2b.由于a与b相交，故向量n2也是1的法向量，从而有n1n2.知识点三三垂线定理 填一填若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直答一答如何证明三垂线定理？提示：已知：如图，b是平面外的一条直线，直线c是
5、b在平面上的投影，直线c与平面内一直线a垂直求证：ab.证明：过直线b上任意一点作平面的垂线n.设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，只需证ab.由于b，c，n共面，根据平面向量基本定理，存在实数，使得bcn.则ab(ac)(an)又由于ac，故ac0；因为直线a在平面内，n，故an，即an0.所以ab0，即ab.1利用向量方法证明空间中的线线垂直和线面垂直总结如下：(1)线线垂直：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，若要证明l1l2，只要证ab，即证明ab0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面的法向量是u，若要证l，只需证au.根据线面垂直的判定定理，即要证一条直
6、线垂直于一个平面，若用向量法，只需证明这条直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量分别垂直，即其数量积分别为零即可2用向量法证明空间中的线线平行和线面平行总结如下：(1)线线平行：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，若要证l1l2，只需证ab，即ab(b0)(2)线面平行：设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，若要证l，只需证au，即au0.根据线面平行的判定定理根据共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可3(1)平面法向量的求法：若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：设出平面的法向量为
7、n(x，y，z)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标，a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)根据法向量的定义，建立关于x，y，z的方程组解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有无数个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量如含x1或y1或z1等，便于求解(2)平面法向量的作用：设n1，n2分别是平面，的法向量，则或与重合n1n2；n1n2n1n20.由，证明两个平面平行可转化为证明两个平面的法向量平行由，证明两个平面垂直可转化为证明两个平面的法向量垂直，即证明两个平面的法向量的数量积为零(3)证明面面平行和面面垂直除了利用平面的法向量外，还可以直接利用
8、它们的判定定理证明4关于三垂线定理及其逆定理的几个注意点：(1)三垂线定理及其逆定理合起来可表述为：设l是平面的一条斜线，l是l在内的投影，直线m，则mlml.(2)处于非常规位置上的三垂线定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”，“一个面”就是要确定一个垂面，三条线共处于这个垂面之上，“四条线”就是垂线、斜线、投影以及平面内与投影垂直的第四条直线，这四条线中垂线是关键的一条，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连接射影、寻第四条线题型一线面平行问题【例1】如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBC，点O、D分别是AC、PC的中点，且OAOP，OP平面ABC.求
9、证：OD平面PAB.【思路探究】证明OD平面PAB，一种方法是只需证明与平面PAB的法向量垂直即可，另一种方法是用几何法证明在平面PAB内存在直线与OD平行【证明】证法一：因为ABBC，O为AC的中点，所以OBAC，OAOBOC，如图，建立空间直角坐标系，设OAa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0,0，a)，则D(，0，)所以(，0，)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)则由于(a,0，a)，(a，a,0)，所以令z1，得xy1，所以n(1,1,1)，所以n0，所以n，因为OD不在平面PAB内，所以OD平面PAB.证法二：因为O、D分别是AC、PC的中点，所以，
10、所以，即ODAP，又OD平面PAB，PA平面PAB，所以OD平面PAB.规律方法 解决线面平行问题一般有以上两种解法，但方法一须注意合理建系，正确求解法向量如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN平面A1BD.证明：证法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是(，0，)，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)则n0且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(，0，
11、)(1，1，1)0，n.MN平面A1BD.证法二：()，即MNDA1.又DA1平面A1BD，MN平面A1BD，MN平面A1BD.证法三：()()()0.即可用与线性表示，与，是共面向量平面A1BD，即MN平面A1BD.题型二线面垂直问题【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O平面PAC.【思路探究】欲证B1O平面PAC，只需证明与平面PAC内的两条相交直线都垂直，与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可【证明】如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)
12、，O(1,1,0)于是(1,1,2)，(2,2,0)，(2,0,1)由于220，220.所以OB1AC，OB1AP.又AC平面PAC，AP平面PAC，且ACAPA，所以OB1平面PAC.规律方法 用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD.证明：取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,
13、0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，(1,2，)，(2，1,0)，(1,2，)2200，1430，.即AB1BD，AB1BA1.又BDBA1B，AB1平面A1BD.题型三面面平行问题【例3】正方体ABCDA1B1C1D1的边长为4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点，求证：平面AMN平面EFBD.【思路探究】思路分析一：通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行思路分析二：先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行【证明】证法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0
14、,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，则G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)(2,2,0)，(2,2,0)，(1,1,4)，(1,1,4)可见，MNEF，AGQK.MN平面EFBD，AG平面EFBD.又MNAGG.平面AMN平面EFBD.证法二：由证法一得(2,0,4)，(2,2,0)，(0,2,4)，(2,2,0)设平面AMN的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即即令x11，则n1(1，1，)设平面EFBD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即即令x21，则n2(1，1，
15、)n1n2.平面AMN平面EFBD.规律方法 利用向量证明面面平行可转化为证明两个平面的法向量平行如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心求证：平面EFG平面HMN.证明：证法一：如图，以点D为坐标原点，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)(0，1,1)，(1,1,0)，(0，1,1)，(1,1,0)，.EFHM，FGNH.HM平面HMN，NH平面HMN.EF平面HMN，FG平面HMN.EF平面HMN，FG
16、平面HMN.又EF平面EFG，FG平面EFG，EFFGF，平面EFG平面HMN.证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面EFG的法向量m(x1，y1，z1)，则m(x1，y1，z1)(0，1,1)y1z10，m(x1，y1，z1)(1,1,0)x1y10，从而，得x1y1z1.设x11，则m(1,1,1)设平面HMN的法向量n(x2，y2，z2)，则n(x2，y2，z2)(0，1,1)y2z20，n(x2，y2，z2)(1,1,0)x2y20，从而，得x2y2z2，设x21，则n(1,1,1)mn.平面EFG平面HMN.题型四面面垂直问题【例4】如图，底面ABCD是正方形，AS平面AB
17、CD，且ASAB，E是SC的中点求证：平面BDE平面ABCD.【思路探究】已知AS平面ABCD，可将证明平面BDE平面ABCD转化为寻找平面BDE内一条直线与AS平行；也可通过证明两平面的法向量垂直来证明两平面垂直【证明】方法一：设ABBCCDDAAS1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(，)连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为(，0)因为(0,0,1)，(0,0，)，所以，所以OEAS.又AS平面ABCD，所以OE平面ABCD.又OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.方法二：设ABBCCDD
18、AAS1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(，)设平面BDE的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(，)，所以即令x1，可得平面BDE的一个法向量n1(1,1,0)因为AS平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量n2(0,0,1)，因为n1n20，所以平面BDE平面ABCD.规律方法 若在一个平面内找另一个平面的垂线较为直观，则可采用方法一，否则采用方法二也可利用一个平面的法向量平行于另一个平面进行求解已知：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点求证：平面DEA平面A1FD1.证
19、明：建立空间直角坐标系如图令DD12，则有D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，F(0,1,0)，E(2,2,1)设n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面DEA，平面A1FD1的法向量，则n1，n1.令y11，得n1(0，1,2)同理可得n2(0,2,1)n1n2(0，1,2)(0,2,1)0，知n1n2.平面DEA平面A1FD1.多维探究利用向量知识解决立体几何中的探索性问题、存在性问题对于存在性问题，就是探求平面上或直线上是否存在一点，使得该点与其他点构成的线段是否满足某种垂直或平行于平面的位置关系，常用的方法就是假定存在这样的点
20、，然后在该条件下求该问题，若存在，则一定能求出结果；若不存在，则求解的过程就是要说明的理由向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的距离与夹角、平行与垂直、探索性等问题中体现出巨大的优越性【例5】如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21.在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论【解】存在证明如下：以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)，则由题设条件知，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)
21、，B(a，a,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E(0，a，a)(0，a，a)，(a，a,0)，(0,0，a)，(a，a，a)，(a，a，a)设点F是棱PC上的点，(a，a，a)，其中01，则(a，a，a)(a，a，a)(a(1)，a(1)，a(1)令12，得即解得，1，2.即当时，.即F是PC的中点时，共面，又BF平面AEC，当F是棱PC的中点时，BF平面AEC.规律方法 是否存在一点或直线，满足某一限定条件，这样的问题，叫作存在性问题，解决方案一般是先假设存在，根据条件能求出具体的点或直线，就说明存在；若求不出，则说明不存在用向量手段处理类似问题，要证明方向明确设
22、点的坐标时，一定要注意坐标的限制范围如图，在棱长ABAD2，AA13的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上的一个动点，点F是CD的中点试确定点E的位置，使D1E平面AB1F.解：以点A为原点，、所在的射线分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D1(0,2,3)，设E(2，y，z)，则(2，y2，z3)，(1,2,0)，(2,0,3)，D1E平面AB1F，即解得E(2,1，)即为所求1直线l1的方向向量为v1(1,0，1)，直线l2的方向向量为v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是(A)A平行 B相交C垂直 D不能确定
23、解析：直线l1，l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则v22v1，v1v2，l1l2.2若直线l的方向向量为a(1，5,7)，平面的法向量为u(2,1,1)，则(A)Al BlCl Dl与斜交解析：直线l的方向向量为a(1，5，7)，平面的法向量为u(2,1,1)，au0，l.3若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，使得l的是(D)Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：要使l，只需l的方向向量与平面的法向量n满足an0，而选项D满足4向量a在平面内，则平面
24、平行于平面是向量a平行于平面的充分不必要条件解析：若，a在内，a，而若a，不能保证，故为充分不必要条件5如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值证明：易知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且.所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由0，即9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.
