1、6.3 等比数列思维导图知识点总结1等比数列的有关概念定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列通项公式设an是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式ana1qn1.推广：anamqnm(m，nN*)等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项此时，G2ab2.等比数列的前n项和公式Sn典型例题分析考向一 等比数列基本量的运算1(2022全国乙卷)已知等比数列an的前3项和为168，a2a542，则a6( )A14 B12 C6 D3解析：选D设等比数列an的首项为a1，公比为q
2、，由题意可得即解得所以a6a1q53，故选D.2(2023岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列an，则log2a4的值为( )A4 B5 C6 D7解析：选C根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S71 016a18，则a482326log2a4log2266.故选C.3(2023泸州模拟)记Sn
3、为递增的等比数列an的前n项和，若a11，S3a2，则S4_.解析：设等比数列an的公比为q，由S3a2得，a1a2a3a2，即1q2q，解得q2或q，an是递增数列，q2，S424115.答案：15方法总结等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.考向二 等比数列的判定或证明典例已知数列an满足a1，a21，an24an5an1(nN*)(1)
4、证明：数列an1an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：an24an5an1，nN*，an2an14(an1an)，nN*，a1，a21，a2a1，数列an1an是以为首项，4为公比的等比数列(2)由(1)知，an1an4n122n3，当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a122n522n722n92121(22n31)当n1时，a1(211)满足上式所以，an(22n31)(nN*)方法技巧等比数列的判定方法定义法若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则an是
5、等比数列通项公式法若数列an的通项公式可写成ancqn1(c，q均为非零常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为非零常数，q0,1)，则an是等比数列注意(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可考向三 等比数列的性质典例(1)(2023沈阳模拟)在等比数列an中，a2，a8为方程x24x0的两根，则a3a5a7的值为( )A B C D3(2)(2023辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列an的各项均为正数，且a1a109，则l
6、og9a1log9a2log9a10( )A6 B5C4 D.解析(1)在等比数列an中，因为a2，a8为方程x24x0的两根，所以a2a8a，所以a5，所以a3a5a7a.故选C.(2)log9a1log9a2log9a10log9(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log9955.答案(1)C(2)B方法技巧(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要基础题型训练一、单选题1数列an的前n项和为Sn，若
7、，且an是等比数列，则m（）A0B3C4D62中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则此人第天走了（）A里B里C里D里3设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件4已知数列的前项和，则确定的最大正整数的值为（）ABCD5在各项都为正数的等比数列中，则公比的值为（）ABCD6已知数列的前项和为，其中
8、，成等差数列，且，则（）ABCD二、多选题7已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，则下列结论正确的是（）ABCD8已知函数，则()A，成等差数列B，成等差数列C，成等比数列D，成等比数列三、填空题9等比数列中，则_10等比数列为非常数数列，其前项和是，当时，则公比的值为_11在递增的等比数列中，则_12已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=_四、解答题13已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请
9、说明理由.14已知数列满足，(1)证明：存在等比数列，使；(2)若，求满足条件的最大整数15已知等差数列的公差，且，的前项和为.（1）若、成等比数列，求的值.（2）令，求数列的前项和16已知是递增的等差数列，分别为等比数列的前三项.(1)求数列和的通项公式；(2)删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.提升题型训练一、单选题1已知等比数列的前项和为，且，则（）A40B120C121D3632记等比数列的前项和为，已知，则（）A180B160C210D2503等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a32，S69S3，则S9（）A50B1
10、00C146D1284已知数列是等比数列，为其前n项和，若，则（）A40B60C32D505已知等比数列中，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（）ABCD6已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（）A5B512C1024D64二、多选题7记为数列的前n项和，若，且，成等比数列，则（）A为等差数列BC，成等比数列D有最大值，无最小值8以下关于数列的结论正确的是（）A若数列的前n项和，则数列为等差数列B若数列的前n项和，则数列为等比数列C若数列满足，则数列为等差数列D若数列满足则数列为等比数列三、填空题9若等比数列的前n项的和为，且满足，则=_.10已知为等比数列的前项和，则的值为_11正项等比数列的前项和为，若，则_.12已知数列满足，则满足不等式的的值为_.四、解答题13设为等差数列的前项和，已知，既成等差数列，又成等比数列(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和14设等比数列的前项和为，公比，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为.15在数列和等比数列中，.（1）求数列及的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.16已知等差数列的前n项和为，数列满足（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前n项和
