1、专题训练(一)圆周角的三种综合运用 类型一勾股定理与圆周角的综合运用12019资中县一模如图1ZT1，AB是O的一条弦，ODAB，垂足为C，交O于点D，点E在O上(1)若AOD52，求DEB的度数；(2)若OC3，OA5，求AB的长图1ZT12如图1ZT2，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且ODAC，OD与BC相交于点E.(1)求证：E为BC的中点；(2)若BC8，DE3，求AB的长图1ZT23如图1ZT3，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CDAB于点E.(1)求证：BCOD；(2)若CD4 ，AE2，求O的半径图1ZT34如图1ZT4，以ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC
2、，BC的交点分别为D，E，且.(1)试判断ABC的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC12，求sinABD的值图1ZT4类型二全等三角形与圆周角的综合运用5如图1ZT5，在O中，AC与BD是圆的直径，BEAC，CFBD，垂足分别为E，F.(1)四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；(2)求证：BECF.图1ZT56如图1ZT6，等边三角形ABC内接于O，P是上的一点(端点除外)，延长BP至点D，使BDAP，连接CD.(1)若AP过圆心O，如图，请你判断PCD是什么三角形，并说明理由；(2)若AP不过圆心O，如图，PCD又是什么三角形？并说明理由图1ZT6类型三相似三角
3、形与圆周角的综合运用7如图1ZT7，AB是O的直径，AC，BC是O的弦，直径DEAC于点P.若点D在优弧上，AB8，BC3，则DP_图1ZT78如图1ZT8，已知ABC，以AB为直径的O分别交AC于点D，交BC于点E，连接ED，若EDEC.(1)求证：ABAC；(2)若AB4，BC2 ，求CD的长图1ZT89如图1ZT9，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点N，点M在对角线BD上，且满足BAMDAN，BCMDCN.求证：(1)M为BD的中点；(2).图1ZT9详解详析1解：(1)AB是O的一条弦，ODAB，DEBAOD5226.(2)根据勾股定理得AC4.AB是O的一条弦，ODA
4、B，AB2AC248.2解：(1)证明：AB是半圆O的直径，C90.ODAC，OEBC90，即ODBC，BECE，即E为BC的中点(2)设半圆O的半径为x，则OBODx，OEx3，BEBC4.在RtBOE中，OB2BE2OE2，x242(x3)2，解得x，AB2x.3解：(1)证明：OBOC，BCOB.所对的圆周角是B，D，BD，BCOD.(2)AB是O的直径，且CDAB于点E，CECD4 2 .设O的半径为r，则OCr，OEOAAEr2.在RtOCE中，OC2CE2OE2，即r2(2 )2(r2)2，解得r3，故O的半径为3.4解：(1)ABC为等腰三角形理由如下：连接AE，如图，DAEBA
5、E，即AE平分BAC.AB为半圆O的直径，AEB90，AEBC，ACAB，即ABC为等腰三角形(2)ABC为等腰三角形，AEBC，BECEBC126.在RtABE中，AB10，BE6，AE8.AB为半圆O的直径，ADB90，AEBCBDAC，BD.在RtABD中，AB10，BD，则AD，sinABD.5解：(1)四边形ABCD是矩形理由如下：AC与BD是圆的直径，ABCADC90，BADBCD90，四边形ABCD是矩形(2)证明：BEAC于点E，CFBD于点F，BEOCFO90.在BOE和COF中，BOECOF，BECF.6解：(1)PCD为等边三角形理由如下：ABC为等边三角形，ACBC.在
6、O中，有PACPBC.又APBD，APCBDC，PCDC.又四边形ABPC是O的内接四边形，CPDBAC60，PCD是等边三角形(2)PCD仍为等边三角形理由如下：同(1)可证明APCBDC，得PCDC；同(1)可证明CPDBAC60，PCD是等边三角形7答案 5.5解析 AB和DE是O的直径，AB8，OAOBOD4，C90.又DEAC，OPBC，AOPABC，即，解得OP1.5，则DPODOP5.5.8解：(1)证明：EDEC，EDCC.又四边形ABED是O的内接四边形，EDCB，BC，ABAC.(2)如图，连接AE.AB为O的直径，AEBC.由(1)知ABAC，BECEBC.易知CDECBA，即，解得CD.9证明：(1)根据同弧所对的圆周角相等，得DANDBC，DCNDBA.又BAMDAN，BCMDCN，BAMMBC，ABMBCM，BAMCBM，即BM2AMCM.DCMDCNNCMBCMNCMACBADB，DAMMACDANMACBAMBACCDM，DAMCDM，则，即DM2AMCM.由、得BMDM，即M为BD的中点(2)如图，延长AM交圆于点P，连接CP，则BCPPABDACDBC，PCBD，.BCMDCNABD，DBCBCP，ABCMCP.又ABCAPC，APCMCP，PMCM.由、得.
