1、专题训练(五)角平分线的六种运用运用一确定点的坐标和线段的长1如图5ZT1所示，在平面直角坐标系中，AD是RtOAB的角平分线，点D到AB的距离DE3，则点D的坐标是_图5ZT12如图5ZT2，在四边形ABCD中，A90，AD4，连接BD，BDCD，ADBC.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_图5ZT2运用二确定三角形的面积3如图5ZT3，在ABC中，A90，BD是角平分线若AB8，BC10，SABD，求BDC的面积图5ZT34如图5ZT4，D，E，F分别是ABC三边上的点，AD平分BAC，CEBF.若SDCE4，求SDBF. 图5ZT45如图5ZT5，现有一块三角形的空地，其三条边长
2、分别是20 m，30 m，40 m现要把它分成面积比为234的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)图5ZT5运用三确定三角形的周长6如图5ZT6，在ABC中，B90，ABBC，AD平分BAC，DEAC，AC20，求CED的周长图5ZT6运用四证明两条线段相等7如图5ZT7，BD是ABC的平分线，ABBC，点P在BD上，PMAD，PNCD，M，N分别是垂足求证：PMPN.图5ZT78我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”如图5ZT8，四边形ABCD是一个筝形，其中ABCB，ADCD.对角线AC，BD相交于点O，OEAB，OFCB
3、，垂足分别是E，F.求证：OEOF.图5ZT8运用五角平分线的性质和判定的综合9如图5ZT9所示，ABC的外角CBD，BCE的平分线相交于点F，则下列结论一定成立的是()AAF平分BC BAFBCCAF平分BAC DFA平分BFC图5ZT910如图5ZT10所示，已知BC90，M是BC的中点，DM平分ADC.求证：(1)AM平分DAB；(2)ADABCD.图5ZT1011已知：如图5ZT11，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，BO平分ABC交AC于点O.求证：DO平分ADC.图5ZT11运用六角平分线在实际生活中的应用12如图5ZT12所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头O的距离相等，O
4、A，OB为海岸线一轮船P离开码头O，计划沿AOB的平分线航行(1)用尺规作出轮船的预定航线OC；(2)在航行途中，轮船P始终保持与灯塔A，B的距离相等，则轮船航行时是否偏离了预定航线？请说明理由图5ZT12详解详析1答案 (3，0)解析 欲求点D的坐标，先求线段OD的长因为AD是RtOAB的角平分线，DEAB，ODOA，所以DEOD3，所以点D的坐标是(3，0)2答案 4解析 由垂线段最短可知，当DPBC时，DP的长最小ABDC90，ADBC，DBADBC，BD平分ABC.DAAB，DPBC，DPDA4.3解析 由已知BC10，欲求BDC的面积，需求出BC边上的高，从而考虑过点D作DEBC，由
5、角平分线的性质可知DEAD，从而问题转化为求AD的长解：如图，过点D作DEBC，垂足为E.因为AB8，SABD，所以ABAD，所以AD.因为BD是角平分线，DAAB，DEBC，所以DEAD，所以SBDCBCDE10.4解析 猜想DCE和DBF的面积相等，由已知CEBF，故只需说明两个三角形中以CE，BF为底边上的高相等解：如图，过点D作DHAB于点H，DGAC于点G. 因为点D在BAC的平分线上，所以DGDH.又因为CEBF，所以CEDGBFDH，所以SDBFSDCE4.5解：分别作ACB和ABC的平分线，相交于点P.连接PA，则PAB，PAC，PBC的面积之比为234(如图所示)理由如下：P
6、是ABC和ACB的平分线的交点，如图，过点P分别作PEAB于点E，PFAC于点F，PHBC于点H，则PEPFPH，SPABABPE10PE，SPACPFAC15PF，SPBCPHBC20PH，SPABSPACSPBC101520234.6解析 CED的周长为CEDECD，而题中仅给出AC20，于是猜想CEDECDAC，可通过角平分线的性质及全等三角形的性质进行线段间的转化，进而验证猜想解：因为AD平分BAC，DEAC，DBAB，所以DEDB.又ADAD，所以RtADERtADB，所以AEAB，所以CED的周长为CEDECDCEDBCDCE(DBCD)CEBCCEABCEAEAC20.7解析 结
7、合已知条件PMAD，PNCD，欲证明PMPN，只需证明DP平分ADC.问题可转化为证明ADBCDB，从而需证明ADBCDB.证明：因为BD是ABC的平分线，所以ABDCBD.又ABCB，BDBD，所以ADBCDB，所以ADBCDB，所以ADPCDP.又因为PMAD，PNCD，所以PMPN.8证明：在ABD和CBD中，ABDCBD(SSS)，ABDCBD，BD平分ABC.又OEAB，OFCB，OEOF.9C10解析 作MEAD，证明DEMDCM，RtAEMRtABM.证明：(1)过点M作MEAD于点E.DM平分ADC，C90，MCME.M是BC的中点，MCMBME.又MEAD，MBAB，EAMB
8、AM，即AM平分DAB.(2)在RtDEM和RtDCM中，RtDEMRtDCM，DEDC.在RtAEM和RtABM中，RtAEMRtABM.AEAB，ADAEDEABCD.点评 作出点M到角两边的垂线段，利用垂线段相等是解决这个问题的关键，因此当遇到角平分线的问题时，如果不能打开思路，不妨过角平分线上的点作出到角两边的垂线段11证明：如图，过点O作AB，BC，CD，DA的垂线，垂足分别为E，F，G，H.ABAD，CBCD，ACAC，ACBACD(SSS)，BACDAC，BCADCA，即AC平分BAD，CA平分BCD.由角平分线的性质可知OEOH，OFOG.BO平分ABC，OEOF，OGOH，DO平分ADC.12解：(1)如图(2)轮船航行时没有偏离预定航线理由：在AOP和BOP中，AOPBOP(SSS)，AOPBOP，即点P在AOB的平分线上故轮船航行时没有偏离预定航线
