1、2独立性检验Q 饮用水的质量是人类普遍关心的问题据统计，饮用优质水的518人中，身体状况优秀的有466人，饮用一般水的312人中，身体状况优秀的有218人人的身体健康状况与饮用水的质量之间有关系吗？X 122列联表设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量AA1，A2；变量BB1，B21.其频数表(称为22列联表)为BAB1B2总计A1ababA2cdcd总计acbdnabcd其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2，时的数据222列联表的独立性检验根据2
2、2列联表计算出频率值，用频率估计概率进行独立性检验用估计P(A1B1)，估计P(A1)，估计P(B1)若有式子，则可以认为A1与B1独立同理，若，则可以认为A1与B2独立若，则可以认为A2与B1独立；若，则可以认为A2与B2独立但在中，由于、表示的是频率，不同于概率，即使变量之间独立，式子两边也不一定恰好相等但是当两边相差很大时，变量之间就不独立3独立性检验的基本思想利用22列联表检验变量之间是否独立，当、大时，变量之间不独立但不能解释这些量究竟要多大才能说明变量之间不独立为此，统计学家引入统计量K 2，用它的大小来检验变量之间是否独立当K2较大时，说明变量之间不独立当数据量较大时，在统计中，
3、用以下结果对变量的独立性进行判断；(1)当_K22.706_时，没有充分的证据判定变量A、B有关联，可以认为变量A、B是没有关联的；(2)当_K22.706_时，有90%的把握判定变量A、B有关联；(3)当_K23.841_时，有95%的把握判定变量A、B有关联；(4)当_K26.635_时，有99%的把握判定变量A、B有关联Y 1下表是一个22列联表：y1y2总计x1a2173x222527总计b46100则表中a、b处的值分别为(C)A94,96B52,50C52,54D54,52解析由得2对于研究两个分类变量A与B关系的统计量K2，下列说法正确的是(B)AK2越大，说明“A与B有关系”的
4、可信度越小BK2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小CK2越大，说明“A与B无关”的程度越大DK2接近于0，说明“A与B无关”的程度越小3(2018泸州模拟)某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的22列联表：男生女生总计喜爱302050不喜爱203050总计5050100附K2 P(K2k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635根据以上数据，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关”(C)A99%以上 B97.5%以上C95%以上 D85%以上
5、解析K243.841，该数学兴趣小组有95%以上把握认为“喜爱该食品与性别有关”故选C4某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表所示：作业量的情况玩电脑游戏的情况认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450则认定喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握为(B)A99% B95%C90% D以上都不对解析K25.0593.841.因而有95%的把握认定喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关H 命题方向1利用等高条形图判断两个分类变量是否相关典例1为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性
6、检查，结果如下：组别阳性数阴性数总计铅中毒病人29736对照组92837总计383573试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系解析等高条形图如图所示：其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系规律总结1.判断两个分类变量是否有关系的两种常用方法(1)利用数形结合思想，借助等高条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量相关的常见方法(2)一般地，在等高条形图中，与相差越大，两个分类变量有关系的可能
7、性就越大2利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤独立性检验的计算公式K2跟踪练习1某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系解析作列联表如下：性格内向性格外向总计考前心情紧张332213545考前心情不紧张94381475总计4265941 020相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高
8、，可以认为考前紧张与性格类型有关命题方向2独立性检验的应用典例2某中学对高二甲、乙两个同类班级，进行“加强语文阅读理解训练，对提高数学应用题得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：60分以下6170分7180分8190分91100分甲班(人数)31161218乙班(人数)78101015现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀(1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面22列联
9、表，根据以上数据，能否有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：K2.P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828思路分析(1)由表格统计出甲、乙两个班的总人数和优秀人数，求出优秀率；(2)依统计数据填写列联表，代入公式计算K2的估计值，查表下结论解析(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为60%，乙班优秀人数为25人
10、，优秀率为50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100因为K26.3133.841，所以由参考数据知，有95%的把握认为有帮助规律总结1.独立性检验的步骤：第一步，确定分类变量，获取样本频数，得到列联表第二步，根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界，然后查表确定临界值k0.第三步，利用公式K2计算随机变量K2的观测值K0.第四步，作出判断如果kk0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过，否则就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中
11、没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”2由于独立性检验计算量大，要细致，避免计算失误跟踪练习2为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”？解析根据题目所给的数据得到如下联系：理科文科总计有兴趣13873211无兴趣9852150总计236125361根据列联表中数据由公式计算得k1.871104.因为1.87110410.828，因此，在犯错误的概率不超过0.001的
12、前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系规律总结两个分类变量相关关系的判断(1)等高条形图法：在等高条形图中，可以估计满足条件Xx1的个体中具有Yy1的个体所占的比例，也可以估计满足条件Xx2的个体中具有Yy1的个体所占的比例.两个比例的值相差越大，X与Y有关系成立的可能性就越大(2)观测值法：通过22列联表，先计算K2的观测值k，然后借助k的含义判断“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度跟踪练习3某地区甲校高二年级有1 100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：(已知本次测
13、试合格线是50分，两校合格率均为100%)甲校高二年级数学成绩：分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数10253530x乙校高二年级数学成绩：分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数153025y5(1)计算x，y的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分)；(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据写下面22列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”？甲校乙校总计优秀非优秀总计解析(1)依题意知甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，所以x10，y1
14、5，估计两个学校的平均分，甲校的平均分为75，乙校的平均分为71.(2)数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，得到列联表：甲校乙校总计优秀402060非优秀7070140总计11090200所以K2的观测值k4.714，又因为4.7143.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”Y 没有准确掌握公式中参数的含义致误典例4有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表优秀不优秀总计甲班103545乙班73845总计177390试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？错解由公式得：K256.86
15、，56866.635所以有99%的把握认为“成绩与班级有关系”辨析由于对22列联表中a、b、c、d的位置不清楚，在代入公式时代错了数值导致计算结果的错误正解K20.653，06533.841，所以没有充分证据认为成绩与班级有关点评独立性检验中，参数K2公式复杂计算量大，要弄清公式特点熟记公式，小心计算避免粗心致误跟踪练习4考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系，得到如下表数据：种子处理种子未处理合计得病32101133不得病61213274合计93314407根据以上数据可得出(B)A种子是否经过处理与是否生病有关B种子是否经过处理与是否生病无关C种子是否经过处理决定是否生病D有90%的把握认为种子经过处理与生病有关解析K20.1643.841，知在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否看电视与性别有关4下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系？总成绩好总成绩不好合计数学成绩好47812490数学成绩不好39924423合计87736913解析依题意，计算随机变量K2的观测值为k6.2335.024，因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系
