1、第五节 椭圆 基础梳理1.椭圆的定义(1)平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件：到两个定点F1、F2的距离的_等于常数2a；2a_|F1F2|.(2)上述椭圆的焦点是_，椭圆的焦距是_ 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 =1(ab0)=1(ab0)图形 性质 范围 _x_ _y_ _x_ _ y_ 对称性 对称轴：_ 对称中心：_ 顶点 A1_，A2_ B1_，B2_ A1_，A2_ B1_，B2_ 2222xyab2222yxab轴 长轴|A1A2|的长为_ 短轴|B1B2|的长为_ 焦距|F1F2|=_ 离心率 _ a，b，c 的关系 c2=_ cea答案：1.和 (2)F1、
2、F2|F1F2|2.-a a-b b-b b-a a 坐标轴 原点(-a,0)(a,0)(0，-b)(0，b)(0，-a)(0，a)(-b,0)(b,0)2a 2b 2c(0,1)a2-b2 1.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么()A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件 C.甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 2.(教材改编题)如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A.(0，+)B.(0,2)C.(1，+)D(0,1)基础达标3
3、.直线y=kx+1与椭圆 =1恒有公共点，则m的取值范围是()A.m1且m 5 B.m1 C.m 5 D.m5 225xym4.(2011广东惠州模拟)设F是椭圆x2/4+y2=1的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离为M，最小距离为N，则椭圆上与点F的距离等于(M+N)/2的点的坐标是()A.(0，2)B.(0，1)C.D.5.(教材改编题)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_.13,220,2答案：1.B 解析：由椭圆的定义知乙甲，但甲/乙 2.D 解析：焦点在y轴上，则 +=1，20kb0)或 +=1(ab0
4、)，两个焦点分别为F1、F2，则由题意知 2a=|PF1|+|PF2|=2 ，a=.在方程 +=1中，令x=c，得|y|=.在方程 +=1中，令y=c，得|x|=.依题意知 =，b2=.即椭圆的方程为 +=1或 +=1.22xa22yb22ya22xb5522xa22yb2ba22ya22xb2ba2ba23510325x2310y2310 x25y方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，则|PF1|=，|PF2|=.由椭圆的定义，知2a=|PF1|+|PF2|=2 ，即a=.由|PF1|PF2|知，PF2垂直于长轴 故在RtPF2F1中，4c2=|PF1|2-|PF2|2=，c2=，于是b
5、2=a2-c2=.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为 +=1或 +=1.4 532 53556092035310325x2310y2310 x25y变式1-1 已知F1、F2为椭圆 =1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆离心率e=，则椭圆的方程是()2222xyab32A.B.C.D.22143xy221163xy2211612xy221164xy答案：D 解析：如图，|AF2|+|AF1|=2a，|BF2|+|BF1|=2a，AF1B的周长=|AF2|+|AF1|+|BF2|+|BF1|=4a=16，a=4，又e=，c=2
6、 .b2=16-12=4.椭圆的方程是 ，故选D.ca323221164xy45352515题型二 椭圆的几何性质【例2】(2010广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.解：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=4b，即2b=a+c，所以4b2=a2+2ac+c2，又因为a2=b2+c2，所以4(a2-c2)=a2+2ac+c2，即3a2-2ac-5c2=0，即5e2+2e-3=0，解得e=或-1(舍去)，故选B.35变式2-1 (2011潍坊质量检测)已知椭圆 =1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且
7、BFx轴，直线AB交y轴于点 P若 ，则椭圆的离心率是 ()A.B.C.D.322213122APPB2222xyab 答案：D 解析：对于椭圆，因为AP=2PB，则OA=2OF，a=2c，e=1/2.解：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离 c=2.c=2，所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得y10，直线l的方程为y=(x-2)联立 得(3a2+b2)y2+4b2y-3b4=0.解得y1=，y2=.因为AF=2F2B，所以-y1=2y2.即 =2 ，解得a=3.而a2-b2=4，所以b=.故椭圆C的方程为 +=1.题型三 直线与椭圆的位置关
8、系【例3】(2010辽宁)设F1，F2分别为椭圆C：=1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2 .(1)求椭圆C的焦距；(2)如果 ，求椭圆C的方程 222AFF B2222xyab33332222321yxxyab 2223223baab 2223223baab 2223223baab 2223223baab 529x25y变式3-1 (2011天津五中模拟)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m 0)，l交椭圆于A、B两个不同点(1)求
9、椭圆的方程；(2)求m的取值范围 解：(1)设椭圆方程为 (ab0)，由题意得 解得 所以椭圆方程为 .22221xyab222411abab2282ab22182xy(2)因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又kOM=，所以l的方程为y=x+m.由 x2+2mx+2m2-4=0.直线l与椭圆交于A、B两个不同点，D=(2m)2-4(2m2-4)0，解得-2m2，又m 0，m的取值范围是m|-2m2，m 0 12122212182yxmxy题型四 椭圆的实际运用【例4】如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行
10、，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a1+c1=a2+c2；a1-c1=a2-c2；c1a2a1c2；其中正确式子的序号是()A.B.C.D.1212ccaa解：由两个椭圆的PF线段长度相等可得a1-c1=a2-c2，即正确，由椭圆较椭圆更“扁平”，可知椭圆的离心率大于椭圆的离心率，即 得c1a2a1c2，即正确，故应选B.1212ccaa错解 因为2a+2b=18,2c=6，所以a+b=9，c=3，又c
11、2=a2-b2=9，所以a-b=1，解得a=5，b=4，所以椭圆方程为 ，故选B.易错警示【例】若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 ()A.B.C.D.以上都不对 221916xy2212516xy22221125161625xyxy或错解分析 题目中没有明确告诉我们焦点所在的位置，故所求的椭圆的标准方程应有两种：焦点在x轴上与焦点在y轴上 正解：由错解得a=5，b=4.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为 ；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为 故选C.2212516xy221.1625xy链接高考(2010安徽)椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=求椭圆E的方程；知识准备：设椭圆方程为=1，点的坐标适合于椭圆方程 12解：设椭圆E的方程为 由e=，得 =，b2=a2-c2=3c2，将A(2,3)代入，有 ，解得c=2，则a=4，b2=12，椭圆E的方程为 22221.xyab1212ca22221.43xycc22131cc221.1612xy
