1、临界生三角、数列冲刺练（8）时间： 60分钟 班级：_ 姓名：_1已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,a2=3，且a1,a3,a7成等比数列.(1)求an的通项公式； (2)若bn=12Sn-an+1，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn0的所有正整数n.3已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（nN*）(1)求数列an的通项公式； (2)若bn=2n，令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn.4在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知asinB=bsin3+A.(1)求A的大小； (2)若AD为BC上的高，且AD=2，求ABC面积的最小
2、值.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=b3sinC+cosC(1)求B；(2)已知BC=23，D为边AB上的一点，若BD=1，ACD=2，求AC的长6如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平AA1C1C，ABAC，AA1=AB=AC=2，A1AC=60.过AA1的平面交线段B1C1于点E（不与端点重合），交线段BC于点F(1)求证：四边形AA1EF为平行四边形；(2)若F为BC的中点，求直线与A1C1与所成角的AFC1正弦值.参考答案1【详解】（1）设an的公差为dd0，因为a1,a3,a7成等比数列，所以a32=a1a7，即a1+2d2=a1a1+6d，因为
3、d0，所以a1=2d，又a2=3，所以a1+d=2d+d=3，所以d=1,a1=2，所以an=a1+n-1d=2+n-1=n+1.（2）由（1）得，Sn=n2+n+12=n2+3n2，所以bn=12Sn-an+1=1nn+2=121n-1n+2，所以Tn=121-13+1212-14+1213-15+121n-1n+2=121-13+12-14+13-15+1n-1n+2=1232-1n+1-1n+2，又1n+10,1n+20，所以Tn0的所有正整数n为1，2.3【详解】（1）由题意知：S4=4S2，a2n=2an+1（nN*）即：4a1+44-1d2=42a1+22-1d2a1+2n-1d=
4、2a1+n-1d+1化简得a1=1d=2.所以数列an的通项公式an=1+n-12=2n-1.（2）因为cn=anbn=2n-12n所以Tn=12+322+2n-12n ，可得2Tn=122+323+2n-12n+1 ，-得：-Tn=12+222+223+22n-2n-12n+1.=22+23+24+2n+1-2n-12n+1-2=221-2n1-2-2n-12n+1-2=3-2n2n+1-6故Tn=2n-32n+1+6.4【详解】（1）因为asinB=bsin3+A，结合正弦定理得sinAsinB=sinBsin3+A，因为sinB0，所以sinA=sin3+A，所以sinA=32cosA+
5、12sinA，所以tanA=3.又A0,，所以A=3.（2）由题意得SABC=12BCAD=12bcsinA，故a=34bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，所以316b2c2=b2+c2-bc2bc-bc=bc，所以bc163，当且仅当b=c时取等号，所以ABC面积的最小值为1216332=433.5【详解】（1）a=b3sinC+cosC，根据正弦定理得，sinA=sinB3sinC+cosC，即sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC+sinBcosC，所以cosBsinC=3sinBsinC，因为sinC0，所以cosB=3sinB，所以tanB=33，因为
6、B0,，所以B=6（2）因为BC=23，BD=1，B=6，根据余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosB=1+12-212332=7，CD=7BDC=2+A，sinBDC=sin2+A=cosA在BDC中，由正弦定理知，BCsinBDC=CDsinB，23cosA=712，cosA=217，A0,2，所以sinA=277tanA=sinAcosA=233=CDAC，AC=2126【详解】（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为A1A/B1B,A1A面BB1C1C，B1B面B1BC1C，所以A1A/面BB1C1C.又因为面AA1EF面BB1C1C=EF，A1A面A1AEF，所以A1A
7、/EF.因为面ABC/面A1B1C1，面AA1EF面ABC=AF， 面AA1EF面A1B1C1=A1E，所以A1A/EF， 所以四边形AA1EF为平行四边形（2）在面AA1C1C内，过点A作AzAC，因为面ABC面AA1C1C，AB面ABC，面ABC面AA1C1C=AC，ABAC，所以AB面AA1C1C，又Az面AA1C1C，所以ABAz，所以AB，Az，AC两两垂直，以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，Az所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角出标系A-xyz.由题意得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0)A1(0,1,3),C1(0,3,3),F(1,1,0)，则AF=(1,1,0),AC1=(0,3,3)，设面AFC1的法向量为m=(x,y,z)，则mAF=x+y=0mAC1=3y+3z=0，令y=-1，得m=(1,-1,3)，又A1C1=(0,2,0)，设直线A1C1与面AFC1所成角为，则sin=A1C1mA1C1m=221+1+3=55，即直线A1C1与平面AFC1所成角的正弦值为55.
