1、10.4直线与圆锥曲线的位置关系考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2013课标全国,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)答案C2.(2013江西,20,13分)椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证
2、明:2m-k为定值.解析(1)因为e=,所以a=c,b=c.代入a+b=3得,c=,a=2,b=1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:证法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2),代入+y2=1,解得P.直线AD的方程为y=x+1.与联立解得M.由D(0,1),P,N(x,0)三点共线知=,解得N.所以MN的斜率为m=,则2m-k=-k=(定值).证法二:设P(x0,y0)(x00,2),则k=,直线AD的方程为y=(x+2),直线BP的方程为y=(x-2),直线DP的方程为y-1=x,令y=0,由y01可得N,联立解得M,因此MN的斜率为m=,所以2m-
3、k=-=(定值).3.(2013山东,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设=t,求实数t的值.解析(1)设椭圆C的方程为+=1(ab0),由题意知解得a=,b=1.因此椭圆C的方程为+y2=1.(2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意-m0或0m0,所以t=2或t=.(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y=kx+h.将其代入椭圆的方程+y2=1,得(1+2k2
4、)x2+4khx+2h2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).由判别式0可得1+2k2h2,此时x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2h=,所以|AB|=2.因为点O到直线AB的距离d=,所以SAOB=|AB|d=2=|h|.又SAOB=,所以|h|=.令n=1+2k2,代入整理得3n2-16h2n+16h4=0,解得n=4h2或n=h2,即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.又=t=t(+)=t(x1+x2 ,y1+y2)=,因为P为椭圆C上一点,所以t2=1,即t2=1.将代入得t2=4或t2=,又知t0,故t=2或t=,经检验,适合题意.综合(i)(ii
5、)得t=2或t=.4.(2013浙江,22,14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标xM=.同理点N的横坐标xN=.所以|MN|=|xM-xN|=8=.令4k-3=t,t0,则k=.当t0时,|MN|=22.当t0时,|MN|=2.综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.
