1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题7弦图与垂直模型 解题策略模型1：垂直模型如图：DBCAE90，BCAC.，结论：RtBCDRtCAE. 模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图和图就是我们经常会见到的两种弦图. 三垂直图形变形如图、图，这也是由弦图演变而来的.模型2：弦图模型经典例题【例1】（2021全国八年级专题练习）如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点P作P
2、EPB且PE交边CD于点E（1）求证：PEPB；（2）如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EFAC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系【例2】（2021黑龙江哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BECF，AE与BF交于点G（1）如图1，求证AEBF；（2）如图2，在GF上截取GMGB，MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN2BN；【例3】（2021云南曲靖八年级期末）如图1，在正方形ABCD中，E为
3、BC上一点，连接AE，过点B作BGAE于点H，交CD于点G（1）求证：AE=BG；（2）如图2，连接AG、GE，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，过点A作AOFR于点O，若AB=1，正方形的边长为3，求线段OF的长【例4】（2021河南商丘八年级期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为4,0，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰RtABC(1)如图1，若OB=3，则点C的坐标为_；(2
4、)如图2，若OB=4，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰RtBDE，连接AE，求证：AEAB；(3)如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰RtOBF连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长度【例5】（2021黑龙江哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BFDE，垂足为点F，BF与CD相交于点G（1）求证：BCGDCE；（2）如图2，连接BD，若BE42，DG22，求tanDBG的值培优训练一、解答题1（2022江苏八年级课时练习）如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN
5、经过点C，且ADMN于D，BEMN于E(1)由图1，证明：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）2（2022全国八年级专题练习）如图所示，ABC中，AB=AC，BAC=90，点D为AB上一点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，连接AE，过点A作AE的垂线交CE于点F（1）如图1，求AEC的度数；（2）如图2，连接BF，且ABFEAB=15，求证：BF=2CF；（3）如图3，在（2）的条件下，G为DF上一点，
6、连接AG，若AGD=EBF，AG=2，求CF的长3（2020北京市第十三中学九年级期中）已知：RtABC中，ACB90，ACBC（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BEAD，交AD的延长线于点E，连接CE若BAD，求DBE的大小（用含的式子表示）；用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BEAD，垂足E在线段AD上，连接CE依题意补全图2；直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系4（2021四川省成都市七中育才学校七年级期中）已知：ABC中，ACB=90，AC=CB，D为直线BC上一动
7、点，连接AD，在直线AC右侧作AEAD，且AE=AD（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EHAC于H，连接DE求证：EH=AC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M求证：BM=EM；（3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC=5CM，请求出SADBSAEM的值5（2022江苏八年级课时练习）在ABC中，AB=BC，B=90，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90，使点A旋转到点E，连结EC（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：BAD=EDC（2）如果点D在线段BC上运动，
8、请写出AC与CE的位置关系通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EFBC交直线BC于F，如图2所示，通过证明DEFABD，可推证CEF等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由6（2021黑龙江哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试）如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、 F（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是_；（2）如图2，过A的直线与斜边BC相
9、交时，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接BF、FG、HG，若AHB=GHC，EF=CF=6，EH=2FH，四边形ABFG的面积是90，求GHC的面积7（2021江苏泰州八年级期末）如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG（1）当AG=1时，求EG的长；（2）当AG的值等于 时，BE=82DF；（3）过G点作GMEG交CD于M求证：GB平分AGM；设AG=x，CM=y，试说明16xy4x4y1的值为定值8（2021全国八年级专
10、题练习）已知，如图，在RtABC中，BAC90，ABC45，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时(1)求证：ABDACF；(2)若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度9（2021安徽安庆八年级期末）如图1，点E为正方形ABCD内一点，AEB90，将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90（即EBE90），得到CBE（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE（1）试判断四边形BEFE的形状，并说明理由（2）如图2，若DADE，请猜想线段C
11、F于FE的数量关系并加以证明（3）如图1，若AB17，CF3，请直接写出DE的长10（2021湖北鄂州八年级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MNDM交CBP的角平分线于N，过点C作CE/MN交AD于E，连接EM，CN，DN（1）求证：DM=MN（2）求证：EM/CN（3）若AE=1，BN=32，求DN的长11（2022广东塘厦初中八年级期中）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形
12、；（2）若AB4，CE22，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40时，直接写出EFC的度数12（2021山西八年级期末）综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE过点E作EFDE交直线BC于点F（1）试猜想线段DE与EF的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段CE,CD,CF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E在线段CO上时（不与点C，O重合），EF交BC延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段CE,CD,CF之间的数量关系13（2021全国八年级专题练习）如图
13、1，已知正方形ABCD和正方形CEGF，点F,C,B在同一直线上，连接BE，DF，DF与EG相交于点M（1）求证：BE=FD（2）如图2，N是BC边上的一点，连接AN交BE于点H，且BNBC=GMGE求证：BN=EC；若CE=2DE，直接写出BNAB的值14（2021全国八年级专题练习）探究证明：（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AMBN求证：BN=AM；（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EFAM，EF分别交AB、CD于点E、F求证：EFAM=BCAB；（3）如图3，四边形ABCD中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN，点M、N分别在
14、边BC、AB上，求DNAM的值15（2021全国八年级专题练习）如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG（1）试猜想线段BG和AE的关系（直接写出答案，不用证明）；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转 （060），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图证明你的结论；（3）若BCDE4，当等于多少度时，AE最大？并求出此时AF的值16（2021全国八年级专题练习）四边形ABCD是边长为2的正方形，点M在边AD所在的直线上，连接CM，以M为直角顶点在CM右侧作等腰RtCMN，连接BN.（1）如图1，当点M在
15、点A左侧，且A、B、N三点共线时，BN=_；（2）如图2，当点M在点A右侧，且AM=52时，求BN的长：（3）若点M在边AD所在直线上，且BN=26，求AM的长17（2021安徽黄山八年级期中）在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FEAG于H，交直线AD于点E（1）当点F运动到与点B重合时(如图1)，线段EF与AG的数量关系是_（2）若点F运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由（3）如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，请直接写出折痕
16、PQ的长18（2021全国八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且BAFADE（1）如图1，求证：AFDE；（2）如图2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；（3）在（1）（2）的基础上，若AF平分BAC，且BDE的面积为4+22，求正方形ABCD的面积19（2021全国八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接AE、DF，AE的延长线交DF于点M（1）求证：AE=DF；（2）求证：AMDF20（2021黑龙江哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线y=kx+k与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为y=1kx+k，与x轴交于B（1）如图1，求点A的横坐标；（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若CD=CA，设ACE的面积为S，求S与k的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将CDF沿CF翻折得到FCG，直线FG交CE于点K，若3ACECDO=45，求点K的坐标
